极点与极线背景下的高考试题.pdf

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1、 极点与极线背景下的高考试题 RUSER redacted on the night of December 17,2020 极点与极线背景下的高考试题 王文彬(江西省抚州市第一中学 344000)极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是高中数学课程标准规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.1.从几何角度看极点与极线 定义 1 如图

2、 1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,E F G H，连接,EH FG 交于N，连接,EG FH交于M，则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.由图 1 同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所 对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点,A B两点，则,PA PB恰为圆锥曲线的两条切线.定理 1 (1)当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线 在P点处的切线；(2)当P在外时，过点P作的两条切线，设其切点分别为,A B，则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线)；(3)当P在内时，过点P任作一割线

3、交于,A B，设在,A B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹.定理 2 如图 2，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交于,A B，交l于Q，则PAPBAQBQ；反之，若有成立，则称点,P Q调和分割线段AB，或称点P与Q关于调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线 的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线的调 和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线.推论 1 如图 2，设点P关于圆锥曲线的调和共轭 点为点Q，则有211PQPAPB；反之，若有成立，则点P与Q关于调和共轭.可以证明与是等价的.事实上，由有 211PQPAPB.特别地，我们还有 推论 2 如图 3，

4、设点P关于有心圆锥曲线(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有2OROP OQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于调和共轭.证明：设直线PQ与的另一交点为R，则 PRPROPOROPORRQR QOROQOROQ，化简 即可得2OROP OQ.反之由此式可推出 P E F G H M A N B 图 1 P Q R 图 3 RR O P Q A 图 2 B l PRPRRQR Q，即点P与Q关于调和共轭.推论 3 如图 4，,A B圆锥曲线的一条 对称轴l上的两点(不在上)，若,A B关于调 和共轭，过B任作的一条割线，交于,P Q 两点，则PABQAB.证明：因关于

5、直线l对称，故在上存在,P Q的对称点,P Q.若P与Q重合，则Q与P 也重合，此时,P Q关于l对称，有PABQAB；若P与Q不重合，则Q与P也不重合，由于,A B 关于调和共轭，故,A B为上完全四点形PQ QP 的对边交点，即Q在PA上，故,AP AQ关于直线l 对称，也有PABQAB.定理 3 (配极原则)点P关于圆锥曲线 的极线p经过点Q点Q关于的极线q经过点P；直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极点Q在直线p上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理 1 的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与

6、极线 定义 2 已知圆锥曲线22:220AxCyDxEyF，则称点00(,)P xy和直线0000:()()0l Ax xCy yD xxE yyF是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0 x x替换2x，以02xx替换x，以0y y替换2y，以02yy替换y即可得到点00(,)P xy的极线方程.特别地：(1)对于椭圆22221xyab，与点00(,)P xy对应的极线方程为00221x xy yab；(2)对于双曲线22221xyab，与点00(,)P xy对应的极线方程为00221x xy yab；(3)对于抛物线22ypx，与点00(,)P xy对应的极线方程为00(

7、)y yp xx.(4)如果圆锥曲线是椭圆22221xyab，当00(,)P xy为其焦点(,0)F c时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221xyab，当00(,)P xy为其焦点(,0)F c时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22ypx，当00(,)P xy为其焦点(,0)2pF时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题 【例 1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆15922yx的左右顶点为,A B，右焦点为F设过点(,)T t m的直线,TA TB与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x yN xy，其中0

8、m，1200yy，(1)设动点P满足422 PBPF，求点P的轨迹；(2)设12123xx，求点T的坐标；P l A 图 4 PR B Q Q(3)设9t，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）分析与解：前面两问比较简单，这里从略.对于(3)，当9t时，T点坐标为(9,)m，连MN，设直线AB与MN的交点为K，根据 极点与极线的定义可知，点T对应的极线经过K，又点T对应的极线方程为9195xm y，即 15m yx，此直线恒过x轴上的定点K(1,0)，从而直线MN也恒过定点K(1,0).【例 2】(2008 安徽卷理 22)设椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1)M，且

9、左焦点为1(2,0)F.(1)求椭圆C的方程；(2)当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C交于两个不同的点,A B时，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，证明点Q总在某定直线上.分析与解：(1)易求得答案22142xy.(2)由条件可有PAPBAQBQ，说明点,P Q关于 圆锥曲线C调和共轭.根据定理 2，点Q的轨迹就是点 P对应的极线，即41142xy，化简得220 xy.故点Q总在定直线220 xy上.【例 3】(1995 全国卷理 26)已知椭圆22:12416xyC，直线:1128xyl，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足2OQOPOR，当点P在l上移动时，求

10、点Q的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知2OROPOQ可知点,P Q关于圆锥曲线C调和共轭，而点Q可看作是点P的极线与直线OP的交点.设(12,88)Ptt，则与P对应的极线方程为 12(88)12416t xty，化简得 (1)2txt y 又直线OP的方程为8812tyxt，化简得 223tyxt 解由联立方程组得 x O B A 图 5 K M N B Q x y O P A.图 6 R Q x y O P.图 7 22654244542txtttxtt，消去t得222346xyxy，可化为22(1)(1)15523xy(,x y不同时为0)，故点Q的轨迹是以(1,1)

11、为中心，长短轴分别为102和153，且长轴平行于x轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例 4】(2006 年全国卷 II 理 21)已知抛物线24xy 的焦点为F，,A B是抛物线上的两动点，且AFFB(0)，过,A B两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为P.(1)证明FP AB为定值；(2)设ABP的面积为S，写出()Sf的表达式，并求S的最小值.分析与解：(1)显然，点P的极线为AB，故可设点 0(,1)P x，再设1122(,),(,)A x yB xy，,F A B三点对应的极线方程分别为1y ，112()x xyy，222()x xyy，由于,A B F三点共线，故相应的三极线共点于0(

12、,1)P x，将1y 代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x xyx xy，两式相减得12012()2()xxxyy.又02121(,2),(,)FPxABxx yy，故02121()2()0FP ABx xxyy.(2)设AB的方程为1ykx，与抛物线的极线方程002()x xyy对比可知直线AB对应的极点为(2,1)Pk，把1ykx代入24xy并由弦长公式得24(1)ABk，所以2212(1)4(1)2ABPSAB FPkk.显然，当0k 时，S取最小值4.【例 5】(2005 江西卷理 22)设抛物线2:C yx 的焦点为F，动点P在直线:20l xy上运动，过P作抛物线的

13、两条切线,PA PB，且与抛物线分别 相切于,A B两点.(1)求APB的重心G的轨迹方程；(2)证明PFAPFB.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P xyA x yB xy，与002yyx x对比可知直线:20l xy对应的极点为1(,2)2，P为直线l上的动点，则点P对应的极线AB必恒过点1(,2)2.设1:2()2AB yk x，可化为2222kykx，故直线AB对应的极点为(,2)2 2k kP，将直线AB的方程代入抛物线方程得2202kxkx，由此得2121212,(1)44xxk yyk xxkk，APB的重心G的轨迹方程为 A B P O x y 图 8 F

14、 A B P O x y 图 9 F l 122212223322422222333kkxxkkxkkkyykkky，消去k即得 21(42)3yxx.(2)设221122(,),(,)A x xB xx，由(1)知1212,22kxxk x x，又1(0,)4F，由(1)知(,2)2 2k kP，即1212(,)2xxPx x，所以2111(,)4FAx x，12121(,)24xxFPx x，2221(,)4FBx x.2212112112112222211111111()()()()244444cos11()()44xxxx xxx xxx xFP FAPFAFPFAFPFP xFPxx.同理1214cosx xFP FBPFBFPFBFP.所以有PFAPFB.参考文献【1】周兴和.高等几何.科学出版社，【2】李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯 J，2012(4)下半月