数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等).pdf

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1、精品文档 1欢迎下载 考点4数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等）1.（2015 江苏苏州市高三上调考）已知数列 an 共有 2k项（2 1 an 1 an 故数列an 是等比数列.的前 n项的和为 Sn,满足 a1=2,an=(P 1)Sn+2(n=1,2,3,，2n-1),其中常数(1)求证：数列 an 是等比数列;(2)2 若 p=22k 1,数列bn 满足bn log2(a2 an)(n=1,2,，2n),求数列 bn n 的通项公式（3）对于（2）中的数列 bn,3 G|bn-1，求数列cn 的前2k项的和.【考点】数列的求和；数列的应用.【解】（1）证明：当n

2、=1 时，a2=2p,则 鱼p,a1 当 2Wn 时，an 1(p-1)Sn 2,an(p 1)Si-1 2,二 an 1 an(p 1)an,即 an 1 Pan,n 1(2)由(1),得 an 2p(n=1.2,，2n),n 12 3 n a1a2 an 2 p(n 1)n 2np 2(n 1)n n(n 1)n 2n22k 1 2 2 2k 1 1 bn log2(3ia2 an)n 1/(n 1)n、=一5)n 2k 1(n 1)./=1,(n=1,2,2k 1 2n),即数列bn的通项公式为bn(n 1)2k 1 1,(n=1,2,，2n).精品文档 2欢迎下载 3.(2015 江苏

3、高考冲刺压轴卷(三)已知数列an中，a1 1 1 f(x)-an x2(2 n an 1)x 的对称轴为 x=,(1)试证明2nan是等差数列，并求 an的通项公式;(3)Cn|bn|，设 bn-，解得 nw k 1,2 2 3|又n为正整数，于是：当 nw k时，bnV;当nk+1 时，bn 2 2 数列 Cn 的前 2k项的和:bi b2 b2k 1 b2k(2 b)$b2).(2 bk)(bk 1 2)(bk(bk 1 bk 2 b2l)-(bi b2 bk)1-k(k 1).(2 k 1)1 1 2.2k 1 2k 1 k2 2k 1 (三)设数列 an 的前n项和记为Sn,且Sn 2

4、 n 3n 4.(1)求数列 an的通项公式；a 2 5(2)设bn-n，记数列 bn 的前 n 项和记为Tn,，求证：一w Tnv 3 3 6【考点】错位相减法求和【解】(1)当 n=1 时，a1 2，当 nA2 时，an Sn Sn 1 2n 4，故 an 2,n 1 2n 4,n2(2)bn an 2,n 3 2n 4 2 其中T1，当nA 2 时，Tn 3 0 32，n v 2 32 5 6 0 33 2n 1 2 3n 2 得，3 Tn 3 2(nA2)，由于 bn 0,-w Tn 2n 4 可厂，2 3 5 2n 二 n=1,2,3.且 Sn=()2 对 n N 成立.(1)求常数

5、k的值以及数列 an的通项公式;(2)设数列an中的部分项3k1,3k2,ak3,akn,，恰成等比数列，其中 k,=2,k3=14,求 a1k1+a2k2+ankn 的值.2 Sn 1 Sn 数列 Sn n 2*1.4 口 2n(4 口)2门1)J0，是单调递增数列.【解】(1)二次函数 f(x)(2 n an 1)x的对称轴为 1 x=,2 2 n am an 丸)，1 2 an 1 2，整理得 an 1 1 1an 左右两边同时乘以 2n 1 n 1，得 2 an 1 2nan 亠n 1 J 即 2 an 1 2 an 2(常数),二 2nan 2 2(n 1)2n,2n-an 歹(2)

6、T Sn n 2*1 1 2 2 1 21 3 戸 2 22 n 2*1 1 n 2n 4.(2015 江苏省南京市高三考前综合)公差不为零的等差数列 an 的前n项之和为Sn,精品文档 4欢迎下载 【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法.【解】(1)法一：条件化为 2 Sn=an+k对n N*成立.设等差数列公差为d,则2”n(1)d=a,+(n1)d+k.2 ai ai k 分别令 n=1,2,3 得：2 2a1 d a1 d k 2 3a3d a1 2d k 由+2 得，.云 3a-3d 2 2a1 d.两边平方得，4a1+d=2 3a12 3a1d.两边再平方

7、得，4a/4a1d+d2=0 解得d=2 內.代入得，4.q=3ar+k，由一得，印=；a1.所以a1=0，或a1=1.又当a1=0 时，d=0 不合题意.所以a1=1,d=2.代入得k=1.2 a k 2*而当 k=1,a1=1,d=2 时，Sn=n,an=2n1，等式 5=()对 n N 成立.所以 k=1,an=2n1.法二：设等差数列的首项为 a1，公差为d,代入愛号)2得,2+-2)n=汕七+k-d)2,2 2 2 2 即 2dn+(4a1 2d)n=d n+2d(a1+k d)n+(a+k d).因为上面等式对一切正整数n都成立，所以由多项式恒等可得，2d d2 4a1 2d 2d

8、(ai k d)a1 k d 0 则 Sn=g+咛=即2+-2)n an=a1+(n1)d=dn+(a d).精品文档 5欢迎下载 d 2 因为dz 0，所以解得，a 1所以常数k=1，通项公式an=2n1.k 1(2)设 Cn=akn，则数列 cn为等比数列，且 G=ak1=a2=3,Q=ak3=a)4=27.故等比数列 cn的公比q满足q2=C3=9.C1 又 Cn 0,所以 q=3.所以 Cn=C1qn1=3 3n1=3n.又Cn=akn=2kn 1，所以 2kn1=3n.精品文档 6欢迎下载 1 1 由此可得k=3n+.所以ankn=2 2 2 1 1 1 所以 3*1+a?k2+an

9、kn(3)红3 11 31 3 2 2 1 1)-1 31 3 32 2 L I 11 3 5 L(2n 2 法一：令 S 1 31 3 32 5 则 3S 1 32+3 33+L+(2 n 两式相减得：2S=3+2 32+2 1 c 3(1 3n)1 3 3(2n 1)3n 2n 1 3n+2n 1 3+.2-)(5 33-)2 2 2(3 32 32 33 33 L(2n 1)3n,3)3n+(2 n 1)3n 1,33+L+2 6(n 1(n 1)3n1 3 1 n 2 2 法二:因为(2 k 1)3k(k(k 2)3k.所以S 0 32 L(n 1)3n 1(n 2)1(n 3 1 1

10、)3n 1 n 1)3n1 1)3n 1 33 L(2n 1)3n L(2n 1)3n 3n(2n 1)1 2 3(1 3n 1,3n)3(2n 1)3,代入得 a1k1+a2k2+L+a.kn 2 3k 1(k 2)3k(k 1)32 2 34 3k 1 1 33 代入得 a1k1+a2k2+3n1+ankn(n 1)3n 1 n2 3 2 2 1)(3n 2 1)31 1 33 0=(n1)3n+1+3.(n 1)3n 1 n2 3 2 1 2(n 精品文档 7欢迎下载 5.(江苏省南京市 2015 届高三上学期 9 月调考数学试卷)已知an是等差数列，其前n项 (1)求数列an和bn的通

11、项公式;【考点】数列的求和，数列递推式 3 D 2，得 a4=2+3d，b4 2q，S4 8 6d 所以 an n 1,bn 2 n 1*n 2(n N).6.(15 淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷)已知 an为等比数列，其 中印=1，且a2，a3 a5，a4成等差数列.(1)求数列 an的通项公式:(2)设bn(2n-1)an，求数列 bn的前n项和Tn.【考点】数列的求和；等比数列的通项公式.【解】(1)设在等比数列 an中，公比为q,a1 1，且a2,a3 a5,a4成等差数列,二 2(a3 a5)a2 a4,的和为Sn，bn是等比数列，且a1 bi 2，a4 b4 21

12、，S4 b4 30.记Cn anbn,n N，求数列Cn 的前n项和.【解】(1)设等差数列 an的公差为 d,等比数列 bn的公比为q.由a1 由条件 a4 b4 21，S4 b4 30，得方程组 3d 6d 2q3 2q3 21解得 30 由题意知,Cn(n 1)2n.记Tn C2 C3 L Cn.则Tn C2 C3 L Cn=2 2 22 23 1)2n，2Tn 2 22 3 23 4 24 L 2n 2n 所以 Tn=2 2(22 23 L 2n 2n)(n 1)2n 1，精品文档 8欢迎下载 1 1 1 Tn 1 1 3-5(-)2 L(2n 1)(-)n,111 1 1 尹 1-3

13、结)2 5(尹 L(2n 1)(2)n,，得:2Tn12 2(2)2 L(1)n1 7等差数列 an的通项公式为an=2n+1，其前n项和为Sn,则数列 包 的前 10 项的 n 和为 _ 【答案】75【分析】因为Sn n 2，所以 Sn的前 10 项和为 10 X3+10 9=75.n n 2 n当n为奇数时 8 已知函数f =，当n为偶数时且an=f n+f(n+1)则a+a2+a3+L a100 等于 _ 【答案】100【分析】由题意，得a0,q0,解得 a1 q n1 an=2 精品文档 12欢迎下 2Tn=1 2+3 26 7+5 23+L+(2n 3)2_1+(2n 1)2n,两式

14、相减得 Tn=1+2(2+22+L+2n 1)(2n 1)2n=(2n 3)2n 3,Tn=(2n 3)2n+3.15数列an满足an+1+(1)n3n=2n 1，贝y an的前 60 项和为 _ 【答案】1830【分析】an+1+(1)nan=2n 1,的前n项和Sn=_.【答案】n 1【分析】设等比数列 an的公比为q,则 q3 27,解得 q=3.a1 所以 an=a1q=3 3=3,故 bn=log3an=n,1 1 1 1 所以1丄 bnbn 1 n(n 1)n n 1 1 1 1 1 的前n项和为1 L bnbn 1 2 2 3 17.(2015 南京模拟)数列an满足an+an+

15、1=g(n N)，且a=1,Sn是数列an的 打n项和，贝U S21=.【答案】6 1【分析】依题意得an+an+1=an+十an+2=一，则an+2=an，即数列an中的奇数项、2 偶数项分别相等，则 a21=a1=1,S21=(a+a2)+(93+a4)+L+(a19+a20)a+a2+L+a60=(a+a?+a3+a4)+(a5+比+a?+a8)+L+(a57+a58+a5g+比。)=10+26+42+L+234=15(1 234)1830.7.在等比数列 an中，a=3,a4=81，若数列 bn满足bn=log 3an，则数列 1 bnbn 1-a2=1+a-i,a3=2 a1,a4=

16、7 a1,a5=a1,比=9+q,ay=2 a1,a8=15 a1,ag=a1,a10=17+a1,a11=2 a1,a12=23 a1,L,a57=3,a58=113+3),a59=2 a1,a60=119 a1,则数列 11,1 n -1 -n n 1 n 1 n 1 精品文档 13欢迎下 +a21=10(a汁 a2)+a21=10*+1=6.18-(2015 长沙模拟)已知函数 f n=n2cos n,且 an=f n+f(n+1),则 ai+a2+a3+L+a1oo=_.【答案】100【分析】若n为偶数，则an=f n+f(n+1)=n2(n+1)2=(2n+1),为首项为 a2=5，

17、公差为 4的等差数列；若n为奇数，则 已=f n+f(n+1=2 2 n+(n+1)=2n+1，为首项为a=3，公差为 4 的等差数列.a100=(a1+a3+L+a99)+(a2+a4+L+ag。)-50 3+50 49 4 50(5)50 49 4=100.2 2 【答案】5 倒序相加有 2S=f(丄)f()f()f(2)L f(2)f(丄)10,11 11 11 11 11 11 即 S=5.20 在数列 an 中，a1 5,a?2,记 An 一 a)+a2+L+an,B n 一a2+03+L+an+1,C n 一a3+a4+L+an+2(n N*)，若对于任意 n N,A(n),B(n

18、),C(n)成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列|an|的前n项和.【解】(1)根据题意A(n),0n),C(n)成等差数列，A(n)+qn)一 20n),整理得 an+2 an+一 a2 a1=2+5=3,an+log2n=log 2bn,.an 2n 2 n 1 所以厲+a?+a3+L+19 设 f x=4x 4，利用倒序相加法，可求得 2 1 f(11)f(121)L f(10)的值为 11【分析】当X-|+X2=1时，f X-I+f x2 4为 一 X1 4X2 4 2 4X2 2 2 厶为 x2 2(4X1 4X2)X2 1.4X1 x2(4X1 4X2)2 4 设S

19、=f f(12)L 10 F，10 精品文档 14欢迎下 二数列an是首项为一 5,公差为 3 的等差数列,an=5+3(n 1)=3n 8.记数列|an|的前n项和为Sn.当 K2 时，Sn 即2 13n；当 n3时，Sn=7+(n2)(13n8)3n2 型 g,一 2 2 3 2 13 n n,nW 2 综上，Sn 2 2 3 2 13n n -14,n3 2 2 21.(2014 广州综测)已知等差数列 an的前n项和为Sn=n2+pn+q(p,q R)，且 a2,a3,a5成等比数列.(1)求p,q的值；若数列bn满足an+log2 n=log2bn，求数列bn的前n项和Tn.【解】(

20、1)当 n=1 时，a-i=S=1+p+q,当 n 2 时，an=Sn Sn1 2 2=n+pn+q(n 1)+p(n 1)+q=2n 1+p.an是等差数列,1+p+q=2X1-1+p,得 q=0.又 a2=3+p,a3=5+p,a5=9+p,a2,a3,a5成等比数列，2 2 a3 a2a5，即(5+p)=(3+p)(9+p),解得p=1.(2)由(1)得an=2n 2.bn=n2=n2=n4|an|=3n 8,nW2 3n 8,n3 L -得：為 当 n2 时，bn=Sn Sn 1=2n 1,当n=1 时，b=1符合上式，bn=2n 1(n N*),an bn=(2n 1)2n 1 1 2 n 1 Tn 1 3 21 5 22 L(2n 1)2,