轨迹方程的求法及典型例题含答案.pdf

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1、轨迹方程的求法 一、知识复习 轨迹方程的求法常见的有1直接法；2定义法；3待定系数法4参数法5交轨法；6相关点法 注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.一、知识复习 例 1：点 P3，0是圆 x2+y26x55=0 内的定点，动圆 M 与圆相切，且过点 P，求圆心 M 的轨迹方程。例 2、如下图，P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.解：设 AB 的中点为 R，坐标为(x,y)，那么在 RtABP 中，|AR|=|PR|.又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理：在 RtOAR 中，|AR|2=|AO

2、|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=22)4(yx 所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0 因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设 Q(x,y)，R(x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1=20,241yyx,代入方程 x2+y24x10=0,得 244)2()24(22xyx10=0 整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.例 3、如图,直线 L1和 L2相交于点 M,L1L2,点 N L1.以 A,B为端点的曲线段 C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.假设AMN为锐角

3、三角形,|AM|=17,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程.解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。设曲线段C的方程为)0,(),0(22yxxxppxyBA，其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。)2(92)2()1(172)2(3|,17|)0,2(),0,2(22AAAApxpxpxpxANAMpNpM得由所以 由，两式联立解得pxA4。再将其代入式并由 p0解得2214AAxpxp或 因为AMN是锐角三角形，所以Ax

4、p2，故舍去22Axp p=4,xA=1 由点B在曲线段C上，得42|pBNxB。综上得曲线段C的方程为)0,41(82yxxy 解法二：如图建立坐标系，分别以 l1、l2为 轴，M为坐标原点。作AEl1,ADl2，BFl2垂足分别为E、D、F 设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)依题意有 )0,63)(2(80,)(|),(),(6|4|22|3|22222222yxxyCyxxxxyxxyxPCyxPNBBExAEAMMEENMExAMNDAAMDMyANDAMExBANBNAA的方程故曲线段属于集合上任一点则由题意知是曲线段设点为锐角三角形故有由于 例 4、两点)2,0(

5、),2,2(QP 以及一条直线：y=x，设长为2的线段 AB 在直线上移动，求直线 PA 和 QB 交点 M 的轨迹方程 解：PA 和 QB 的交点 Mx，y随 A、B 的移动而变化，故可设)1,1(),(ttBttA，那么 PA：),2)(2(222txttyQB：).1(112txtty 消去 t，得.082222yxyx 当 t=2，或 t=1 时，PA 与 QB 的交点坐标也满足上式，所以点 M 的轨迹方程是.0822222yxxyx 例 5、设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，OAOB，OMAB，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解法一：设

6、 M(x,y)，直线 AB 的方程为 y=kx+b 由 OMAB，得 k=yx 由 y2=4px 及 y=kx+b，消去 y,得 k2x2+(2kb4p)x+b2=0 所以 x1x2=22kb,y1y2=kpb4，由 OAOB，得 y1y2=x1x2 所以kpk4=22kb,b=4kp 故 y=kx+b=k(x4p),得 x2+y24px=0(x0)故动点 M 的轨迹方程为 x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有112121212122112221211144xxyyx

7、xyyxxyyxyxyxypxypxy|得(y1y2)(y1+y2)=4p(x1x2)假设 x1x2,那么有2121214yypxxyy,得 y12y22=16p2x1x2 代入上式有y1y2=16p2 代入，得yxyyp214代入，得pyxyyxxyyyyp442111121所以211214)(44ypxyypyyp 即 4pxy12=y(y1+y2)y12y1y2 、代入上式，得 x2+y24px=0(x0)当 x1=x2时，ABx 轴，易得 M(4p,0)仍满足方程.故点 M 的轨迹方程为 x2+y24px=0(x0)它表示以(2p,0)为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点.轨 迹

8、 方 程(练习 1)1(08、山东文 22)曲线1C：|1(0)xyabab所围成的封闭图形的面积为 4 5，曲线1C的内切圆半径为2 53，记2C为以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆(1)求椭圆2C的标准方程；(2)设AB是过椭圆2C中心的任意弦，L是线段AB的 垂直平分线，M是L上异于椭圆中心的点 假设|MO|OA(O为坐标原点)，当点A在椭圆2C上运动时，求点M的轨迹方程；假设M是L与椭圆2C的交点，求AMB的面积的最小值 解：(1)由题意得2224 52 53ababab4522ba，椭圆方程：2254xy1(2)假设 AB 所在的斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为 ykx(

9、k0)，A(AAyx，)由22154,xyykx2222220204545AAkxykk，2222220(1)|45AAkOAxyk 设 M(x，y)，由|MO|OA|(0)|MO|22|OA|22222220(1)45kxyk 因为 L 是 AB 的垂直平分线，所以直线 L 的方程为 y1xkkxy，代入上式有：22222222222220(1)20()4545xxyyxyxyxy，由022 yx2225420 xy，当 k0 或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M 的轨迹方程为22245xy，0 当 k 存在且 k0 时，2222220204545AAkxykk，|OA|2222220(1

10、)45AAkxyk 由221541xyyxk 2222220205454MMkxykk，22220(1)|54kOMk 222222111120(1)20(1)4554kkOAOMkk209 222119|20OAOBOAOM|OBOA 940|221OBOASAMB|OBOA 940，当且仅当45k254k2时，即 k1 时等号成立 当14002 522 529AMBkS，；当 k 不存在时，140542 529AMBS 综上所述，AMB的面积的最小值为409 2 07、江西理 21设动点P到点(10)A ，和(10)B，的距离分别为1d和2d，2APB，且存在常数(01)，使得212sin

11、d d(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；(2)过点B作直线与双曲线C的右支于MN，两点，试确定的范围，使OMON0，其中点O为坐标原点 解：(1)在PAB中，2AB，即222121222cos2ddd d，2212124()4sinddd d，即2121244sin2 12ddd d常数，点P的轨迹C是以AB，为焦点，实轴长22 1a的双曲线，方程为：2211xy 2设11()M xy，22()N xy，当MN垂直于x轴时，MN的方程为1x，(11)M，(11)N，在双曲线上 即2111511012 ，因为01，所以512 当MN不 垂 直 于x轴 时，设MN的 方 程 为(

12、1)yk x 由2211(1)xyyk x得：2222(1)2(1)(1)()0kxk xk，由题意知：2(1)0k 21222(1)(1)kxxk，2122(1)()(1)kx xk 22212122(1)(1)(1)ky ykxxk 由OMON0，且MN，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x xy ykxxkx x 由知32215 3 09、海南椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1 1 求椭圆C的方程；2 假设P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，2OPeOMe

13、 为椭圆 C 的离心率，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 解：设椭圆长半轴长及分别为 a，c由得71cacaa4，c3椭圆 C 的方程为221167xy 2设 Mx，y，P0 x，0y 其中0 x4，4，0 xx有22001167xy 由OPeOM得：2240022xyexy169 故22220016()9()xyxy【下面是寻找关系式0 xfx，y，0ygx，y的过程】又167112220220 xyxx 式代入：22001167xy并整理得：4 7(44)3yx ，所以点 M 的轨迹是两条平行于 x轴的线段 轨 迹 方 程(练习 2)4 09、重庆理以原点O为中心的椭圆的一条准线方程

14、为4 33y，离心率32e，M 是椭圆上的动点(1)假设 C、D 的坐标分别是(0，3)、(0，3)，求|MC|MD的最大值；(2)如图，点 A 的坐标为(1，0)，点 B 是圆221xy上的点，点 N 是点 M(椭圆上的点)在x轴上的射影，点 Q 满足条件：OQOMON，QABA0求线段 QB 的中点 P 的轨迹方程 解：(1)设椭圆方程为：22221xyabab0 准线方程4 33y ca2，32e ac2a，32c1 b椭圆方程为：2214yx 所以：C、D 是椭圆2214yx 的两个焦点|MC|MD4|MC|MD4)2|(2 MDMC，当且仅当|MC|MD，即点 M 的坐标为(1,0)

15、时上式取等号|MC|MD的最大值为 4(2)设M(,),(,)mmBBxyB xy，(,)QQQ xy，N(0，mx)4422mmyx，122BByx 由OQOMON mQxx2，mQyy 4)2(2222mmQQyxyx 由QABA0(QQyx，1)(BByx，1)(Qx1)(Bx1)BQyy0 BQBQyyxx1BQxx 记 P 点的坐标为(Px，Py)，因为 P 是BQ的中点 BQPxxx2，BQPyyy2 2222)2()2(BQBQPPyyxxyx)22(412222BQBQBQBQyyxxyyxx)1(2541BQxx)245(41PxPPPxyx4322 动点 P 的方程为：1)

16、21(22yx 509、安徽椭圆22ax22by1ab0的离心率为33以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线 yx2 相切 1求 a 与 b 的值；2设该椭圆的左，右焦点分别为1F和2F，直线1L过2F且与 x 轴垂直，动直线2L与 y 轴垂直，2L交1L1PF的垂直平分线与直线2L的交点 M 的轨迹方程，并指明曲线类型 解：1e3322ab32又圆心0，0到直线 yx2 的距离 d半径 b22112，2b2，2a312322yx 21F1，0、2F1，0，由题意可设 P1，t t0.那么线段1PF的中点为 N0，2t 2L的方程为：yt，设 M(MMyx,)是所求轨迹上的任意点.【下面

17、求直线 MN 的方程，然后与直线2L的方程联立，求交点 M 的轨迹方程】直线1PF的斜率 k2t，线段1PF的中垂线 MN 的斜率t2 所以：直线 MN 的方程为：y2tt2x由22txtytytytxMM42，消去参数 t 得：MMxy42，即：xy42，其轨迹为抛物线除原点 又解：由于MNx，2ty，1PFx，2ty MN1PF0，tyytxtx0)2()2,(，消参数 t 得：xy42x0，其轨迹为抛物线除原点 6(07 湖南理 20 双曲线222xy的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的动直线与双曲线相交于AB，两点【直接法求轨迹】1假设动点M满足1111FMF AFBFO其中O为坐

18、标原点，求点M的轨迹方程；(2)在x轴上是否存在定点C，使CACB为常数？假设存在，求出点C的坐标；假设不存在，请说明理由 解：(1)由条件知1(2 0)F ，2(2 0)F，设11()A xy，22()B xy，设()M xy，那么 1(2)FMxy，111(2)F Axy，1221(2)(2 0)FBxyFO，由1111FMF AFBFO121226xxxyyy 12124xxxyyyAB的中点坐标为422xy，当AB不与x轴垂直时，1212024822yyyyxxxx，即1212()8yyyxxx 又因为AB，两点在双曲线上，所以22112xy，22222xy，两式相减得 1212121

19、2()()()()xxxxyyyy，即1212()(4)()xxxyyy 将1212()8yyyxxx代入上式，化简得22(6)4xy 当AB与x轴垂直时，122xx，求得(8 0)M，也满足上述方程 所以点M的轨迹方程是22(6)4xy 2假设在x轴上存在定点(0)C m，使CACB为常数 当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)(1)yk xk 代入222xy有2222(1)4(42)0kxk xk 那么12xx，是上述方程的两个实根，所以212241kxxk，2122421kx xk，于是CACB22221212(1)(2)()4kx xkm xxkm 22222222(1)(42)4(2)411kkkkmkmkk 222222(12)2442(12)11m kmmmmkk 因为CACB是与k无关的常数，所以440m，即1m，此时CACB1 当AB与x轴垂直时，点AB，的坐标可分别设为(22)，(22)，此时CACB(1，2)(1，2)1故在x轴上存在定点(10)C，使CACB为常数