函数恒成立存在性问题.pdf

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1、函数恒成立存在性问题函数恒成立存在性问题知识点归纳梳理知识点归纳梳理1 1、恒成立问题的转化：、恒成立问题的转化：a fx恒成立恒成立a fxmax；a fx恒成立 a fxmina fx在 M 上恒成立a fx在CRM上恒成立2 2、能成立问题的转化：、能成立问题的转化：a fx能成立能成立a fxmin；a fx能成立 a fxmaxa fx在在 M M 上恰成立上恰成立a fx的解集为的解集为 M M3 3、恰成立问题的转化：恰成立问题的转化：另一转化方法：另一转化方法：若若xD,f(x)A在在 D D 上恰成立，上恰成立，等价于等价于f(x)在在 D D 上的最小值上的最小值fmin(

2、x)A，若若x D,f(x)B在在 D D 上恰成立，则等价于上恰成立，则等价于f(x)在在 D D 上的最大值上的最大值fmax(x)B.4 4、设设函函数数fx、gx，对对任任意意的的x1a,b，存存在在x2c,d，使使得得fx1 gx2，则则fminx gminx5 5、设设函函数数fx、gx，对对任任意意的的x1a,b，存存在在x2c,d，使使得得fx1 gx2，则则fmaxx gmaxx6 6、设函数设函数fx、gx，存在存在x1a,b，存在存在x2c,d，使得使得fx1 gx2，则则fmaxx gminx7 7、设函数、设函数fx、gx，存在存在x1a,b，存在存在x2c,d，使得

3、使得fx1 gx2，则则fminx gmaxx8 8、若不等式若不等式fx gx在区间在区间 D D 上恒成立，上恒成立，则等价于在区间则等价于在区间 D D 上函数上函数y fx和图象在函和图象在函数数y gx图象上方；图象上方；9 9、若不等式若不等式fx gx在区间在区间 D D 上恒成立，上恒成立，则等价于在区间则等价于在区间 D D 上函数上函数y fx和图象在函和图象在函数数y gx图象下方；图象下方；例例题题 讲讲解：解：题型一、常见方法题型一、常见方法a，其中，其中a 0，x 0 x 1 1）对任意）对任意x1,2，都有，都有f(x)g(x)恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值

4、范围；的取值范围；2 2）对任意）对任意x11,2,x22,4，都有，都有f(x1)g(x2)恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围；的取值范围；a11h(x)10a,2h(x)x bx,1恒成立，求实数恒成立，求实数b的取的取2 2、设函数、设函数，对任意，对任意，都有，都有在在x241 1、已知函数、已知函数f(x)x2 2ax 1，g(x)值范围值范围13 3、已知两函数已知两函数f(x)x，g(x)m，对任意对任意x10,2，存在存在x21,2，使得使得f(x1)gx2，22x则则实数实数 m m 的取值范围为的取值范围为题型二、主参换位法题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理

5、成关于这个参数的函数已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1 1、对于满足、对于满足p 2的所有实数的所有实数 p,p,求使不等式求使不等式x2 px 1 p 2x恒成立的恒成立的 x x 的取值范围。的取值范围。2 2、已知函数、已知函数f(x)ln(ex a)(a为常数）是实数集是实数集R上的奇函数，函数上的奇函数，函数gxf(x)sin x是区间是区间1,1上的上的减函数，减函数，()求求a的值；的值；2 ()若若g(x)t t 1在x1,1上恒成立，求上恒成立，求t的取值范围；的取值范围；题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）题型三、分离参数法（欲求某个

6、参数的范围，就把这个参数分离出来）1 1、当、当x1,2时，不等式时，不等式x2mx 4 0恒成立，则恒成立，则m的取值范围是的取值范围是 .题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）1 1、若对任意、若对任意xR,不等式不等式|x|ax恒成立，则实数恒成立，则实数a的取值范围是的取值范围是_2 2、已知函数、已知函数fx x 2kx 2，在，在x 1恒有恒有fx k，求实数，求实数k的取值范围。的取值范围。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法：题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法：方

7、法：方法：若在区间若在区间D D 上存在实数上存在实数x使不等式使不等式fx A成立成立,则等价于在区间则等价于在区间D D 上上2fxmax A；若在区间若在区间 D D 上存在实数上存在实数x使不等式使不等式fx B成立成立,则等价于在区间则等价于在区间D D 上的上的fxmin B.21 1、存在实数、存在实数x，使得不等式，使得不等式x3 x1a 3a有解，则实数有解，则实数a的取值范围为的取值范围为_。12f x ln xax 2xa 0存在单调递减区间，求存在单调递减区间，求a的取值范围的取值范围2 2、已知函数、已知函数 2恒成立与有解的区别：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有

8、明显区别的恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。转化，切不可混为一体。不等式不等式fx M对对xI时恒成立时恒成立 fmax(x)M，xI。即。即fx的上界小于或等于的上界小于或等于M；不等式不等式fx M对对xI时有解时有解 fmin(x)M，xI。或或fx的下界小于或等于的下界小于或等于M；不等式不等式fx M对对xI时恒成立时恒成立 fmin(x)M，xI。即。即fx的下界大于或等于的下界大于或等于M；不等式不等式fx M对对xI时有解时有解 fmax(x)M，xI.。或或fx的上

9、界大于或等于的上界大于或等于M；课后作业：课后作业：1 1、设、设a 1，若对于任意的，若对于任意的xa,2a，都有，都有ya,a2满足方程满足方程logaxlogay 3，这时，这时a的取的取值集合为（值集合为（）（A A）a|1 a 2（B B）a|a 2（C C）a|2 a 3（D D）2,3x y 02 2、若任意满足、若任意满足x y 5 0的实数的实数x,y，不等式，不等式a(x2 y2)(x y)2恒成立，则实数恒成立，则实数a的最大值的最大值y 3 0是是 _._.3 3、不等式、不等式sin2x4sinx1a0有解，则有解，则a的取值范围是的取值范围是4 4、不等式、不等式a

10、x x4 x在在x0,3内恒成立，求实数内恒成立，求实数 a a 的取值范围。的取值范围。3225 5、已知两函数、已知两函数fx7x 28xc，gx2x 4x 40 x。（1 1）对任意）对任意x 3,3，都有，都有)成成fxgx立，求实数立，求实数c的取值范围；的取值范围；（2 2）存在）存在x 3,3，使成立使成立fxgx，求实数，求实数c的取值范围；的取值范围；（3 3）对任意）对任意x1,x23,3，都有，都有fx1 gx2，求实数，求实数c的取值范围；的取值范围；（4 4）存在）存在x1,x23,3，都有，都有fx gx，求实数，求实数c的取值范围；的取值范围；1213（）求函数（

11、）求函数fx的单调区间和极值；的单调区间和极值；3226 6、设函数、设函数f(x)x 2ax 3a xb(0 a 1,bR).（）若对任意的（）若对任意的xa 1,a 2,不等式不等式f x a成立，求成立，求 a a 的取值范围。的取值范围。7 7、已知已知 A A、B B、C C 是直线是直线 上的三点，上的三点，向量向量OAOA，OBOB，OCOC满足：满足：OA y 2f1OB lnx 1OC 0.2x2x（1 1）求函数）求函数 y yf(x)f(x)的表达式；的表达式；（2 2）若）若 x x0 0，证明：，证明：f(x)f(x)x x2 2；（3 3）若不等式若不等式x2 fx

12、2 m2 2bm 3时，时，x1,1及及b1,1都恒成立，都恒成立，求实数求实数 m m 的取的取12值范围值范围8 8、设、设fx px 2lnx，且，且fe qe 2（e e 为自然对数的底数）为自然对数的底数）(I)(I)求求 p p 与与 q q 的关系；的关系；(II)(II)若若fx在其定义域内为单调函数，求在其定义域内为单调函数，求 p p的取值范围；的取值范围；(III)(III)设设gx取值范围取值范围.参考答案：题型一、常见方法。参考答案：题型一、常见方法。1 1、分析：、分析：1 1）思路、等价转化为函数）思路、等价转化为函数f(x)g(x)0恒成立，在通过分离变量，创设

13、新函数求恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决最值解决 2 2）思路、对在不同区间内的两个函数）思路、对在不同区间内的两个函数f(x)和和g(x)分别求最值，即只需满足分别求最值，即只需满足fmin(x)gmax(x)即可即可x3 xax3 x简解：（1）由x 2ax 1 0 a 2成立，只需满足(x)2的最小值大于a即x2x 12x 12qxpe2e，若在，若在1,e上至少存在一点上至少存在一点x0，使得，使得fx0 gx0成立成立,求实数求实数 p p 的的x可2x4 x21x3 x 0，故(x)在x1,2是增函数，对(x)2求导，(x)22(2x 1)2x 122min(x)(1)

14、，所以a的取值范围是0 a 332 2、分析：分析：思路、思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数再处理另一个参数以本题为例，以本题为例，实质还是通实质还是通过函数求最值解决过函数求最值解决方法方法 1 1：化归最值，：化归最值，h(x)10 hmax(x)10；方法方法 2 2：变量分离，：变量分离，b 10(x)或或a x2(10 b)x；方法方法 3 3：变更主元，：变更主元，(a)a x b 10 0，a,2简解：方法简解：方法 1:1:对对h(x)g(x)x b ax1x12aa(x a)(x a)x b求导，求导，h(x)12，

15、2xxx由此可知，由此可知，h(x)在在,1上的最大值为上的最大值为h()与与h(1)中的较大者中的较大者1 139h()104ab1071b4a 4b a,244b，对于任意，对于任意，得，得 的取值范围是的取值范围是42h(1)101ab10b9a141413 3、解析：对任意解析：对任意x10,2，存在，存在x21,2，使得，使得f(x1)gx2等价于等价于g(x)m在在1,2上上2x的的最小值最小值m不大于不大于f(x)x2在在0,2上的最小值上的最小值 0 0，既，既m 0，m 141414题型二、主参换位法题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数已知某个参数

16、的范围，整理成关于这个参数的函数)。1 1、解：不等式即解：不等式即x1p x22x1 0,设设fpx1p x22x1，则，则fp在在-2,2-2,2上恒上恒2f2 0 x 4x3 0 x 3或x 12大于大于 0 0，故有：故有：x 1或或x 3x 1或x 1f 2 0 x 1 0 2 2、()分析：在不等式中出现了两个字母：分析：在不等式中出现了两个字母：及及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作量，另一个作为常数。显然可将为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在视作自变量，则上述问题即可转化为在,1内关于内关于的一次函数大于的一次函数大

17、于等于等于 0 0 恒成恒成，上单调上单调立的问题。立的问题。()略解：由略解：由()知：知：f(x)x，g(x)xsinx，g(x)在在111上恒成立，上恒成立，1g(x)g(1)sin1，递减，递减，g(x)cosx 0 cosx在在1，y，y|x|只需只需sin1 t2t 1，(t 1)t2sin11 0（其中（其中 1）恒成立，由上述结论）恒成立，由上述结论y|x|max：可令：可令f(t 1)t2t 1 0t 1y axy axsin11 0(1）,则则t 1t2sin11 0，t2t sin1 0，而，而t2t sin1 0恒成立恒成立，t 1。题型三、分离参数法（欲求某个参数的范

18、围，就把这个参数分离出来）题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）O1、当、当x1,2时，不等式时，不等式x2mx 4 0恒成立，则恒成立，则m的取值范围是的取值范围是 .2x 4解析解析:当当x(1,2)时，由时，由x mx 4 0得得m.m 5.x2x题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）1 1、解析：对、解析：对xR,不等式不等式|x|ax恒成立、则由一次函数性质及图像知恒成立、则由一次函数性质及图像知1 a 1，即，即1 a 1。2 2、分析：为了使、分析：为了使fx k在在x1

19、,恒成立，构造一个新函数恒成立，构造一个新函数Fx fxk，则把原题转化成，则把原题转化成左边二次左边二次函数在区间函数在区间1,时恒大于等于时恒大于等于0的问题，的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问使问题得到圆满解决。题得到圆满解决。2解：令解：令Fx fx k x 2kx 2 k，则，则Fx 0对对x1,恒成立，而恒成立，而Fx是开口向上的抛物线。是开口向上的抛物线。当图象与当图象与 x x 轴无交点满足轴无交点满足 0，即，即 4k 22 k 0，解得，解得2 k 1。当图象与当图象与 x x 轴有交点，轴有交点，且在且在x1,时时Fx

20、 0，则由二次函数根与系数的分布知识及则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：图象可得：2 0F1 0解得解得3 k 2，故由知，故由知3 k 1。2k 12小小结结：若若二二次次函函数数y ax bx ca 02y ax2bx ca 0大大于于 0 0 恒恒成成立立，则则有有 0，同同理理，若若二二次次函函数数a 0小于小于 0 0 恒成立，则有恒成立，则有 0。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定a 0理以及根与系数理以及根与系数的分布知识求解的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法。题型

21、五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法。若在区间若在区间 D D 上存在实数上存在实数x使不等式使不等式fx A成立成立,则等价于在区间则等价于在区间 D D 上上fxmax A；若在区间若在区间 D D 上存在实数上存在实数x使不等式使不等式fx B成立成立,则等价于在区间则等价于在区间 D D 上的上的fxmin B.1 1、解：设、解：设fx x 3 x 1，由，由fx a 3a有解，有解，a 3a fx，又又x 3 x 1 x 3x 1 4，a23a 4，解得，解得a 4或a 1。22min21ax 2x12 2、解：、解：因为函数因为函数fx存在单调递减区间，所以存在单调递减

22、区间，所以fxax2 0 xx12120,有解有解.即即a 2xx0,能成立能成立,设设ux2x.xx21由由ux211得得,uminx 1.于是于是,a 1,xxx由题设由题设a 0,所以所以 a a 的取值范围是的取值范围是1,0 0,12课后作业：课后作业：2a3a a2a3a2log xlog y 3xa,2a1 1、B B 由由a得得y，对任意的，对任意的，得，得 a，故，故2 a 2。a2xxa2 a22a 125y3xy，1。2 2、答案：答案：。解析：解析：由不等式由不等式a(x2 y2)(x y)2可得可得由线性规划可得由线性规划可得13x2yx3 3、解：原不等式有解、解：

23、原不等式有解asin2x4sin x1sin x232sin x 23 2，所以，所以a 2。而而min21sin x1有解，有解，y ax4 4、解：画出两个凼数、解：画出两个凼数y ax和和y x4 x在在x0,3上的图象如图知当上的图象如图知当x 3时时y 3，a 当当a 33y33，x0,3时总有时总有ax x4 x所以所以a 03x33325 5、解析：解析：（1 1）设）设hx gx fx 2x 3x 12x c，问题转化为，问题转化为x3,3时，时，hx 0恒成立，恒成立，2故故hminx 0。令。令hx 6x 6x 12 6x 1x 2 0，得，得x 1或或2。由导数知识，可知

24、。由导数知识，可知hx在在3,1单调递增，在单调递增，在1,2单调递减，在单调递减，在2,3单调递增，且单调递增，且h3 c 45，hx极大值 h1 c 7，hx极小值 h2 c 20，h3 c 9，hminx h3 c 45，由，由c45 0，得，得c 45。（2 2）据题意：存在据题意：存在x3,3，使，使fx gx成立，即为：成立，即为：hx gx fx 0在在x3,3有解，有解，故故hx 0，由（，由（1 1）知）知hx c 7 0，于是得，于是得c 7。（3 3）它与（它与（1 1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对

25、任意x,x 3,3，都有都有fx gx成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x，x2的取值在的取值在3,3上具有任上具有任意性，意性，x3,3。要使不等式恒成立的充要条件是：要使不等式恒成立的充要条件是：fmax(x)gmin(x),fx 7x 2c 28,x3,3fx f3147 c，gx 6x 8x 40 23x 10 x 2，gx 0在区间在区间3,3上只有一个解上只有一个解x 2。gxmin g2 48，147c 48，即，即c 195.（4 4）存在存在x,x 3,3，都有，都有fx gx，等价于，等价于fminx1 gmaxx2，由，由(3

26、)(3)得得maxmax121212max21212fminx1 f2 c28，gmaxx2 g3102，c28102 c 130点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。多加训练，准确使用其成立的充要条件。6 6、解：、解：（）（）f(x)x2 4ax 3a2（1 1 分）分）令令f(x)0,得得f(x)的单调递增区间为（的单调递增区间为（a,3aa,3a）令令f(x)0,得得f(x)的单调递减区间为（的单调递减区间为（，a a）和（）

27、和（3a3a，+）（4 4 分）分）3当当 x=ax=a 时，时，f(x)极小值极小值=a b;34当当 x=3ax=3a 时，时，f(x)极小值极小值=b.=b.（6 6 分）分）（）由（）由|f(x)|a a，得，得a ax2+4axx2+4ax3a23a2a.a.（7 7 分）分）0a10a2a.a+12a.f(x)x2 4ax 3a2在a 1,a 2上是减函数上是减函数.（9 9 分）分）f(x)max f(a 1)2a 1.f(x)min f(a 2)4a 4.于是，对任意于是，对任意xa 1,a 2，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立，等价于a 4a 4,44解得 a 1.又又0

28、a 1,a 1.55a 2a 1.ln(xln(x1)OC1)OC0 0，ln(xln(x1)OC1)OC7 7、解：、解：(1)(1)OAOAyy2f2f/(1)OB/(1)OBOAOAyy2f2f/(1)OB/(1)OB由于由于 A A、B B、C C 三点共线三点共线即即yy2f/(1)2f/(1)ln(xln(x1)1)1 12 2 分分y yf(x)f(x)ln(xln(x1)1)1 12f/(1)2f/(1)1 11 1f/(x)f/(x)x x1 1，得，得 f/(1)f/(1)2 2，故，故 f(x)f(x)ln(xln(x1)1)4 4 分分2x2x1 12(x2(x2)2)

29、2x2xx2x2（2 2）令）令 g(x)g(x)f(x)f(x)x x2 2，由，由 g/(x)g/(x)x x1 1(x(x2)22)2(x(x1)(x1)(x2)22)2x x0 0，g/(x)g/(x)0 0，g(x)g(x)在在(0(0，)上是增函数上是增函数6 6 分分故故 g(x)g(x)g(0)g(0)0 02x2x即即 f(x)f(x)x x2 28 8 分分1 1（3 3）原不等式等价于）原不等式等价于2 2x2x2f(x2)f(x2)m2m22bm2bm3 31 11 12x2xx3x3x x令令h(x)h(x)2 2x2x2f(x2)f(x2)2 2x2x2ln(1ln

30、(1x2)x2)，由由h/(x)h/(x)x x1 1x2x21 1x2x21010 分分当当 x x 1 1，11时，时，h(x)maxh(x)max0 0，m2m22bm2bm3 30 0 Q(1)Q(1)m2m22m2m3 30 0令令 Q(b)Q(b)m2m22bm2bm3 3，则，则 Q(Q(1)1)m2m22m2m3 30 0得得 m m3 3 或或 m m3 31212 分分8 8、解：、解：(I)(I)由题意得由题意得fe pe2ln e qep qqep112pqe 0而而e 0，所以，所以eeepp2px22x p(II)(II)由由(I)(I)知知fx px2ln x，f

31、 x p2 4 4 分分2xxxx2令令hx px 2x p，要使要使fx在其定义域在其定义域(0,+?)(0,+?)内为单调函数，内为单调函数，只需只需 h(x)h(x)在在(0,+?)(0,+?)内满足：内满足：h(x)h(x)0 0 或或 h(x)h(x)0 0 恒成立恒成立.5 5 分分2 当当p 0时，时，px 0,2x 0 hx 0，所以，所以fx在在(0,+?)(0,+?)内为单调递减，故内为单调递减，故p 0；2 当当p 0时，时，hx px 2x p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x 10，p1 1 1p 0，即，即 p p1 1 时，

32、时，h(x)h(x)0 0，f x0，hx h p min，只需，只需ppp f(x)f(x)在在(0,+?)(0,+?)内为单调递增，故内为单调递增，故 p p1 1 适合题意适合题意.综上可得，综上可得，p p1 1 或或 p p0 0p pp p2 21 1另解：另解：(II)(II)由由(I)(I)知知 f f(x)(x)=pxpxx x2ln2ln x fx f(x)(x)=p p+x 2x 2x x=p p(1(1+x 2x 2)2 2x x要使要使 f f(x)(x)在其定义域在其定义域(0,+?)(0,+?)内为单调函数，内为单调函数，只需只需 f f(x)(x)在在(0,+?

33、)(0,+?)内满足：内满足：f f(x)(x)0 0 或或 f f(x)(x)0 0 恒成立恒成立.1 12 22 22 2由由 f f(x)(x)0?p(1+0?p(1+x 2x 2)x x0?p0?p1 1?p?p(1 1)max)max，x 0 x 0 x+x+x xx+x+x x2 22 22 21 11 1)max=1)max=11 1=1=1，且，且 x=1 x=1 时等号成立，故时等号成立，故(x+x+x xx+x+x x2 2x xx x p p1 11 12 22x2x2x2x由由 f f(x)(x)0?p(1+0?p(1+x 2x 2)x x0?p0?px 2+1x 2+

34、1?p?p(x 2+1x 2+1)min)min，x 0 x 02x2x2x2x而而x 2+1x 2+1 0 0 且且 x x 0 0 时，时，x 2+1x 2+1 0 0，故，故 p p0 0综上可得，综上可得，p p1 1 或或 p p0 02e2e(III)(III)g(x)=g(x)=x x在在 1,e 1,e 上是减函数上是减函数 x=e x=e 时，时，g(x)min=2g(x)min=2，x=1x=1 时，时，g(x)max=2eg(x)max=2e即即 g(x)?2,2e g(x)?2,2e 10 10 分分 p p0 0 时，由时，由(II)(II)知知 f(x)f(x)在在

35、 1,e 1,e 递减递减?f(x)max=f(1)=0 2?f(x)max=f(1)=0 2，不合题，不合题意。意。1 1 0 p 1 0 p 1 时，由时，由 x?1,e?xx?1,e?xx x0 01 11 1 f(x)=p(x f(x)=p(xx x)2ln x2ln xx xx x2ln x2ln x右边为右边为 f(x)f(x)当当 p=1 p=1 时的表达式，故在时的表达式，故在 1,e 1,e 递增递增1 11 11 1 f(x)f(x)x xx x2ln x2ln xe ee e2ln e=e2ln e=ee e2 22 2，不合题意。，不合题意。p p1 1 时，由时，由(

36、II)(II)知知 f(x)f(x)在在 1,e 1,e 连续递增，连续递增，f(1)=0 2f(1)=0 g(x)min=2?f(x)max g(x)min=2，x?1,ex?1,e1 1?f(x)max=f(e)=p(e?f(x)max=f(e)=p(ee e)2ln e 22ln e 24e4e4e4e?p?p e 2e 21 1综上，综上，p p 的取值范围是的取值范围是(e 2e 21 1,+?),+?)其他特殊型其他特殊型:二次函数型利用判别式二次函数型利用判别式,韦达定理及根的分布求解韦达定理及根的分布求解x2 2 x axR恒成立恒成立,求求a的取值范围的取值范围 .现实生活中

37、存在现实生活中存在不等式不等式x22x a成立成立,则则a的取值范围是的取值范围是 .xR1 1、在某次考试在某次考试x2 2x a解，则解，则a的取值范围是的取值范围是 .与恒成立问题：与恒成立问题：中，我们班有同中，我们班有同120120 分分最高分最高分学数学分数大于学数学分数大于大于大于 120120 分。分。2 2、在某次考试中，我们班每一位同学数学分数都高于在某次考试中，我们班每一位同学数学分数都高于 6060 分分最低分大于最低分大于 6060 分。分。3 3、在某次考试中，我们班同学数学成绩没有高于在某次考试中，我们班同学数学成绩没有高于 130130 分的分的最高分小于等于最

38、高分小于等于 130130 分。分。xD,f(x)m,nf(x)a,xD恒成立恒成立f(x)min ay f(x),xD an直线直线 y=ay=a 的上方的上方最低点都在直线最低点都在直线y a的上方的上方f(x)值都大于af(x)min a解（解集非空）解（解集非空）af(x)|xD、结论结论：对对xD,f(x)m,n有有:直线直线y a有交点有交点af(x)|xD值域值域af(x)|xD、恒成立问题、恒成立问题符号符号语言：语言：函数函数f(x)a,xD恒成立恒成立f(x)min a式式f(x)a不等式不等式f(x)a,xD，有，有f(x)max a点在直线点在直线 y=ay=a 的上方

39、的上方最高点都在直最高点都在直函函数数f(x)a,xD恒恒成成立立f(x)amaxax a2 2、存在性问题、存在性问题符号语符号语言：言：存在存在xD,使使得函数得函数f(x)af(x)max a存在存在xD,使得函数使得函数f(x)af(x)amin3 3、有解问题、有解问题符号语言：符号语言：不等式f(x)a,xD有解（解集非空）f(x)max a不等式不等式f(x)a,xD解集为空集解集为空集f(x)min a方程方程f(x)a,xD有解（解集非空）有解（解集非空）af(x)|xD思考：若对思考：若对xD,f(x)(m,n)又有怎么样的结论呢又有怎么样的结论呢例 1：不等式不等式x22

40、x a对于对于 x xR R 恒成立恒成立,求求 a a 的取值范围的取值范围 .变式 1：存在：存在 x xR R，使得不等式，使得不等式x2 2x a成立成立,则则a a的取值范围是的取值范围是 .变式变式 2 2：方程：方程x22x a有解，则有解，则 a a 的取值范围是的取值范围是 .变式变式 3 3：x22x a解集不空解集不空,则则a a的取值范围是的取值范围是 .变式变式 4 4：不等式：不等式x22x a解集为空集解集为空集,则则a a的取值范围是的取值范围是 .例 2：已知函数已知函数f(x)x2ax a,若存在若存在x1,2使得使得f(x)0,试求实数试求实数a的取值范围

41、的取值范围。解：法一：解：法一：f(1)1 0，所以对，所以对aR,均存在均存在x1,2使得使得f(x)0.法二：原题同解于：当法二：原题同解于：当x1,2时，时，f(x)max a,即：即：f(1)0或或f(2)0代入可得代入可得:12a 0或或4a 0解得解得a 1或或a 4aR2例例 3 3：方程：方程x22x2a 0在区间在区间(0,3)内有解，则实数内有解，则实数 a a 的取值范围是的取值范围是。解：原题同解于：解：原题同解于：a x22x2,x(0,3)，的值域。，的值域。a (x 1)2 1a aa f(1),f(3)即即a1,5),请比较此题的有解问题与上题的有解问题的区别请

42、比较此题的有解问题与上题的有解问题的区别.例 4：A=x|xA=x|x2 2-mx+1-mx+1 0,B=R 0,B=R+,A,AB=B,B=B,求的取值范围。求的取值范围。分析：分析：A AB=BB=B 可得可得 B BA A。即。即:x0:x0 时时,x,x2 2-mx+1-mx+1 0 0法一（）1 0 0（2）m 0解略解略f(0)0法二：原题同解于：法二：原题同解于：x x2 2-mx+1-mx+1 0 0 在在(0,+(0,+)上恒成立上恒成立,求的取值范围。求的取值范围。1(分离变量法)m 2x例例 5 5：不等式：不等式ax2 xa1 0对满足对满足2 a 2的所有的所有a都成

43、立，求都成立，求x的取值范围。的取值范围。分析：分析：对对f(x)ax2 xa 1而言，已知参数范围，求定义域。而言，已知参数范围，求定义域。x21 mx x(0,)m xg(-2)0设设g(a)(x1)2a x1 02 a 2,则转化为已知定义域求参数范围。即：则转化为已知定义域求参数范围。即：g(2)01 1、对于不等式、对于不等式(1-m)x(1-m)x2 2+(m-1)x+30+(m-1)x+30?当当|x|x|2，上式恒成立，求实数上式恒成立，求实数 m m 的取值范围的取值范围；?当当|m|m|2，上式恒成立，求实数上式恒成立，求实数 x x 的取值范围的取值范围.2 2、若不等式

44、、若不等式 ax2-2x+20 对对 x x(1,4)(1,4)恒成立，求实数恒成立，求实数 a a 的取值范围。的取值范围。2x22kxk1对一切实数 x 都成立,则 k 的范围是。3 3、设不等式24x 6x3可以等价转化为一次型的函数（利用单调性直接求解）对于一次函数对于一次函数f(x)kx b,xm,n有：有：f(m)0f(m)0f(x)0恒成立,f(x)0恒成立 f(n)0f(n)0例例 1 1：若不等式：若不等式2x 1 m(x21)对满足对满足2 m 2的所有的所有m都成立，求都成立，求 x x 的范围。的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将解析：我们可以用改变主元的办法，将

45、 m m 视为主变元，即将元不等式化为：视为主变元，即将元不等式化为：，；m(x 1)(2x1)0令令f(m)m(x21)(2x 1)，则，则 2 m 2时，时，f(m)0恒成立，恒成立，2f(2)0 2(x 1)(2x 1)0所以只需所以只需即即2，解出即可。，解出即可。f(2)02(x 1)(2x 1)02三、数形结合三、数形结合（对于f(x)g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两

46、边函数的图象，象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例例 10(0710(07 安徽理科安徽理科 3)3)若对任意若对任意xR,不等式不等式|x|ax恒成立，则实数恒成立，则实数a的取值范围是的取值范围是(A)(A)a 1 (B)(B)|a|1 (C)(C)|a|1（D D）a 1解析：对解析：对xR,不等式不等式|x|ax恒成立恒成立yy|x|y|x|则由一次函数性质及图像知则由一次函数性质及图像知1 a 1，即，即|a|1。y ax17 13x(,)。22y axxO四

47、四、赋值型利用特殊值求解赋值型利用特殊值求解等式中的恒成立问题，等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、特别是对解决填空题、选择题能很快求得选择题能很快求得.例例 1 1如果函数如果函数 y=f(x)=sin2x+acos2xy=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线的图象关于直线 x=x=对称，那么对称，那么 a=a=（）.8 C.C.2 D.-D.-2.略解略解：取取 x=0 x=0 及及 x=x=特殊的转化思想特殊的转化思想.，则，则 f(0)=f(f(0)=f(),),即即 a=-1a=-1，故选，故选 B.B.此法体现了数学中从一般到此

48、法体现了数学中从一般到44利利 用用 导导 数数 求求 参参 数数 的的 取取 值值 范范 围围一已知函数单调性，求参数的取值范围一已知函数单调性，求参数的取值范围.类型类型 1 1参数放在函数表达式上参数放在函数表达式上.例1、设函数 f(x)2x33(a1)x26ax8其中aR(1)若f(x)在x 3处得极值,求常数a的值.(2)若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围略解：（）由略解：（）由f(3)0解得a 3.经检验知a 3时,x 3为f(x)的极值点（）方法：（）方法：f(x)6x26(a 1)x 6a 6(x a)(x 1)当a 1时,f(x)在(,1),(a,)上递增,符合

49、条件.当a 1时,f(x)6(x1)2 0恒成立,f(x)在(,)上递增.当a 1时,f(x)在(,a),(1,)上递增,要保证f(x)在(,0)上递增,则0 a 1综上所述.a 0时,f(x)在(,0)上递增.方法：方法：因为f(x)在(,0)上递增所以f(x)0在x(,0)上恒成立即x(x1)a(x1)在x(,0)上恒成立 x 0,x1 0 x a从而a 0方法方法保证f(x)6x26(a1)x6a在(,0上最小值大于或等于零a1a1 0 0故有 2或2f(0)0 0可解得a 0解题方法解题方法 总结：求总结：求f(x)后，若能因式分解则先因式分解，讨论后，若能因式分解则先因式分解，讨论f

50、(x)=0=0 两根的大小判断两根的大小判断函数函数f(x)的的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题.类型类型 2 2参数放在区间边界上参数放在区间边界上例已知函数已知函数f(x)ax3 bx2 cx d在x 0处取得极值,曲线y f(x)过原点和点过原点和点(-1,2),(-1,2),若曲线若曲线y f(x)在点在点 P P 处的切线与直线处的切线与直线y 2x的夹角为45且切线的倾斜角为钝角且切线的倾斜角为钝角.（1 1）求）求f(x)的表达式的表达式（2 2）若）若f(x)在区间在区间2m-1,m