第1讲基本式、直线的斜率与直线方程.pdf

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1、第 1讲基本公式、直线的斜率与直线方程【2013 年高考会这样考】1观察直线的有关看法，如直线的倾斜角、斜率、截距等；观察过两点的斜率公式2求不同样条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等)3直线常与圆锥曲线结合，属中高档题【复习指导】1本讲是剖析几何的基础，复习时要掌握直线方程的几种形式及相互转变的关系，会依照已知条件求直线方程2在本讲的复习中，注意熟练地画出图形，抓住图形的特色量，利用该特色量解决问题经常能达到事半功倍的收效基础梳理1数轴上的基本公式(1)直线坐标系一条给出了原点、胸襟单位和正方向的直线叫做数轴，也许说在这条直线上建立了直线坐标系(2)向量的有关看法位移是一个既有大小又有

2、方向的量，平时叫做位移向量，简称为向量从点 A到点 B 的向量，记作AB.点 A 叫做向量 AB 的起点，点B 叫做向量 AB 的终点，线段 AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|.数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量2 平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式已 知 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 两 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 d(A，B)|AB|2x2x1 y2 y12.(2)中点公式x已知平面直角坐标系中的两点x12，y yy.A(x1，y1)，B(x2，y2)，点 M(x，y)是线段 AB的中点，则 x12223 直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：

3、定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角当直线与 x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.倾斜角的范围为 0 180.(2)直线的斜率：定义：直线倾斜角(当 90时)的正切值叫直线的斜率常用 k 表示，k tan，倾斜角是 90 的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式：给定两点P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)，则过这两点的直线的斜率k y2 y112x2 x14 直线方程的五种形式其中 x x)名称方程适用范围点斜式y y1 k(x x1)不含垂直于x 轴的直线斜截式y kx b不含垂直于x 轴的直线续表两点式y y1 x x1y2 y1x2 x1(x1x2，y1 y2)

4、不含垂直于坐标轴的直线截距式xab(ab0)AxBy C 0(A，B 不同样时为零)y 1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用一条规律直线的倾斜角与斜率的关系：斜率 k是一个实数，当倾斜角 90时，k tan.直线都有倾斜角，但其实不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 90的直线无斜率两种方法求直线方程的方法：(1)直接法：依照已知条件，选择适合形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程；(2)待定系数法：先依照已知条件设出直线方程再依照已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程两个注意(1)求直线方程时，若不能够判断直线可否拥有斜率时，对付

5、斜率存在与不存在加以谈论在用截距式时，应先判断截距可否为0，若不确定，则需分类谈论双基自测1(人教 B 版教材习题改编)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为()(2)2A.3剖析k3B.222C 33D 20 23 03.答案CA30剖析答案B2直线 3x y a 0(a为常数)的倾斜角为()B 60C 150 D 120 直线的斜率为：ktan 3，又 0，)60.33(2011龙岩月考 )已知直线l经过点 P(2,5)，且斜率为4.则直线 l 的方程为()A 3x 4y 14 0B 3x4y 14 0C 4x 3y 14 0D 4x 3y 14 0剖析由 y 5 3(x 2)，

6、得 3x 4y 140.4答案A4(2012烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为 ()A x y 3 0B x y 3 0C x y 3 0D x y 3 0y 3x 0，即 x y 30.剖析由两点式得：1 3 2 0答案B5(2012长春模拟)若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a 的值为 _ 5 3a 3 1，kAB剖析kAC a 3.6 45 4由于 A、B、C 三点共线，因此a 3 1，即 a 4.答案4【例 1】?若直线l：y kx 3 与直线倾斜角的取值范围是()考向一直线的倾斜角与斜率2x 3y 6 0的交点位于第一象限，则直线l的A.6 ，

7、3B.6 ，2C.3 ，2D.3，2 审题视点 确定直线 l 过定点(0，3)，结合图象求得剖析由题意，可作两直线的图象，以下列图，从图中能够看出，直线 l的倾斜角的取值范围为6，2.答案B求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依照正切函数ytan 的单调性求 k的范围，数形结合是剖析几何中的重要方法则其斜率的取值范围是 (1A 1 k 5【训练 1】(2012贵阳模拟)直线 l 经过点 A(1,2)，在 x轴上的截距的取值范围是)(3,3)，1B k 1或 k 21或 k 1D k 1或 k 1C k52剖析设直线的斜率为k，则直线方程为y

8、2 k(x 1)，直线在 x轴上的截距为1，22令 3 1k 3，解不等式可得也能够利用数形结合答案D求直线的方程考向二【例 2】?求适合以下条件的直线方程：k(1)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点 A(1，3)，斜率是直线 y 3x 的斜率的41；(3)过点 A(1，1)与已知直线 l1：2x y 60订交于 B 点且|AB|5.审题视点 选择适合的直线方程形式，把所需要的条件求出即可解 (1)法一 l 的方程为设直线 l 在 x，y轴上的截距均为a，若 a 0，即 l 过点(0,0)和(3,2)，2y3x，即 2x 3y0.xy若 a0，则设 l 的方程为aa 1

9、，32 l 过点(3,2)，aa 1，a 5，l 的方程为x y 50，综上可知，直线l的方程为 2x 3y 0或 x y 50.法二由题意，所求直线的斜率k 存在且 k 0，设直线方程为y2 k(x 3)，令 y 0，得 x 3，令 x 0，得 y 2 3k，k由已知 3 2 3k，解得 k 1或 k，222k3直线 l 的方程为 y 2(x 3)或 y 2(x 3)，23即 x y 5 0或 2x 3y 0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意13k4 34.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y 3 (x 1)，4即 3x4y 15 0.(3)过点 A(1，1)与 y轴平行的直线为

10、x 1.解方程组 x 1，2x y 6 0，求得 B 点坐标为(1,4)，此时|AB|5，即 x 1为所求设过 A(1，1)且与 y轴不平行的直线为3y 1 k(x 1)，解方程组 2x y 6 0，y 1 k x 1，得两直线交点为k 2(k 2，否则与已知直线平行)k 2xk 7，y 4k2.则 B点坐标为由已知k 7k 74k2，.124k21252，k 2k 233解得 k，y 1(x 1)，44即 3x4y 1 0.综上可知，所求直线的方程为x 1或 3x 4y1 0.在求直线方程时，应先选择适合的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必定存在，而两

11、点式不能够表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能够表示与坐标轴垂直或经过原点的直故在解题时，若采用截距式，应注意分类线，谈论，判断截距可否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况【训练2】(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y 4x的斜率的13 的直线方程(2)求经过点 A(5,2)，且在 x轴上的截距等于在y 轴上截距的2 倍的直线方程解 (1)设所求直线的斜率为 k，依题意14k 433.又直线经过点 A(1,3)，因此所求直线方程为y 34(x 1)，即 4x3y 13 0.3(2)当直线但是原点时，设所求直线方程为xy 1，将(5,2)代入所设方程，解得 a12a a2，此时，直线方程

12、为 x 2y1 0.2当直线过原点时，斜率k，2直线方程为y5x，即 2x5y 0，综上可知，所求直线方程为x 2y 1 0或 2x5y 0.考向三直线方程的应用【例3】?已知直线l过点 P(3,2)，且与x 轴、y轴的正半轴分别交于A、B 两点，如右图所示，求面积的最小值及此时直线l的方程 审题视点 设直线l的方程为截距式，利用基本不等式可求解xa by 1，设 A(a,0)，B(0，b)，(a 0，b0)，则直线l的方程为l过点 P(3,2)，32 1.3a b 1 2 26，即 ab24.a b S1ab3ABO ab2 12.当且仅当a2b，即 a 6，b 4.ABO 的面积最小，最小

13、值为xy12.此时直线 l 的方程为：1.64即 2x3y 12 0.求直线方程最常用的方法是待定系数法若题中直线过定点，一般设直线方ABO的k 的符号程的点斜式，也能够设截距式注意在利用基本不等式求最值时，斜率【训练 3】在本例条件下，求 l 在两轴上的截距之和最小时直线l的方程解设 l 的斜率为 k(k 0)，则 l 的方程为 y k(x 3)2，令 x 0 得 B(0,2 3k)，2，0，l 在两轴上的截距之和为令 y 0得 A 3 k2 3k 3 53k52 6，kk6(当且仅当 k时，等号建立)，322k6时，l 在两轴上截距之和最小，6x 3y 366 0.3此时 l 的方程为难点打破18 直线的倾斜角和斜率的范围问题从近两年新课标高考试题能够看出高考对直线的倾斜角和斜率的观察一般不单独命题，常和导数、圆、椭圆等内容结合命题，难度中档偏上，考生经常对直线的倾斜角和斜率之间的关系弄不清而出错4【示例 1】?(2010辽宁)已知点 P 在曲线 y ex1曲线在点 P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是 ()上，为A.0，4 3，B.42 3，C.2 4D.4【示例 2】?(2011济南一模)直线 l 过点(2,0)，l与圆 x2 y2 2x有两个交点时，则直线 l 的斜率 k的取值范围是 ()A.(2 2，2 2)C.，2424D.B(2，2)1，188