微积分课后题答案.pdf

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1、 微积分课后题答案 习题四 A 1 用积分公式直接求下列不定积分。（1）cxxxdxxxxdxxxxx22123233421829)49(149（2）cxxdxxxdxxxx21252123252)()1(（3）cxxdxxxdxxxxarctan)113(1133322224（4）cxedxxexxln32)32(（5）ceceedxedxexxxx5555555)3(53ln51)3(3ln1)3()3(（6）ceceedxedxexxxxx)7(27ln1)7(7ln1)7(722222 2 用积分公式直接求下列不定积分。（1）cxxxdxxxxdxxxxdxxx212325212123

2、2223452)2()12()1(（3）cxxdxxdxxxdxxxx2csc22csc2cot42sin2cos4cossin2cos222（5）cxedxxedxxexexxxxln)1()(（6）cxdxxdxxxxxdxxxxxarcsin2112)1)(1(11)1111(2（7）cxxdxxxdxxxx414745432474)()11(（9）cxeedxeedxeeeedxeexxxxxxxxxx2)1(1)1)(1(112223 3 用第一类换元法求下列不定积分：（1）ceceduexdedxexuuxx)(（4）caeaecuudxudxaedxeaxxxxxx)(ln1ln

3、1)(（5）cxuduxxdxdxxdx23arctan61161)23(1)23(3241)23(141942222（8）cxcuduuxdxxxdx21221222)21(2121141)21(2114121（10）cxcuuduxdxxdxxcos2cos2sin2sin2sin（11）ceceduexdedxxexuuxxsinsinsinsincos 5 用第二类换元法求不定积分：（3）dxxx31 解：令,6xt 则dttdx56 cxxxxcttttdttttdtttdtttdttttdxxx)1ln(6632)1ln2131(6)111(616)1(61661663232332

4、353（4）dxex1 解：令xet 1，则.12),1ln(22dtttdxtx 原式=ceeectttdtttdtttdtttxxx1111ln12)1ln()1ln(2)1(21)1(211(21112122222（6）dxxxxxln12 解：令,ln xt 则.,dtedxextt 原式cxxctedtteedteteeetttttttlnlnln112（9）dxxx229 解：令,sin3tx则.sincos3,sin32dtttdxtx 原式cxxcxsxxcttdttdtttdxttt3arcsin393arcsin3)3(133cot3)1(csc3sincos3sincos

5、sin132222222（11）224xxdx 解；令,1xt 则.12dttdx 原式cxxctttdt44414141222 6、用分步积分法求下列不定积分。（2）cxxecexeexdxexeexdxxeexdxeexdexdxexxxxxxxxxxxxxx)21(21412121212121212121222222222222222222222 （4）cxxxdxxxxxxxxdxxxdxxxxxdxxxxxddxxx)2ln2(ln112ln2ln11ln2ln1ln12ln1ln1ln11ln)ln(2222222222（5）cxxedxexdxexxexexdxexexdedxe

6、xxxxxxxxxx)cos(sin21sinsincossincossinsinsin（8）cxxxxdxxxxdxxxxxxdxxxdxxarctan22)1ln()111(2)1ln(12)1ln()1ln()1ln()1ln(222222222（10）cxxxxdxxxxxxxdxxxxxxdxxxxxxxxxdxxxxxdxxdxxxx11ln)1(21)1111(2111ln211111ln2)1111(211ln211ln211ln2211ln11ln2222222222 （13）cxxxdxxxxxxdxxxxddxxxlnln)ln(ln1ln)ln(lnlnlnlnln)l

7、n(lnlnlnlnlnln（14）cxecexexdeexdexdxexxxxxxx)1(222222（16）cxxxxxxddxxxxxxdxxxdxxdxxxxdxxx22222222)(arctan21)1ln(21arctanarctanarctan1arctanarctan11arctanarctan111arctan1 习题 4（B）1.求下列不定积分（1）2221001001001001 11(1)(1)(1)(1)xxxdxdxxdxxxx 9899100(1)2(1)(1)xxxdx 979899111(1)(1)(1)974999xxxC（2）32636321133610

8、610610dxdtxdxxxxxtt 令3tx 22363113(3)11ln(3)(3)131ln(3610)3dttttCxxxC （3）222(2)ln(244)44(2)8dxd xxxxCxxx（4）22222212112(1)2(1ln|1|2211xttdxdttdttttxtt 令1tx 2ln|1|)ttC(1)ln(1)x xxxC（5）2222(2)(2)(2)xxxxxxxxxdxdedeedeeeeee 2111(1)1ln(1)1xxxxxxdeeexeCe（6）2ln(2)ln(2)xxxxxeedxdeee1ln(2)xxede ln(2)1(2)xxxxxe

9、deeee ln(2)11122xxxxxedeeee ln(2)1ln(2)22xxxexeCe （7）arcsinarcsin2arcsin1xxxedxxedxxarcsin xxde arcsinarcsinarcsin2arcsinarcsin2arcsinarcsin2111xxxxxxxxeedxxex dexxex eedxx arcsin2arcsin21(1)21xxxedxxxeCx（8）2222211()(1)(1)1xxxxxxxxdxdedeeeeeee 1arctanxxeCe 2（1）sincos()()sincossincosxxF xG xdxdxxxxx

10、sincossincosxxdxxCxx （2）sincos(sincos)()()sincossincosxxdxxF xG xdxxxxx ln|sincos|xxC（3）sin(sincos)cos()sincossincosxxxxF xdxdxxxxx (sincos)(cossin)sinsincossincosdxxxxxdxxxxx sinln|sincos|sincosxxxxdxxx 1()(ln|sincos|)2F xxxxC cos(cossin)sin()sincossincosxxxxG xdxdxxxxx (sincos)(sincos)cossincossin

11、cosdxxxxxdxxxxx cosln|sincos|sincosxxxxdxxx 1()(ln|sincos|)2G xxxxC 3（1）222()sincos2sincoscossinsin()444dxdxdxG xxxxxx 2ln|tan()|228xC （2）2212sincossincos2sincos()2()sincossincosxxxxxxG xF xdxdxxxxx (sincos)cossinxx dxxxC （3）sincos1()()2()()sincos2xxF xdxG xF xG xxx 12(sincosln|tan()|)2228xxxC 4（1）令

12、 1tx，222211111|1dtdxdttx xttt arcsin|1arcsin|tCCx （2）令 21tx，222(1)(1)1dxtdtdttttx x 221 tx arctan tC 2arctan1xC （3）令11xtx，2111(1)11dxdxxdxx xxx xxx x 2221111xttxxt，22(1)1tdxdtx xt 2arctan tC 12arctan1xCx 5（1）令1,(0)txx时，32422421(0)11111dtdxt dtttxxttt 2222221(1)111(1)2211tdttdttt 32221 2(1)212 3ttC 3

13、2221111(1)3Cxx 22 33111(1)3xxCxx（2）令1,(0)txx时，32422421(0)11111dtdxt dtttxxttt 2222221(1)111(1)2211tdttdttt 32221 2(1)212 3ttC 3222322231 211(1)212 311(1)13CxxxxCxx 322234211(1)131dxxxCxxxx 习题五(A)3.根据定积分的几何意义，说明下列各式的正确性。(2)11112x dxxdx 解：11x dx表示图 1 中阴影部分的面积，它是图1 中第一象限面积的 2 倍，而第一象限阴影部分的面积可以表示为11xdx，1

14、1112x dxxdx。(4)2204x dx 解：2204x dx表示图 2 所示的四分之一圆的面积，故22201424x dx。4.根据定积分的性质，比较下列各组定积分值的 大小。(1)112300 x dxx dx与 解：因为01x，所以23xx(等号成立的x只有有限个)，又因为23,xx是连续函数从而可积，由定积分的性质可知112300 x dxx dx。5.利用定积分的性质，估计下列定积分值。(2)5244I(1+sinx)dx 解：令25()1 sin,()2sincossin244f xx xfxxxx 则。令()0fx得12,2xx而353(),()2,()1,(),42242

15、ffff因此1()2f x，故52442(1+sinx)dx。(4)20sin xIdxx 解：令sin(),0,2xf xxx，则2cos(tan)()0 x xxfxx。令()0fx得120,2xx。因为()f x在20,上单调递减，所以min()2ff2,max0sinlim1xxfx，即202sin()112xf xdxx，。6.求下列函数的导数。(1)20sinxdt dtdx 解：220sinsin.xdt dtxdx(2)2xtxdedtdx 解：2221211().22xtxxxxxdedteexeedxx(3)331()sinxdtxtdtdx 解：3333111()sins

16、insinxxxdddtxtdtttdtxtdtdxdxdx3sinxx31sinxdtdt xdx（）32321sin3sinsin3(coscos1).xxxxtdt xxxx 7.求下列极限。(1)0000000sinsinlimsinlimlim(1 cos)sin 01xxxxxxxxxxetdtexetdtexexx(2)0220222()()lim()limlim2()()().1xxxaaaxaxaxaxf t dtx f xxf t dtxf t dtx f xa f axa(4)00001221111lnln1ln111limlimlimlim1)2(1)2(1)44xxx

17、xxtxdtxtxxxxxx(.8.利用适当代换，证明下列各题。(2)若21ln()1xtf xdtt，证明1()()f xfx。证明：令11mttm则，从而11221121ln1ln1()()().111()xxmmf xdmdmfmmxm(3)若()f x在,a a上连续，证明()()0aaaaf x dxfx dx。证明：()()()()()aaaaaaaaf x dxfx dxf x dxfx dx()()()()()aaaaaaaafx dxtxf t dtf t dtf x dx 令()()()()()0aaaaaaaaf x dxfx dxf x dxf x dx原式。9.设()

18、f x连续，0 x，且220()(1)xf t dtxx，求(2)f。解：两边同时对x求导得：222()22(1)23f xxxxxxx，23()12f xx.令32(2)122xf,则。11.用牛顿莱布尼兹公式计算下列定积分。(2)33666222226221622(2222333xdxxd xd xx）（）（）。(4)222200022()211112(arctan)arctan044222281()2xdxxdxdxx(6)44443333212(1)1211()(1)(2)(1)(2)221xxdxdxdxdxxxxxxxx 443ln(2)ln(1)4ln2ln333xx(8)161

19、6161600009119(9)9999dxxxdxxd xxdxxx 332216161 2(9)12009 3xx(9)1011110012(1)10 xxxxxedxe dxe dxeee(10)22002sin(cos)cos00 xdxdxx (12)3334441112222arcsin2arcsin2arcsin(arcsin)(1)21()xdxdxxxdxxxxx 22223132742arcsin(arcsin)(arcsin)12221442x（）12.用变量代换法计算下列定积分。(2)2233333214444secsin(cos)tan tansinsin1 cos1

20、dxtdttdtdtxtdtttttxx 3334441111(1 cos)1(1cos)()2 1 cos1 cos21 cos21 cosdtdtdtttt(-)cost 113(12)33ln(1 cos)ln(1 cos)ln22344tt (3)1122222222210001121 sin 2sin cos(sin2)2xx dxxx dx xtttdtt dt 220011 cos411cos4222 428tdttdt(6)233222244sectan32 sec cossectan21dxttxtdttdtttxx(7)101111 ln ()lnln(1)1 ln(1)l

21、n2111(1)1eexeedxdtxtdttteet ttt (9)2221002(1)2 12(3 1)01 ln11tettdxe dtdtxetxxett(11)222lnln2422200011tanlncos lncos (ln2)81tttteexxdxtxtdttdtee 令(12)320002sinsincossincossincossinxxdxxxdxxxdxxxdx 3101201024sin 2()33txtdttdtdt (13)21112222000011 ln(1)222121112xttedxxttdtdtdttttln2令（）13.用分布积分法计算下列定积分

22、。(1)ln2ln2ln2000ln2ln2ln21 ln20022xxxxxxe dxxdexee dxe (2)22ln2ln2322000111 ln2224xxxx edxx edxxe dxln2(3)222222200011coscoscossin22xxxxIexdxxdex eexdx 22201111sincos2242440 xxex eexdxI .从而51.424eI 1(2)5Ie 。(5)21112222000121 1ln(1)ln(1)ln22011xxx dxxxxdxdxxx 1120011ln22ln221 arctanln22012dxdxxx(7)11

23、11111112lnlnln(ln)ln211eeeeeeex dxxdxxdxxxxdxxxdxxee 14.计算下列定积分。(1)1111121211100022111(21)2222txxxxttedxedxedxetdttde 10110ttt ee dt (2)11122222220001111111(11)lnlnln1121211(1)2xxxxxxxdxdxxxdxxxxxx 1111222222222200001 ln32ln31 1ln31ln311(1)2418181821xxdxdxdxdxxxxx 120ln31111ln31ln313ln3)8221182228dx

24、xx(4)2tan33233332000002tansec2secsec1sec1txtxxtxdxdtxdxxdxxxxt(dx)令32333000secsectantansectansec30Ixdxxdxxxxxdx 23333300002 3(sec1)sec2 3secsec2 3secxxdxxdxxdxIxdx 故：3013sec2Ixdx。又30secln sectanln(23)30 xdxxx 12 3ln(23)ln(23)2 3ln(23)2原式 22.求下列曲线围成的平面图形的面积。(1),0 xyeyex与;解：如图 3 所示，面积11lnln11eeeSydyy

25、ydy(3)22,4;yx yx 解：如图4所示，面积4422322111(4)18226Sdyy(y+4)-ydyy(4)1,2yyxxx与；解：如图 5 所示，面积2113()ln22Sxdxx(5)2,2yxyxyx与；解：如图 6 所示，面积122017(2)(2)6Sxx dxxxdx 23.求由抛物线243yxx 及其在点(0,3)和(3,0)处的切 线所围成的图形的面积。解：24 (0)4,(3)2yxyy 。(0,3)y=4x-3过点的切线为，过 点（3，0）的切线为26yx。当4326xx 时3,2x两切线的交点为3(,3)2。如图 7 所示，面积 33222302(43)(

26、43)(26)(43)Sxxxdxxxxdx 332223029(69)4x dxxxdx 24.求sincos02yxyxxx与在与之间所围成的图形的面积。解：如图8所示，面积52445044(cossin)(sincos)(cossin)Sxx dxxx dxxx dx 524(sincos)(cossin)(sincos)4 245044xxxxxx 25.设2,0,1yxx，问t为何值时，图中阴影部分的面积12SSS与之和最小？最大？解：如图9所示面积122223212041()()33ttSSStxdxxtdxtt 212422(21).00,1SttttStt令得。又1112(0)

27、,(),(1)3243SSS 1121.243当t=时,S最小为;当t=时,S最大为 29.设某产品投放市场后都转化为商品，当销售量为Q(百台)时，其边际成本函数为1()44C QQ(万元/百台)，其边际收益函数为()8R QQ(万元/百台)。求：(1)总成本函数()C Q和总收益函数()R Q;(2)问月销售量为多少台时，才能获得最大利润。并求出获得最大利润时的总收益R和平均收益R。假若固定成本01C(万元)。解：(1)由题意20011()(4)4148QC QQ dQCQQ，201()(8)82QR QQ dQQQ (2)25418LRCQQ,54,03.24LQLQ 令得唯一驻点.又50

28、4L 所以当3.2Q 取极大值也是最大值。即当月销售量为 3.2 台是才能获得 最大利润(3.2)5.4()L万元。此时20.48(3.2)20.48,6.43.2RR 30.生产某产品的固定成本050C 万元，边际成本与边际收益分别为214111MCQQ(万元/单位)，1002MRQ(万元/单位)，试求厂商的最大利润。解：利润2000(1002)(14111)50QQLRCCQ dQQQdQ 321611503QQQ。21211(11)(1)LQQQQ 令0L 得 1211,1.212QQLQ 又。(11)100L 为极大值点也是最大值点。所以当 11Q 时厂商有最大利润334(11)()3

29、L万元。32.计算下列广义积分。(2)22111arctan()144544241()2dxdxxxxx(3)22111arctan1111arctan()arctan11xdxxdxdxxxxxx 2222111111()lnln(1)ln2114214242dxxxxx(5)2222000sin()2cos0 xxxxIexdxedcosxecosxexdx 22220001 2cos1 2sin2sin0 xxxxexdxedxexexdx （sin）=1-2=1-4I 故201sin5xIexdx。(6)2120100limlim(2)(2)(2)dxdxdxxxxxxx 。令2xux

30、则22,1xu 112012lim2arctan,12dxduuuxxx 同理2100lim2arctan1(2)dxuxx 102arctan2arctan1uu 原式 (7)22222221110011ln(1)limlimln(1)ln(1)dxd xdxxxxxx 22110001111limlimlim(1)1ln2ln(1)ddx 1(-)(-)lnx 001ln(1)1lim11limln2ln(1)ln2(1)ln(1)11311ln222ln2 习题五(B)1.证：由积分中值定理可知：至少存在一点,a b，使得1()().baf x dxfba在,b上满足洛尔定理，至少存在一

31、点,ba b使得()0.f 2.(),f xa b在上连续，故有最小值 m 最大值 M,()()()()()().()bbbbabaaaaf x g x dxm g x dxf x g x dxMg x dxmMg x dx 由闭区间上连续函数的性质可知:至少存在一点,a b使得:()()()()()()().()bbbabaaaf x g x dxff x g x dxfg x dxg x dx 3.证：(1)0()(2)(),()()xFxxt f t dtutftf t 令则由可得：00()(2)()()(2)()()()xxFxxu fuduxu f u duF xF x 即为偶函数。

32、(2)00()()2(),xxF xx f t dtt f t dt00()()()2()()2().xxF xf t dtxf xxf xf t dtxf x 0()()()()0()xf xf t dtxf xF xF x单调不增，单调不减。4.解：令2222222()(1)01.()22(1)2(2)xxxxfxx exfxxexx exex 得 而(1)0f，(1)(1)0(1)fff为极大值；为极小值。5.解：令222lnln()0()()(,)21(1)ttfxxef xxe ettt 222222lnlnln()max()2121(1)xeee x eeeetttf xdtdtd

33、tf xttttt 2222221lnln1ln11eeeeeeeetttdtdtdtte t(t-1)(t-1)(t-1)22222ln11111()lnln(1)1111eeeeeeeetdttedtdteettete(t-1)t(t-1)6.解：111()1().()():xxf xf t dtxf xxf t dtxx 上式两边对 求导得 11()()1()().()lnf xxfxf xfxf xdxxcxx 即。(1)11()ln1.fcf xx 故 7.解：,uxttxu dtdu 令则代入原式可得030()()1 cosxxf xt dtf u dux 111330011()1

34、 cos 1;1()1 cos 1()0.xf u duxf u duf u du 令得令得两式相加得 8.解：,uxttxu dtdu 令则代入原式可得200()()xxx uxuxf u eduef u e due 20()()()xuxxxxf u e duef x eef xe.两端对x 求导得:1122001()(1).2xf x dxe dxe 9.解：12201().()1,1Af x dxf xAxx设则代入原式得 11121220200011arctan11.sin14Ax dxxAx dxAx dxxtx令代入上式可得222001 cos2cos442444tAAtdtAd

35、tAA=10.解：:0,duutxux dtx令则代入原式左端得 120001()()()sin()()sinxxxf tx dtf u duf xxxf u duxf xxxx。两端对 求导得：2()()()2 sincos()sincosf xf xxfxxxxxfxxxx ()2coscos2cossinsincossinf xxxxdxxxxxdxxxxC 11.解：两边对x求导得：15()()().1,(1)2ttf txtf xf u duxf令由得15()()2ttf ttf u du 由 此 推 出()f t在)0,+内 可 导。两 边 对t求 导 得5()()()2tf tf

36、 tf t5()2f tt 5555()ln.(1),()ln12222f xxCfCf xx由得 12.解：在左端令2uxt，则:2,uxxdudt代入左端得：2222001arctan(2)()()(2)()(2)()(2)()2xxxxxxxxu f uduxu f u duxu f u duxu f u du2200002()2()()()xxxxxf u duxf u duuf u duuf u du。两端对x求导得：224002()2()()2()()1xxxxxf u duf u duxf xf u duxf xx。令1,x 由f(1)=1可得：2411113()()(1)212

37、24xf u duxf xfx 13.解：(1)求焦点2211(1)1ynxnynxn21,211,(1)(1)xxn nn n 11(1)(1)223012(1)11412(1)(1)3(1)n nn nnn nSx dxx dxn nn nn n(2)11413(1)nnnnSan n,1141411414()(1)3(1)31313nnnkkk kkkn令 143nnnSa.14.(1)如图 1，1403()10yVyydy (2)如图 2，286230012864;4()75xyVx dxVydy(3)如图 3，1022201(arccos)(arccos)yVydyydy(4)如图

38、4，21ln(2)exVxdxe(5)如图 5，112222220021128 14xVxxdxx dx(2+)-(2-)15.解：(1)设切点00(,),A xy则过00(,),A xy的切线方程为000()()yyfxxx。即 220000012()()2yxxxxxyxx，由命题可知0y00011222xyyx(+)-dy 3320002200000211;1(1,1).42312yx yyyxyAx 切点(2)切线方程为21yx。(3)如图 6，1142102(21)30 xVx dxxdx.16.解：设抛物线的方程为2yaxbxc，它通过点(1,0)A和(3,0)B，故 22043.

39、43(2)1930abcbacayaxaxaa xabc，从而有抛物线的方程为.(1)1322121201444(43);(43).333Saxxdxa SaxxdxaSSa(2)依题意有：111222242100038(43)(2)1(2)2(2)115Vaxxdxaxdxaxxdxa 31224221016(43)(2)2(2)115Vaxxdxaxxdxa.1219.8VV 17.解：如图8，(1)1233322102032()();().2366aaaaxxaaaSaxxdxSxax dx 3122321,()0(0)62aaSSSS aaa 令,111222,()20,6222SaS

40、即S()为极小值也为最小值,且S()=.(2)21224420221121()()2230 xVxxdxxxdx.18.解：如图9，(1)22201(1),(1)lim222xaVedxeV aeV()由()()=4 ln2.2a (2)设曲线上所求点为(,)Ae，则过该点的切线方程为()()().yefxex (1).yeexex e 该切线与y轴的交点为：1.x 121max0(1)()(1).()01()2.2Sx e dxeSSe 面积令 19.解：22200001limlimlim()(1)(1)(1)(1)bbbxxxxxxxbbbxexexedxdxdxxdeeee 000001

41、111limlimlim()lim lnln211(1)1bbbxxbxbxxxxxxxbbbbdxe dxedeeeeeeee 20.解：原式=1222211ee11limarctan()eeee244xxxbxxbdxdeeeee 21.解：22222222000004lim2lim(2)2lim(2)bbbxxxbxxbbbx edxx dex exedxxde 2220001lim(2)lim(2)(0)1.2bxbxxbbbxeedxe 2(2)/(1)222lim()lim(1)ax aaaxaax axxxaaexaxa，要使21ae，取0.a 22.解：如图 10，(1)022

42、2020011limlim1.22xxxxbaabSe dxedxee当0t 时，221()()2.()12(0).ttStt F tteS ttet (2)2222(2)2(21).tttSetete 令()0S t得唯一驻点12x，又21111()4(22).()0()()1.222tS tt eSSSe 为极小值也是最小值.最小值 习题六（A）5 求下列函数的定义域并画出定义域的示意图：（1）zxy；解：0,0,2xxyyxDz（2）2ln(21)zyx；解：12,2xyyxDz 9设221 1(,)2yxfx yxy，求(,)f x y。解：令.1,1.1,1vyuxvyux)2(12

43、11),(2222uvuvvuvuuvvuf)2(),(22xyxyyxyxf 13求下列函数的偏导数：（1）arctanxyzxy 解：22222222()()()()()(),1()1()xyxyxyxyzyzxxyxyxyxyxxyyxyxyxy（2）cossinxyzyx 解：xxyyxyxxyyxyzxyxyyxyxyyxxz1coscossinsin)(coscos1sinsin22（3）yxzxy 解：1lnyxzyxyyx，1lnyxzxxxyy （4）22yxzx arcrany arcranxy 解：yxyxyxyyxxyxyxyyxyxyxxyxxzarctan2arct

44、an2111arctan222322222222 yxyxyxyxyyxyxyxxyzarctan21arctan21122222222（5）sin()xyzexy 解：)cos()sin()cos()sin(yxeyxxeyzyxeyxyexzxyxyxyxy（7）221xyzexy 解：2222222222)(2)(,)(2)(yxyeyxxeyzyxxeyxyexzxyxyxyxy 15设22arctanxyzxy，试证：sin22zzzxyxy。证明：222222222222)()(2)(1)()(2yxyxyxyxyxyxyxyxyxxxz 222222222222)()(2)(1)

45、()(2yxyxyxyxyxyxyxyxyxyyz 222222222222)()()(2)(12tan1tan22sinyxyxyxyxyxyxyxyxzzz 22sin)()()()()(22222222223223zyxyxyxyxyxyxyxyyxxxzyxzx 17求下列函数的二阶偏导数：（1）cossinyxzxeye 解：xyyxxyeexeyzeyeexzsinsin,coscos yyyyxxyyxxxxexeexeyzeeeeyxzeyeeyexzcossincossin,sincos2222222（2）22xzxy 解：22222222222222)(2,)()(2yxx

46、yyzyxxyyxxyxxz 32223422222222222)(62)(2)(2)()(2yxxyxyxxyxyxyxxxz 3223242222222222)(26)(4)()(2yxyyxyxyyxyxyxyyxz 322324222222222)(26)(2)(22)(2yxxxyyxyyxxyyxxyz（3）arcsin()zxy；解：22221,1yxxyzyxyxz，,)1(11)2()1(21,)1(1)2()1(22322222212222223223222212222yxyxyxyxyyxyxzyxxyyxxyyxyxz,)1(1)2()1(223223222212222

47、yxyxyxyxyxxyz 18求下列函数的全微分：、（2）xyzxy 解：因为222()()xxyxyyZxyxy，222()()yxyxyxZxyxy 所以22()()dzydxxdyxy。（4）23(,)f x yx y在点（2，1）处的全微分 解：因为32fxyx，(2,1)4fx 223fx yy，(2,1)12fy。所以412dfdxdy。20，求下列复合函数的偏导数或导数：（1）2lnzuv，yux，22vxy，求zx，zy；解：.zzuzvxuxvx 22232222 ln2()uyyuvvxx xy 22223222ln()yxxyxxy 21.2 ln2zzuzvuuvyy

48、uyvyxv322222222ln()()yyxyxxxy 2222222ln()()yyxyxxy（2）2uvze，sinux，2vy，求zx，zy；解：22sin2coscosuvxyzexexx。22sin2224uvxyzeyyey （3）22(,)xyzf xye，(,)f x y有连续的二阶偏导数，求zx，zy；解：设22uxy，xyve 则222212(,)(,)xyxyzuvfxyefxyexxx 2222122(,)(,)xyxyxyxfxyeyefxye 2222122(,)(,)xyxyxyzyfxyexefxyey 21求下列方程所确定的隐函数(,)zf x y的全微分

49、：（1）zexyz 解：()()zd ed xyz 有ze dzxydzxzdyyzdx 所以zzzxzdyyzdxyzxzdzdxdyexyexyexy（2）arctan()yzxz；解：()arctan()d yzdxz 有22zdxxdzydzzdyx z 所以222222(1)(1)(1)zx zzdzdxdyx zyxx zyx 22求下列函数的极值，并判断是极大值还是极小值：（1）()zxy axy(0)a 解：解方程组()0()0 xyzy axyxyzx axyxy 得驻点(0,0),(,)3 3a a，3(0,0)0,(,)3 327a aaff 由2,xxzy 22,xyz

50、axy 2yyzx 1(0,0)0,xxAz 1(0,0),xyBza 1(0,0)0yyCz 由于 221110.BACa (0,0)不是极值点。而 22(,),3 33xxa aAza 2(,),3 33xya aaBz 22(,)3 33yya aCza 2222270,81BA Ca 22,3Aa 当0a 时，20,A 函数在(,)3 3a a取极大值327a；当0a 时，20,A 函数在(,)3 3a a取极小值327a；（3）222ln2lnzxyxy，x0，y0；解：解方程组220220 xyzxxzyy 得驻点(1,1)（由于0,0 xy）(1,1)2f 222,xxzx 0,