概率论和数理统计练习题与答案解析.pdf

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1、一、选择题：1某人射击三次，以表示事件“第次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为（）（A）321AAA（B）323121AAAAAA（C）321321321AAAAAAAAA （D）321AAA 2掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于 8 的概率为（）（A）365（B）364 （C）363 （D）362 3设随机事件与互不相容，且0)(,0)(BPAP，则（）（A）)(1)(BPAP （B）)()()(BPAPABP （C）1)(BAP （D）1)(ABP 4随机变量的概率密度为000)(2xxcexfx，则EX（）（A）21 （B）1 （C）2 （D）41 5下列各函

2、数中可以作为某随机变量的分布函数的是（）（A）xxxF,11)(21 （B）0001)(2xxxxxF（C）xexFx,)(3 （D）xxxF,arctan2143)(4 6已知随机变量的概率密度为)(xfX，令XY2，则的概率密度)(yfY为（）（A）)2(2yfX （B）)2(yfX （C）)2(21yfX （D）)2(21yfX 7已知二维随机向量),(YX的分布及边缘分布如表hgpfedxcbaxpyyyXYYjXi61818121321，且与相互独立，则h（）（A）81 （B）83 （C）41 （D）31 8设随机变量5,1 UX，随机变量)4,2(NY，且与相互独立，则)2(YXY

3、E（）（A）3 （B）6 （C）10 （D）12 9设与为任意二个随机变量，方差均存在且为正，若EYEXEXY，则下列结论不正确的是（）（A）与相互独立 （B）与不相关 （C）0),cov(YX （D）DYDXYXD)(答案：1.B 2.A 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D8.C 9.A 1某人射击三次，以表示事件“第次击中目标”，则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为（C）（A）321AAA （B）323121AAAAAA（C）321321321AAAAAAAAA （D）321AAA 2将两封信随机地投入 4 个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概率为（A）（A）2242 （B）2

4、412CC （C）24!2A （D）!4!2 3设随机事件与互不相容，且0)(,0)(BPAP，则（D）（A）)()|(APBAP （B）)()()(BPAPABP （C）)()()|(BPAPBAP （D）0)|(BAP 4随机变量的概率密度为其他0),0(2)(axxxf，则EX（A）（A）32（B）1 （C）38 （D）316 5随机变量的分布函数000)1()(xxexAxFx，则A（B）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 6已知随机变量的概率密度为)(xfX，令XY3，则的概率密度)(yfY为（D）（A）)3(3yfX （B）)3(yfX （C）)3(31yfX （D）)3(31

5、yfX 7已知二维随机向量),(YX的分布及边缘分布如表hgpfedxcbaxpyyyXYYjXi61818121321，且与相互独立，则（B）（A）81 （B）41 （C）83 （D）31 8设随机变量YX,相互独立，且)5.0,16(bX，服从参数为 9 的泊松分布，则)12(YXD（C）（A）-14 （B）13 （C）40 （D）41 9设),(YX为二维随机向量，则与不相关的充分必要条件是（D）（A）与相互独立 （B）EYEXYXE)(（C）DYDXDXY （D）EYEXEXY 一、填空题,是两个随机事件，5.0)(AP，8.0)(BAP，若与互不相容，则)(BP=；)2(若与相互独立

6、，则)(BP=.2.一袋中装有 10 个球，其中 4 个黑球，6 个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）.已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的仍是黑球的概率为.的概率分布为kakXP3，,2,1k，则常数a.的分布函数为 2,120,0,0)(2xxaxxxF 则常数a，31 XP=.的概率分布为 则)33(2XE=.6.如果随机变量服从,ba上的均匀分布，且3)(XE，34)(XD，则=，=.，相互独立，且都服从参数为6.0的10分布，则YXP=.，是两个随机变量，2)(XE，20)(2XE，3)(YE，34)(2YE，5.0XY，则)(YXD=.答案：1.3.0，6.0 2.313.4

7、1 4.41，435.5.4 6.1，5 7.8.21,是两个随机事件，3.0)(AP，)()(BAPABP，则)(BP=.2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，破译成功的概率依次为 0.8，0.7，0.6，则密码能译出的概率为.的概率分布为,5,4,3,2,1,15kkkXP则31123 XP=.4.设随机变量的分布函数为2,120,sin0,0)(xxxxxF，则6XP.5.设随机变量服从3,1 上的均匀分布，则X1的数学期望为.21,XX相互独立，其概率分布分别为 -1 0 1 0.3 则21XXP=.7.设，是两个随机变量，)3,0(2NX，)4,1(2NY，与相互独立，则Y

8、X .8.设随机变量21,XX相互独立，且都服从0,1上的均匀分布，则)3(21XXD.9.设随机变量和的相关系数为5.0，)(XE0)(YE，)(2XE2)(2YE，则2)(YXE=.答案：2.0.976 3.314.5.3ln21 6.95 7.)5,1(2N 8.65 9.6 二、有三个箱子，第一个箱子中有 3 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球.现随机地选取一个箱子，再从这个箱子中任取 1 个球.（1）求取到的是白球的概率；（2）若已知取出的球是白球，求它属于第二个箱子的概率.解：设事件表示该球取自第个箱子)3,2,1(i，

9、事件表示取到白球.2411853163314131)|()()(31iiiABPAPBP114)()|()()()()|(241163312222BPABPAPBPBAPBAP 三、某厂现有三部机器在独立地工作，假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0.在一天中，若三部机器均无故障，则该厂可获取利润万元；若只有一部机器发生故障，则该厂仍可获取利润万元；若有两部或三部机器发生故障，则该厂就要亏损5.0万元.求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量表示该厂一天所获的利润（万元），则可能取5.0,1,2，且 512.08.023XP，384.08.02.01213CXP，104.0384.0512

10、.015.0XP.所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(XE（万元）四、设随机向量),(YX的密度函数为其它,010,10,4),(yxxyyxf.求YXP；)2(求YX,的边缘密度，并判断与的独立性.解：(1)5.0)1(24),(102110dxxxxydydxdxdyyxfYXPxyx；(2),010,24),()(,010,24),()(1010其它其它yyxydxdxyxfyfxxxydydyyxfxfYX 由),()()(yxfyfxfYX知随机变量YX,相互独立.五、设随机变量的密度函数为其它,010,3)(2xxxfX，求随机变量12 XY的密度函数.解

11、法一：的分布函数为)21(2112)(yFyXPyXPyYPyFXY，两边对求导，得 1 2 1 2 3132 3132 其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22yyyyyfyfXY 解法二：因为12 xy是10 x上单调连续函数，所以 其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|)()(22yyyhyydyydhyhfyfXY 注：21)(yyhx为12 xy的反函数。二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件，他们生产的零件数之比为5:3:2.已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3.现从三人生产的零件中任取一个.求该零件是次品的概

12、率；)2(若已知该零件为次品，求它是由甲生产的概率.解：设事件321,AAA分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产，事件表示取到的零件是次品.(1)028.0%2105%4103%3102)|()()(31iiiABPAPBP；(2)143028.0%32.0)()|()()()()|(1111BPABPAPBPBAPBAP.三、设一袋中有 6 个球，分别编号 1，2，3，4，5，6.现从中任取 2 个球，用表示取到的两个球的最大编号.求随机变量的概率分布；)2(求EX.解：可能取6,5,4,3,2，且 6,5,4,3,2,151126kkCkkXP 所以的概率分布表为 3/115/45/115/

13、215/165432PX 且31415162kkkEX.四、设随机向量),(YX的密度函数为其它,020,10,),(yxxyxf.求1YXP；)2(求YX,的边缘密度，并判断与的独立性.解：(1)31),(11020101dxxxdydxdxdyyxfYXPxyx；(2),020,21),()(,010,2),()(1020其它其它yxdxdxyxfyfxxxdydyyxfxfYX 由),()()(yxfyfxfYX知随机变量YX,相互独立.五、设随机变量服从区间3,0上的均匀分布，求随机变量13 XY的密度函数.解法一：由题意知其它,030,3/1)(xxfX.的分布函数为)31(3113

14、)(yFyXPyXPyYPyFXY，两边对求导，得 其它即,0813310,91)31(31)(yyyfyfXY 解法二：因为13 xy是30 x上单调连续函数，所以 其它即,081,331)(0,913131|)(|)()(yyyhdyydhyhfyfXY 注：31)(yyhx为13 xy的反函数。三、已知一批产品中有 90%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为 0.05，一个次品被误判为合格品的概率是 0.04求：（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率 解：设1A“确实为合格品”，2A“确实为次品”，B“判为合格

15、品”（1）)|()()|()()(2211ABPAPABPAPBP 859.004.01.095.09.0（2）9953.0)()|()()|(111BPABPAPBAP 四、设二维连续型随机向量),(YX的概率密度为其他00),(yxeyxfy，求：（1）边缘密度函数)(xfX和)(yfY；（2）判断与是否相互独立，并说明理由；（3）1YXP 解：（1）000000),()(xxexxdyedyyxfxfxxyX 000000),()(0yyyeyydxedxyxfyfyyyY（2）)()(),(yfxfyxfYX与不独立 （3）15.02101211 eedxdyeYXPxxy 四、设二维

16、连续型随机向量),(YX的概率密度为其他010,02),(yxyeyxfx，求：（1）边缘密度函数)(xfX和)(yfY；（2）判断与是否相互独立，并说明理由；（3）YXP 解：（1）0000002),()(10 xxexxdyyedyyxfxfxxX 其他其他01020102),()(0yyydxyedxyxfyfxY（2）)()(),(yfxfyxfYX与独立 （3）1421101 edxdyyeYXPxx 一、单项选择题 1.对任何二事件 A 和 B，有)(BAP（C ）.A.)()(BPAP B.)()()(ABPBPAP C.)()(ABPAP D.)()()(ABPBPAP 2.设

17、 A、B 是两个随机事件，若当 B 发生时 A 必发生，则一定有（B ）.A.)()(APABP B.)()(APBAP C.1)/(ABP D.)()/(APBAP 3.甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次，命中率分别为0.5,0.8，则目标被击中的概率为（C ）（甲乙至少有一个击中）A.B.C.D.0.85 4.设随机变量X的概率分布为 X 1 2 3 4 P 1/6 a 1/4 b 则a，b可以是（D ）（归一性）.A.4161,ba B.125121,ba C.152121,ba D.3141,ba 5.设函数0.5,()0,axbf x其它 是某连续型随机变量 X 的概率密度，则区间

18、,ba可以是（B ）（归一性）.A.1,0 B.2,0 C.2,0 D.2,1 6.设二维随机变量),(YX的分布律为 Y X 0 1 2 0 1 2 0.1 0.2 0 则 0XYP(D ).B.0.3 C 7.设随机变量 X 服从二项分布),(pnB，则有（D ）（期望和方差的性质）.A.12(XEnp2)B.14)12(npXE C.1)1(4)12(pnpXD D.)1(4)12(pnpXD 8已知随机变量(,)XB n p，且4.8,1.92EXDX,则,n p的值为（A）A.8,0.6np B.6,0.8np C.16,0.3npD.12,0.4np 9设随机变量(1,4)XN，则

19、下式中不成立的是（B ）A.1EX B.2DX C.10P X D.10.5P X 10.设 X 为随机变量，1,2DXEX，则)(2XE的值为（A ）（方差的计算公式）.A5 B.C.1 D.3 11.设随机变量 X 的密度函数为其它,010,)(xbaxxf，且 EX=0，则（A ）（归一性和数学期望的定义）.A.6,4ab B.1,1ab C.6,1abD.1,5ab 12.设随机变量，则下列各项中正确的是（A ）A.()0.2,()0.04E XD X B.()5,()25E XD X C.()0.2,()4E XD X D.()2,()0.25E XD X 13.设(,)X Y为二维

20、连续型随机变量，则 X 与 Y 不相关的充分必要条件是（D ）.A.X 与 Y 相互独立 B.()()()E XYE XE Y C.()()()E XYE X E Y D.221212(,)(,0)X YN 二、填空题 1.已知 P（A）=0.6，P（A-B）=0.3，且 A 与 B 独立，则 P（B）=.2.设BA,是两个事件，8.0)(,5.0)(BAPAP，当 A,B 互不相容时，P(B)=_；当 A,B 相互独立时，P(B)=53.3.设在试验中事件 A 发生的概率为 p，现进行 n 次重复独立试验，那么事件 A 至少发生一 次的概率为1(1)np.4.一批产品共有 8 个正品和 2

21、个次品，不放回地抽取 2 次，则第 2 次才抽得次品的概率P=845.5.随机变量X的分布函数F(x)是事件 P(X)x的概率.6.若随机变量 X )0)(,(2N，则 X 的密度函数为.7.设随机变量 X 服从参数2的指数分布,则 X 的密度函数()f x ；分布函数 F(x)=.8.已知随机变量X只能取-1，0，1，三个值，其相应的概率依次为125236,ccc，则c=2（归一性）.9.设随机变量 X 的概率密度函数为2,01()0,xxf x其它，则3 （归一性）.10.设随机变量 X2(2,)N，且230.3PX，则1P X=.222322311()(0)0.3,(0)0.5()=0.

22、8212111=()=1()=0.2XPXPXP XP 又，11.设随机变量 XN（1，4），（0.5）=0.6915，（1.5）=0.9332，则 P|X|2=.|21|21 222 112 1111 1.50.522221(0.5)(1.5)0.9332),(1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-|2=1(0.5)(1.5)=751)3(P XP XPXXXPPP X 又 12.设随机变量 X ),(211N，Y ),(222N，且 X 与 Y 相互独立，则 X+Y 221212(,)N分布.13.设随机变量 X 的数学期望EX和方差0DX 都存在，令DXEX

23、XY，则_0_EY；_1_DY.14.若 X 服从区间0，2上的均匀分布，则2()E X4/3.15.若 X(4,0.5)B，则(23)DX=9.17.设随机变量 X 的概率密度23,01()0,xxf x其它，()_E X,()_D X.18.设随机变量 X 与 Y 相互独立，1,3DXDY，则(321)DXY(3)(2)9()4()DXDYD XD Y=21.三、计算题 1.设随机变量 X 与 Y 独立，(1,1)N，)2,2(2N，且0.2XY,求随机变量函数23ZXY的数学期望与方差.四、证明题 1.设随机变量 X 服从标准正态分布，即 X)1,0(N，2XY，证明：Y 的密度函数为 0,00,21)(2yyeyyfyY .五、综合题 1.设二维随机变量（X，Y）的联合密度为 其它,010,10,6),(2yxxyyxf，求：（1）关于 X，Y 的边缘密度函数；（2）判断 X，Y 是否独立；（3）求P XY.