平面向量的解题技巧.pdf

《平面向量的解题技巧.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量的解题技巧.pdf（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第四讲 平面向量的解题技巧【命题趋向】由 2007 年高考题分析可知：1这部分内容高考中所占分数一般在 10 分左右 2题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题 3考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主 透析高考试题，知命题热点为：1向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积 2平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义 3两非零向量平行、垂直的充要条件 4图形平移、线段的定比分点坐标公式 5由于向量

2、具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等 6利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题【例题解析】1.向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量

3、的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式.例 1（2007 年北京卷理）已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OAOBOC 0，那么（）AOOD 2AOOD 3AOOD 2AOOD 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力 解：22()(,22.OAOBOCOADBODDCODDBDCOAODAOOD)=0,0,故选 A 例 2（2006 年安徽卷）在ABCD中，,3ABa ADb ANNC，M 为 BC 的中点，则MN _.（用

4、ab、表示）命题意图:本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.解：343A=3()ANNCANCab由得，12AMab，所以,3111()()4244MNababab.例 3（2006 年广东卷）如图 1 所示，D 是ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD()（A）BABC21 （B）BABC21 （C）BABC21 （D）BABC21 命题意图:本题主要考查向量的加法和减法运算能力.解：BABCBDCBCD21，故选 A.例 4(2006 年重庆卷)与向量a=7 1,2 2b27,21的夹解相等，且模为 1 的向量是 ()(A)53,54 (B)53,54或53,54 （C）31

5、,322 （D）31,322或31,322 命题意图:本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c由433,1.555cc4或-时5 另一方面,当222274134312525,cos,.55271432255a cca cac 时 当222274134 312525,cos,.5 5271432255a cca cac 时 故平面向量c与向量a=7 1,2 2b27,21的夹角相等.故选 B.例 5（2006 年天津卷）设向量a与b的夹角为，且)3,3(a，)1,1(2 ab，则cos_ 命题意图:本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以

6、及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解:,22,3,323,231,1.bx ybax yxy 设由 2311,1,2.2312.xxbyy 得 22223 1 3 23 10cos,.103312a ba bab 3 10.10故填 例 6.（2006 年湖北卷）已知向量3,1a，b是不平行于x轴的单位向量，且3a b，则b=（）（A）21,23 （B）23,21 （C）433,41 （D）0,1 命题意图:本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设,()bx yxy，则依题意有221,33.xyxy1,23.2xy 故选 B.例 7.设平面向

7、量1a、2a、3a的和1230aaa.如果向量1b、2b、3b，满足2iiba，且ia顺时针旋转30o后与ib同向，其中1,2,3i，则（）（A）1230bbb （B）1230bbb （C）1230bbb （D）1230bbb 命题意图:本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：1230aaa，1232220.aaa故把 2ia(i=1,2,3)，分别按顺时针旋转 30后与ib重合，故1230bbb，应选 D.巧妙解法：令1a=0，则2a=3a，由题意知2b=3b，从而排除 B，C，同理排除 A，故选(D).点评：巧妙解法巧在取1a=0，使问题简单化.本题也可通过画图

8、,利用数形结合的方法来解决.2.平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1)平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.例 8（2007 年陕西卷理 17.）设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),xR,且函数y=f(x)的图象经过点2,4，（）求实数m的值；（）求函数f(x)的最小值及此时

9、x 的值的集合.解：（）()(1sin 2)cos 2f xa bmxx，由已知1sincos2422fm，得1m （）由（）得()1sin2cos212sin 24f xxxx ，当sin 214x 时，()f x的最小值为12，由sin 214x，得x值的集合为38x xkkZ，例 2（2007 年陕西卷文 17）设函数baxf、)(.其中向量2)2(R,),1,sin1(),cos,(fxxbxma且.（）求实数m的值;（）求函数)(xf的最小值.解：（）()(1sin)cosf xmxxa b，1sincos2222fm，得1m （）由（）得()sincos12sin14f xxxx，

10、当sin14x 时，()f x的最小值为12 例 9（2007 年湖北卷理 16）已知ABC的面积为3，且满足06AB AC，设AB和AC的夹角为 （I）求的取值范围；（II）求函数2()2sin3cos24f的最大 解：（）设ABC中角A BC，的对边分别为abc，则由1sin32bc，0cos6bc，可得0cot1，4 2，（）2()2sin3cos24f1 cos23cos22(1sin 2)3cos2sin23cos212sin 213 4 2，22363，22sin 2133 即当512时，max()3f；当4时，min()2f 例 10（2007 年广东卷理）已知 ABC 的三个顶

11、点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、(c,0)（1）若 c=5，求 sinA 的值；（2）若A 为钝角，求 c 的取值范围；解：（1）(3,4)AB ，(3,4)ACc，若 c=5，则(2,4)AC，6 161coscos,5 2 55AAC AB，sinA2 55；（2）A 为钝角，则39160,0,cc解得253c，c 的取值范围是25(,)3 例 11（2007 年山东卷文 17）在ABC中，角A BC，的对边分别为tan3 7abcC，（1）求cosC；（2）若52CB CA，且9ab，求c 解：（1）sintan3 73 7cosCCC，又22sincos1CC 解得1c

12、os8C tan0C，C是锐角 1cos8C（2）52CB CA，5cos2abC，20ab 又9ab 22281aabb 2241ab 2222cos36cababC 6c 例 12.（2006 年湖北卷）设函数 f xabc，其中向量sin,cos,sin,3cosaxx bxx,cos,sin,cxxxR.（）求函数 xf的最大值和最小正周期；（）将函数 xfy 的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：()由题意得，f(x)a(bc)=

13、(sinx,cosx)(sinx cosx,sinx 3cosx)sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+2sin(2x+43).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22.（）由sin(2x+43)0得2x+43k.，即x832k,kZ，于是d（832k，2），23()4,28kdkZ.因为k为整数，要使d最小，则只有k1，此时d（8，2）即为所求.例 13（2006 年全国卷 II）已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，22（）若ab，求；（）求ab的最大值 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性

14、质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（）若ab，则 sincos0，由此得 tan1(22)，所以 4；（）由a(sin，1)，b(1，cos)得 ab(sin1)2(1cos)2 32(sincos)32 2sin(4)，当 sin(4)1 时，|ab|取得最大值，即当4时，|ab|最大值为 21 例 14（2006 年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);ABC三动点 D、E、M 满足,ADtAB BEtBC,0,1.DMtDE t （I）求动直线 DE 斜率的变化范围；（II）求动点 M 的轨迹方程。命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、三角函数的性质

15、及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识，考查推理和运算能力.解法一:如图,()设 D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t,=t,知(xD2,yD1)=t(2,2).xD=2t+2yD=2t+1 同理 xE=2tyE=2t1.kDE=yEyDxExD =2t1(2t+1)2t(2t+2)=12t.t0,1,kDE1,1.()=t (x+2t2,y+2t1)=t(2t+2t2,2t1+2t1)=t(2,4t2)=(2t,4t22t).x=2(12t)y=(12t)2 ,y=x24,即 x2=4y.t0,1,x=2(12t)2,2.即所求轨迹方程为:x2=4y,x2,2 解法二:()

16、同上.()如图,=+=+t=+t()=(1t)+t,=+=+t=+t()=(1t)+t,=+=+t=+t()=(1t)+t =(1t2)+2(1t)t+t2.设 M 点的坐标为(x,y),由=(2,1),=(0,1),=(2,1)得 x=(1t2)2+2(1t)t0+t2(2)=2(12t)y=(1t)21+2(1t)t(1)+t21=(12t)2 消去 t 得 x2=4y,t0,1,x2,2.故所求轨迹方程为:x2=4y,x2,2 例 15（2006 年全国卷 II）已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF FB（0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明F

17、MAB为定值；（）设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值 命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力.解：()由已知条件，得F(0，1)，0设A(x1，y1)，B(x2，y2)由AF FB，即得 (x1，1y)(x2，y21)，x1x2 1y1(y21)y x O M D A C 1 1 2 1 2 B E 图 3 -2 y 1-1 1 x-1 A C D E B 图 2O 将式两边平方并把y114x12，y214x22代入得 y12y2 解、式得y1，y21，且有x1x2x224y24，抛物线方程为y14x

18、2，求导得y12x所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y12x1(xx1)y1，y12x2(xx2)y2，即y12x1x14x12，y12x2x14x22 解出两条切线的交点M的坐标为(122xx，122xx)(122xx，1)所以FMAB(122xx，2)(x2x1，y2y1)12(x22x12)2(14x2214x12)0.所以FMAB为定值，其值为 0 ()由()知在ABM中，FMAB，因而S12|AB|FM|FM|(x1x22)2(2)214x1214x2212x1x24 y1y212(4)4 121 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1 的距离，所以|AB|AF

19、|BF|y1y2212(1)2于是 S12|AB|FM|(1)3，由12 知S4，且当1 时，S取得最小值 4【专题训练与高考预测】一、选择题 1已知xbaxba则且,/),4(),3,2(的值为 （）A6 B6 C38 D38 2已知ABC 中，点 D 在 BC 边上，且,2ACsABrCDDBCD则sr 的值是（）A32 B34 C3 D0 3把直线02yx按向量)2,1(a平移后，所得直线与圆54222yxyx相 切，则实数的值为 （A）A39 B13 C21 D39 4给出下列命题：ab=0，则a=0 或b=0.若e为单位向量且a e a a eaaa=|a|3.若a与b共线，b与c共

20、线，则a与c共线.其中正确的个数是（）A0 B1 C2 D3 5.在以下关于向量的命题中，不正确的是（）A.若向量a=(x，y)，向量b=(y，x)(x、y0)，则ab B.四边形ABCD是菱形的充要条件是AB=DC，且|AB|=|AD|C.点G是ABC的重心，则GA+GB+CG=0 D.ABC中，AB和CA的夹角等于 180A 6.若O为平行四边形ABCD的中心，AB=4e1,=6e2,则 3e22e1等于（）A.AO B.BO C.CO D.DO 7.将函数y=x+2 的图象按a=（6，2）平移后，得到的新图象的解析式为（）=x+10 =x6 =x+6=x10 8.已知向量m=(a,b)，

21、向量mn且|m|=|n|,则n的坐标为 A.（a,b）B.(a,b)C.(b,a)D.(b,a)9.给出如下命题：命题（1）设e1、e2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a,都存在惟一的一对实数x、y，使a=xe1+ye2成立；命题（2）若定义域为 R 的函数f(x)恒满足f(x)=f(x),则f(x)或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是（）A.命题（1）（2）均为假命题 B.命题（1）（2）均为真命题 C.命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 D.命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 10若|a+b|=|a-b|，则向量 a 与 b 的关系是（）A.a=0或 b=0 B.|

22、a|=|b|C.a b=0 D.以上都不对 11O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 (),0,).|ABACOPOAABAC则 P 的轨迹一定通过ABC 的（）A外心 B内心 C重心 D垂心 12 若1,3,2 a,3,0,2b 2,2,0c,则cba=（）A 4 B 15 C 7 D 3 二、填空题 1已知ABACAB,4|,3|与AC的夹角为 60，则AB与ABAC的夹角余弦为 .2 已知a（4,2,x），b(2,1,3),且ab，则 x .3 向量baba57)3(，baba274，则a和b所夹角是 4 已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(

23、0,0,1),点 D 满足条件：DBAC,DCAB,AD=BC,则 D 的坐标为 .5 设ba,是直线，,是平面，ba,，向量1a在a上，向量1b在b上，0,4,3,1,1,111ba，则,所成二面角中较小的一个的大小为 三、解答题 1.ABC 中，三个内角分别是 A、B、C，向量BABACatantan),2cos,2cos25(当91时，求|a.2.在平行四边形 ABCD 中，A（1，1），)0,6(AB，点 M 是线段 AB 的中点，线段 CM 与 BD 交于点 P.（1）若(3,5),AD 求点 C 的坐标；（2）当|ADAB 时，求点 P 的轨迹.3.平面内三个力1F，2F，3F作用

24、于同丄点 O 且处于平衡状态，已知1F，2F的大小分别为 1kg，226 kg，1F、2F的夹角是 45，求3F的大小及3F与1F夹角的大小.4.已知a，b都是非零向量，且a+3b与 7a5b垂直，a4b与 7a2b垂直，求a与b的夹角.5.设a=(1+cos,sin),b=(1cos,sin),c=(1,0),(0,)(,2),a与c的夹角为1，b与c的夹角为2,且12=6，求 sin4.6.已知平面向量a=（3，1），b=（21，23）.(1)证明：ab；(2)若存在实数k和t，使得x=a+(t23)b,y=ka+tb,且xy，试求函数关系式k=f(t);(3)根据（2）的结论，确定k=f

25、(t)的单调区间.【参考答案】一、选择题 2D 3A 4A 5.答案：C 提示：若点G是ABC的重心，则有GA+GB+GC=0，而C的结论是GA+GB+CG=0，显然是不成立的.10.C 11B 12D 二、填空题 11313 2 2 360 4（1，1，1）或),(313131 5.arccos153 3解：由0573baba,0274baba,有baa1672，0830722bbaa,解得22ba,bab22,bababa,cos21 4.解：设 D(x,y,z),则),1,(zyxBD，,1,zyxCDAD（x-1,y,z）,AC(-1,0,1),AB(-1,1,0),BC(0,-1,1

26、)又 DBAC-x+z=0,DCAB-x+y=0,AD=BC,21222zyx 联立解得 x=y=z=1 或 x=y=z=.31所以 D 点为（1，1，1）或),(313131。三、解答题 12cos)2cos25(|222BACa，.423|,89|.coscossinsin9.91coscossinsin,91tantan).coscossinsin99(81)sinsin5coscos5sinsin4coscos49(81)cos(5)cos(49812)cos(12)cos(1452cos2sin452cos2cos45|222222aaBABABABABABABABABABABABA

27、BABABABABABACa故即又 2.解：（1）设点 C 坐标为（),00yx,又)5,9()0,6()5,3(ABADAC,即)5,9()1,1(00yx.6,1000yx.即点 C（0，6）.（2）解一：设),(yxP，则 )1,7()0,6()1,1(yxyxABAPBP.).33,93()0,6()1(3),1(3(3)21(321321yxyxABAPABAPABMPABMCAMAC.|ADAB ABCD 为菱形.0)33,93()1,7(,yxyxADAC即 0)33)(1()93)(7(yyxx)1(02221022yyxyx.故点 P 的轨迹是以（5，1）为圆心，2 为半圆去

28、掉与直线1y的两个交点.解法二：|ADAB D 的轨迹方程为)1(36)1()1(22yyx.M 为 AB 中点,BDP分的比为21.设).23,143(,)1,7(),(yxDByxP.P的轨迹方程 36)33()153(22yx.整理得)1(4)1()5(22yyx.故点 P 的轨迹是以（5，1）为圆心，2 为半径的圆去掉与直线1y的两个交点.3.设1F与2F的合力为F，则|F|=|F3|.F1OF2=45 FF1O=135.在OF1F 中，由余弦定理135cos|2|1121212FFOFFFOFOF=324.13|,31|3FOF即.又由正弦定理，得21|sin|sin111OFOFF

29、FFOFF.F1OF=30 从而 F1与 F3的夹角为 150.答：F3的大小是（3+1）kg,F1与 F3的夹角为 150.4.解：a+3b与 7a5b垂直，a4b与 7a2b垂直，(a+3b)(7a5b)=0，(a4b)(7a2b)=0.即.0|830|7,0|1516|72222bbaabbaa 两式相减：ab=21|b|2，代入得|a|2=|b|2.cos=|baba=21.=60，即a与b的夹角为 60.5.解：a=(2cos22,2sin2cos2)=2cos2(cos2,sin2)1=2,b=(2sin22,2sin2cos2)=2sin2(sin2,cos2)2=22,又12=622+2=62=3 sin2=sin(6)=21 6.（1）证明：a=(3,1),b=(21,23)321+(1)23=0ab(2)解：由题意知 x=(23322t,223332t),y=(21t3k,23t+k)又xy故xy=23322t(21t3k)+223332t(23t+k)=0 整理得：t23t4k=0 即k=41t343t(3)解：由（2）知：k=f(t)=41t343t F F1 F2 F3 O k=f(t)=43t243 令k0 得1t1;令k0 得t1 或t1 故k=f(t)单调递减区间是（1，1），单调递增区间是（,1）(1,+)