曹显兵概率论讲义打印.pdf

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1、考试要求 1.了解样本空间的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系与运算.2.理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式,以及贝叶斯公式.3.理解事件独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率,掌握计算有关事件概率的方法.一、古典概型与几何概型 1试验，样本空间与事件.2古典概型：设样本空间为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数中有利事件数AAP)(3几何概型：设为欧氏空间中的一个有界区域,样本点的出现具有等可能性，则、体积）的度量（长度、面积、体积）A的度量（

2、长度、面积)(AP【例 1】一个盒中有 4 个黄球,5 个白球,现按下列三种方式从中任取 3 个球,试求取出的球中有 2 个黄球,1 个白球的概率.（1）一次取 3 个；（2）一次取 1 个,取后不放回；（3）一次取 1 个,取后放回.【例 2】从（0，1）中随机地取两个数，试求下列概率：（1）两数之和小于 1.2；（2）两数之和小于 1 且其积小于163.一、事件的关系与概率的性质 1.事件之间的关系与运算律（与集合对应）,其中特别重要的关系有：（1）A 与 B 互斥（互不相容）AB（2）A 与 B 互逆（对立事件）AB,BA（3）A 与 B 相互独立 P（AB）=P（A）P（B）.P（B|

3、A）=P（B）（P（A）0）.(|)(|)1P B AP B A（0P（A）1）.P（B|A）=P（B|）（0P（A）1）注:若（0P（B）0）1)|()|(BAPBAP（0P（B）1）.P（A|B）=P（A|）（0P（B）1）P（|B）=P（|）（0P（B）0）【例 3】已知（A）（BA）BABAC,且 P（C）31,试求 P（B）.【例 4】设两两相互独立的三事件 A,B,C 满足条件:ABC,P（A）P（B）P（C）21,且已知9()16P ABC,则 P（A）.【例 5】设三个事件 A、B、C 满足 P（AB）P（ABC）,且 0P（C）1,则【】（A）P（AB|C）P（A|C）+P（

4、B|C）.（B）P（AB|C）P（AB）.（C）P（AB|）P（A|）+P（B|）.（D）P（AB|）P（AB）.【例 6】设事件 A,B,C 满足条件:P（AB）P（AC）P（BC）18,P（ABC）116,则事件 A,B,C 中至多一个发生的概率为.【例 7】设事件 A,B 满足 P（B|A）1 则【】（A）A 为必然事件.（B）P（B|）=0.（C）AB.（D）AB.【例 8】设 A,B,C 为三个相互独立的事件,且 0P（C）1,则不独立的事件为【】（A）BA与 C.（B）AC与（C）BA与（D）AB与【例 9】设 A，B 为任意两个事件，试证 P（A）P（B）P（AB）P（AB）P（

5、BA）41.三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式 1 乘法公式：).|()|()|()()().|()()|()()(1212131212121212121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAPAAPAPAAPAPAAP 2 全概率公式：11()(|)(),.iiijiiiP BP B A P AA AijA 3Bayes 公式：11(|)()(|),.(|)()jjjijiiiiiP B A P AP ABAijAP B A P A A 4二项概率公式:()(1),0,1,2,.kkn knnP kC PPkn,【例 10】10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,现

6、从中任取 2 件,若已知其中有一件为次品,试求另一件也为次品的概率.【例 11】设 10 件产品中有 3 件次品,7 件正品,现每次从中任取一件,取后不放回.试求下列事件的概率.（1）第三次取得次品;（2）第三次才取得次品;（3）已知前两次没有取得次品,第三次取得次品;（4）不超过三次取到次品;【例 12】甲,乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为和 0.5,试在下列两种情形下,分别求事件“已知目标被命中,它是甲射中”的概率.（1）在甲,乙两人中随机地挑选一人,由他射击一次;（2）甲,乙两人独立地各射击一次.【例 13】设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表,其中女生

7、的报名表分别为 3 份,7 份和 5 份.随机地取一个地区的报名表,从中先后任意抽出两份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率p;(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.第二讲 随机变量及其分布 考试要求（()()F xP Xx）的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握01 分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用.3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布2(,)N、指数分布及其应用，其中参数为(0)

8、的指数分布的概率密度为,0,()0,0.xexf xx 5.会求随机变量函数的分布.一、分布函数 1随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量.2分布函数：),()(xxXPxF F（x）为分布函数（1）0F（x）1（2）F（x）单调不减（3）右连续 F（x+0）=F（x）（4）1)(,0)(FF 3离散型随机变量与连续型随机变量 （1）离散型随机变量 1i10,2,1,)(iiiippnipxXP 分布函数为阶梯跳跃函数.（2）连续型随机变量xttfxFd)()(f（x）为概率密度 （1）f（x）0,（2）f（x）1d x baxfbXaPbXaP)()()(4几点注意【例 1

9、】设随机变量的分布函数为 0,1,57(),11,16161,1.xF xxxx 则2(1)P X .【例 2】设随机变量 X 的密度函数为 f（x）,且 f（x）=f（x）,记()XFx和()XFx分别是 X 和X的分布函数,则对任意实数 x 有 【】（A）()()XXFxFx.（B）()()XXFxFx.（C）()1()XXFxFx.（D）()2()1XXFxFx.【例 3】设 随机变量 X 服从参数为0的指数分布,试求随机变量 Y=min X,2 的分布函数【例 4】设某个系统由 6 个相同的元件经两两串联再并联而成,且各元件工作状态相互独立 每个元件正常工作时间服从参数为 0的指数分布

10、,试求系统正常工作的时间 T 的概率分布.【例 5】设随机变量的概率密度为 .,0,1|,|1)(其他xxxf 试求（1）的分布函数)(xF;（2）概率)412(XP.二、常见的一维分布（1）0-1 分布：1,0,)1()(1 kppkXPkk.（2）二项分布nkppCkXPpnBknkkn,1,0,)1()(:),(.（3）Poisson 分布)(P：,2,1,0,0,e!)(kkkXPk.（4）均匀分布.,1)(:),(其他，bxaabxfbaU（5）正态分布 N（，2）：0,e21)(222)(xxf（6）指数分布.,0 0,e)(:)(其他xxfEx0.（7）几何分布.2110,)1(

11、)(:)(1,k,pppkXPpGk（8）超几何分布 H（N,M,n）:,min,1,0,)(MnkCCCkXPnNknMNkM.【例 6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p（0p1）,则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为【】（A）2)1(3pp.（B）2)1(6pp.（C）22)1(3pp.（D）22)1(6pp.【例 7】设 X（,）,则 P（X1）【】（A）随 的增大而增大.（B）随的增大而减小.（C）随 的增大而不变.（D）随 的增大而减小.【例 8】设 X（,）,()F x为其分布函数，0，则对于任意实数，有 【】（A）()()1.FaF a（B）

12、()()1.FaF a（C）()()1.FaF a（D）1()().2FaFa【例 9】甲袋中有 1 个黑球，2 个白球，乙袋中有 3 个白球，每次从两袋中各任取一球交换放入另一袋中，试求交换 n 次后，黑球仍在甲袋中的概率.三、随机变量函数的分布：1.离散的情形 2.连续的情形 3.一般的情形【例 10】设随机变量的概率密度为 .,0,20,41,01,21)(其他xxxfX 令),(,2yxFXY 为二维随机变量（X,Y）的分布函数.（）求 Y 的概率密度)(yfY;（）)4,21(F.第三讲 多维随机变量及其分布 考试要求 1.理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，

13、理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2.理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.一、各种分布与随机变量的独立性 1.各种分布（1）一般二维随机变量 F（x,y）=P X x,Yy,x（,+）,y（,+）的性质 F（x,y）为联合分布函数 1）0F（x,y）1,x（,+）,y（,+）;2）F（,y）=F（x,）=0,F（

14、+,+）=1;3）F（x,y）关于 x,y 均为单调不减函数；4）F（x,y）关于 x,y 均分别右连续.（2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布 联合概率分布律 PX=xi,Y=yj =pi j,i,j=1,2,pi j 0,1ijjip.边缘分布律 pi=PX=xi=jjip,i=1,2,p j=PY=yj =ijip,j=1,2,条件分布律 PX=xi|Y=yj =jjipp,P Y=yj|X=xi =ijipp.二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度 f（x,y）为联合概率密度 1f（x,y）0,21 ),(dxdyyxf.设（X,Y）f（x,y）则 分

15、布函数:xydxdyyxfyxF),(),(;边缘概率密度:),()(dyyxfxfX,),()(dxyxfxfY.条件概率密度:)(),()|(|yfyxfyxfYYX,)(),()|(|xfyxfxyfXXY.DdxdyyxfDYXP),(),(.),(),(yxyxFyxf2 2.随机变量的独立性和相关性 X 和 Y 相互独立 F（x,y）=FX（x）F Y（y）;pi j=pi p j （离散型）f（x,y）=f X（x）f Y（y）（连续型）【注】1X 与 Y 独立,f（x）,g（x）为连续函数 f（X）与 g（Y）也独立.2 若 X1,Xm,Y1,Yn相互独立,f,g 分别为 m

16、元与 n 元连续函数 f（X1,Xm）与 g（Y1,Yn）也独立.3 常数与任何随机变量独立.3.常见的二维分布（1）二维均匀分布（X,Y）U（D）,D 为一平面区域.联合概率密度为.,.),(,)(),(其他01DyxDSyxf（2）二维正态分布 （X,Y）N（1,2,12,22,）,1,20,2 0,|1.联合概率密度为 221121),(yx22222121212122121)()()()(yyxxe 性质:（a）XN（1,12）,Y N（2,22）（b）X 与 Y 相互独立XY=0,即 X 与 Y 不相关.（c）C1X+C2Y N（C11+C22,C1212+C2222+2C1C212

17、）.（d）X 关于 Y=y 的条件分布为正态分布:)(),(22122111yN【例 1】设 A，B 为事件，且 P（A）41,P（B|A）21,P（A|B）12 令 X否则发生若,0,1A,Y否则发生若,0B,1（1）试求（X,Y）的联合分布律；（2）计算 Cov（X,Y）；（3）计算 22(2,43)CovXY.【例 2】设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X,Y）联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.Y X iipxXP 81 81 jjpyYP 61 【例 3】设随机变量 X 与 Y 独立同分布,且 X 的概率分

18、布为 313221PX 记YXVYXU,min,max.（I）求（U,V）的概率分布;（II）求（U,V）的协方差 Cov（U,V）.【详解】（I）易知 U,V 的可能取值均为:1,2.且)1,min,1,(max)1,1(YXYXPVUP)1,1(YXP94)1()1(YPXP,0)2,min,1,(max)2,1(YXYXPVUP,)1,min,2,(max)1,2(YXYXPVUP)2,1()1,2(YXPYXP)2()1()1()2(YPXPYPXP94,)2,min,2,(max)2,2(YXYXPVUP)2()2()2,2(YPXPYXP91,故（U,V）的概率分布为:V U 1

19、2 1 2 94 0 9491（II）9122941209411)(UVE916,而 914952941)(UE,910912981)(VE.故814910914916)()()(),(VEUEUVEVUCov.【例 4】设随机变量在区间（0,1）上服从均匀分布,在)10(xxX的条件下,随机变量在区间),0(x上服从均匀分布,求（）随机变量和的联合概率密度;（）的概率密度;（）概率1YXP.二、二维（或两个）随机变量函数的分布 1分布的可加性（1）若 XB（m,p）,YB（n,p）,且 X 与 Y 相互独立，则 X+Y B（m+n,p）.（2）若 XP（1）,YP（2）,且 X 与 Y 相互

20、独立，则 X+YP（1+2）.（3）若 XN（211,）,YP（222,）,且 X 与 Y 相互独立，则 X+YN（221212,）.一般地，若 XiN（2,ii）,i=1,2,n,且 X1，X2，Xn相互独立，则 Y=C1X1+C2X2+CnXn+C 仍服从正态分布，且此正态分布为 2211(,),nniiiiiiNCCC 其中 C1，Cn为不全为零的常数.2.两个随机变量函数的分布.【例 5】设 X 与 Y 相互独立,且(1),(2),XPYP 则max(,)0_;PX Y min(,)0_.PX Y 【例 6】设 X 与 Y 相互独立,其密度函数分别为:1,01,()Xxfx0,其他.,

21、0,()yYeyfx0,其他.求 Z2XY 的概率密度.【例 7】设二维随机变量（X,Y）的概率密度为 2,01,01,(,)0,xyxyf x y其它.（I）求YXP2；（II）求 Z+的概率密度)(zfZ.【详解】（I）YXP2yxdxdyyxf2),(12210)2(ydxyxdy247.（II）方法一：先求 Z 的分布函数:zyxZdxdyyxfZYXPzF),()()(当 z0 时,0)(zFZ;当10 z时,1),()(DZdxdyyxfzFyzzdxyxdy00)2(3231zz；当21 z时,2),(1)(DZdxdyyxfzF111)2(1yzzdxyxdy 3)2(311z

22、；当2z时,1)(zFZ.故 Z+的概率密度)(zfZ=)(zFZ.,0,21,)2(,10,222其他zzzzz 方法二：dxxzxfzfZ),()(，.,0,10,10),(2),(其他xzxxzxxzxf.,0,1,10,2其他xzxxz 当 z0 或 z 2 时,0)(zfZ;当01z时,zZdxzzf0)2()()2(zz；当21 z时,11)2()(zZdxzzf2)2(z；故 Z+的概率密度)(zfZ.,0,21,)2(,10,222其他zzzzz【例 8】设随机变量 X 与 Y 相互独立,X 有密度函数 f（x）,Y 的分布律为()iiP Yap,i=1,2.试求 ZXY 的概

23、率分布.第四讲 数字特征与极限定理 考试要求 1理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征.2会根据随机变量的概率分布求其函数)(Xg的数学期望)(XEg；会根据随机变量和的联合概率分布求其函数),(YXg的数学期望),(YXEg.3了解切比雪夫不等式.4了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）5了解棣莫弗拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率 一、数学期望与方差

24、（标准差）1.定义（计算公式）离散型iipxXP,iiipxXE)(连续型)(xfX,xxxfXEd)()(方差：222)()()()(XEXEXEXEXD 标准差：)(XD,2.期望的性质：1)()(,)(XEXEECCE 2)()()(2121YECXECYCXCE 3)()()(YEXEXYE，YX则独立与若 4)()()(222YEXEXYE 3.方差的性质：1 0)(,0)(,0)(XDDXEDCD 2)()()(YDXDYXDYX相互独立，则与 3)()(2121XDCCXCD 4 一般有),Cov(2)()()(YXYDXDYXD)()(2)()(YDXDYDXD 52()()C

25、D XE X,)(XEC 【例 1】设试验成功的概率为43,失败的概率为41,独立重复试验直到成功两次为止.试求试验次数的数学期望.【例 2】n 片钥匙中只有一片能打开房门,现从中任取一片去试开房门,直到打开为止.试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差:（1）试开过的钥匙即被除去;（2）试开过的钥匙重新放回.【例 3】设随机变量 X 的概率密度为.,0,0,2cos21)(其他xxxf对 X 独立地重复观察4 次,用 Y 表示观察值大于3的次数,求的数学期望.【例 4】设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼,电梯在中途只下不上,每个乘客在哪一层（2-11 层）下是等可能的,且

26、乘客之间相互独立,试求电梯须停次数的数学期望.二、随机变量函数的期望（或方差）1、一维的情形)(XgY 离散型：iiP Xxp，iiipxgYE)()(连续型：()Xf xxxfxgYEd)()()(2、二维的情形),(YXgZ 离散型ijiipyYxXPYX,),(,jijjiipyxgZE),()(连续型),(),(yxfYX,yxyxfyxgZEdd),(),()(【例 5】设 X 与 Y 独立且均服从 N（0，1），求 Z22YX 的数学期望与方差.【例 6】设两个随机变量X 与 Y 相互独立且均服从 N（0，21）,试求 ZXY的数学期望与方差.三、协方差，相关系数与随机变量的矩 1

27、、重要公式与概念：协方差)()()Cov(YEYXEXEX,Y 相关系数)()()Cov(YDXDX,YXY)(kXEk 阶原点矩 kXEXEk)(阶中心矩 2、性质：1),(Cov),(CovXYYX 2),(Cov),(CovYXabbYaX 3),(Cov),(Cov),(Cov2121YXYXYXX 4|(,)|1X Y 5 1)(1),(baXYPYX)0(a 1)(1),(baXYPYX)0(a 3、下面 5 个条件互为充要条件：（1）0),(YX（2）0)Cov(X,Y（3）)()()(YEXEXYE（4）)()()(YDXDYXD（5）)()()(YDXDYXD【例 7】设)2

28、(,21nXXXn为独立同分布的随机变量,且均服从)1,0(N,记niiXnX11,.,2,1,niXXYii 求:（I）的方差niYDi,2,1),(；（II）与的协方差),(1nYYCov;（III）.01nYYP 四、极限定理 1.切比雪夫不等式 ()()|()|,|()|1-22 D XD XPXE XPXE X或 2.大数定律 3.Poisson 定理 4.中心极限定理 列维林德伯格定理:设随机变量 X1，X2，Xn，相互独立同分布,且2(),(),iiE XD X1,2,in，则对任意正数 x，有 2-121limed2ntixinXnPxtn 棣莫弗拉普拉斯定理:设(,),nB

29、n p（即 X1，X2，Xn，相互独立,同服从 0 一 1 分布）则有 221limed(1)2txnnnpPxtnpp.【例 8】银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500 张，每张须付本息 1000 元，设持券人（1 人 1 券）到期到银行领取本息的概率为 0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以 99.9%的把握满足客户的兑换.【分析】若 X 为该日到银行领取本息的总人数，则所需现金为1000X，设银行该日应准备现金 x 元.为使银行能以 99.9%的把握满足客户的兑换，则 P（1000Xx）0.999.【详解】设 X 为该日到银行领取本息的总人数，则 XB（

30、500，0.4）所需支付现金为1000X，为使银行能以 99.9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金 x 元，则 P（1000 Xx）0.999.由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理知：(1000)()1000 xPXxP X 500 0.4500 0.41000500 0.4 0.6500 0.4 0.6xXP 2002000001202000 30Xx 2000000.999(3.1).2000 30 x 即 2000003.1,2000 30 x得 x 233958.798.因此银行于该日应准备 234000 元现金才能以 99.9%的把握满足客户的兑换.第五讲 数理统计 考试要求.)(

31、11212XXnSini 2.了解分布、t 分布和 F 分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算.3.了解正态总体的常用抽样分布.4.理解经验分布函数的概念和性质,会根据样本值求经验分布函数.5.理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.6.掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然的估计法.7.了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性.8.理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.9.理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的 两类错误.10.了解单个及

32、两个正态总体的均值和方差的假设检验 一、样本与抽样分布 1.总体、个体与简单随机样本:2.常用统计量:1 样本均值 iniXnX11 2 样本方差 212)(11XXnSini 3 样本标准差:211()1niiSXXn 4 样本 k 阶原点矩 11,1,2,nkkiiAXkn 5 样本 k 阶中心矩 11(),1,2,nkkiiBXXkn 3分位数 4.重要抽样分布（1）分布2（2）t 分布（3）F 分布 5.正态总体的常用抽样分布:22,(,),nXXXN 1设为来自正态总体的样本11niiXXn,2211()1niiSXXn,则（1）2,(0,1)./XXNNnn或（2）222221(1

33、)1()(1).niinSXXn（3）22211()().niiXn（4）(1).Xnt nS （5）与相互独立,且)(XE,22)(SE,nXD2)(.【例 1】设总体2(,),XN 设12,nXXX是来自总体 X 的一个样本,且22111,()nniniiiXXSXXn，求 21()nE X S.【例 2】设总体2(,),XN 设12,nXXX是取自总体 X 的一个样本,且221111,()1nniiiiXXSXXnn，则 2()_D S.【例 3】设随机变量()(1),Xt n n,则 21 _YX【例 4】设总体 X 服从正态分布)2,0(2N,而1521,XXX是来自总体 X 的简单

34、随机样本,求随机变量)(221521121021XXXXY 的分布.【例 5】设总体2(,),XN 设121,nnXXXX是来自总体 X 的一个样本,且*221111,()()nniiiiXXSXXnn，试求统计量 1*11nXXnSn的分布.二、参数估计 1.矩估计 2.最大似然估计 3.区间估计 4.估计量的评选标准 【例 6】设总体12(,)XU，nXXX,21为来自总体 X 的样本，试求12,的矩估计和最大似然估计.【例 7】设总体的概率密度为.,0,21,1,10,),(其他xxxf 其中是未知参数)10(,nXXX,2,1为来自总体的简单随机样本,记 N 为样本值nxxx,2,1中小于 1 的个数,求：（1）的矩估计；（2）的最大似然估计.【例 8】设总体 X 的概率密度为 36(),0,()0,xxxf x其他.nXXX,21为来自 X 的简单随机样本，（1）求的矩估计量；（2）判断的无偏性;（3）判断的一致性.三、假设检验 1.假设检验的基本思想：对总体分布中的未知参数作出某种假设，根据样本在假设为真的前提下构造一个小概率事件，基于“小概率事件”在一次试验中几乎不可能发生而对假设作出拒绝或接受.2.单个正态总体均值和方差的假设检验.3.假设检验两类错误：第一类错误：原假设为真，但拒绝了.第二类错误；原假设为假，但接受到了.