正弦与余弦定理练习题及答案.pdf

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1、国庆作业(一)正弦定理与余弦定理练习题 一.选择题 1.在ABC中,A45,B60,a2,则b等于()A、6 B、2 C、3 D.2 6 2.在ABC中,已知a8,B60,C75,则b等于()A.4 2 B.4 3 C.4 6 D、323 3.在ABC中,角A、B、C得对边分别为a、b、c,A60,a4 3,b4 2,则角B为()A.45或 135 B.135 C.45 D.以上答案都不对 4.在ABC中,abc156,则 sinAsinBsinC等于()A.156 B.651 C.615 D.不确定 5.在ABC中,a,b,c分别就是角A,B,C所对得边,若A105,B45,b 2,则c()

2、A.1 B、12 C.2 D、14 6.在ABC中,若cos Acos Bba,则ABC就是()A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7.已知ABC中,AB 3,AC1,B30,则ABC得面积为()A、32 B、34 C、32或 3 D、34或32 8.ABC得内角A、B、C得对边分别为a、b、c、若c 2,b 6,B120,则a等于()A、6 B.2 C、3 D、2 二、填空题 9.在ABC中,角A、B、C所对得边分别为a、b、c,若a1,c 3,C3,则A_、10.在ABC中,已知a4 33,b4,A30,则 sinB_、11.在ABC中,已知A30,

3、B120,b12,则ac_、12.在ABC中,a2bcosC,则ABC得形状为_.13.在ABC中,A60,a63,b12,SABC18 3,则abcsinAsinBsinC_,c_、14.已 知 三 角 形ABC中,A B C 1 2 3,a 1,则a2bcsin A2sin Bsin C_、15.在ABC中,已知a3 2,cosC13,SABC4 3,则b_、16.在ABC中,b4 3,C30,c2,则此三角形有_组解.17.如图所示,货轮在海上以 40 km/h 得速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线得水平转角)为 140得方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A得方位角为

4、 110,航行半小时后船到达C点,观测灯塔A得方位角就是 65,则货轮到达C点时,与灯塔A得距离就是多少？(17题)三、简答题 18.在ABC中,a、b、c分别为角A、B、C得对边,若a2 3,sinC2cosC214,sin Bsin Ccos2A2,求A、B及b、c、19.(2009 年高考四川卷)在ABC中,A、B为锐角,角A、B、C所对应得边分别为a、b、c,且 cos 2A35,sin B1010、(1)求AB得值;(2)若ab 21,求a,b,c得值.20.ABC中,ab60 3,sin Bsin C,ABC得面积为 15 3,求边b得长.21.已知ABC得周长为 21,且 sin

5、 Asin B 2sin C、(1)求边AB得长;(2)若ABC得面积为16sin C,求角C得度数.23.在ABC中,BC 5,AC3,sin C2sin A、(1)求AB得值;(2)求 sin(2A4)得值.余弦定理练习题 1.在ABC 中,如果 BC6,AB4,cosB13,那么 AC 等于()A.6 B.26 C.36 D.4 6 2.在ABC 中,a2,b 31,C30,则 c 等于()A、3 B、2 C、5 D.2 3.在ABC 中,a2b2c2 3bc,则A 等于()A.60 B.45 C.120 D.150 4.在ABC中,A、B、C得对边分别为a、b、c,若(a2c2b2)t

6、anB 3ac,则B 得值为()A、6 B、3 C、6或56 D、3或23 5.在ABC 中,a、b、c 分别就是 A、B、C 得对边,则 acosBbcosA等于()A.a B.b C.c D.以上均不对 6.如果把直角三角形得三边都增加同样得长度,则这个新得三角形得形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加得长度决定 7.已知锐角三角形 ABC 中,|AB|4,|AC|1,ABC 得面积为 3,则ABAC得值为()A.2 B.2 C.4 D.4 8.在ABC 中,b 3,c3,B30,则 a 为()A、3 B.2 3 C、3或 2 3 D.2 9.已知ABC 得三

7、个内角满足 2BAC,且 AB1,BC4,则边 BC上得中线 AD 得长为_.10.ABC 中,sinAsinBsinC(31)(31)10,求最大角得度数.11.已知 a、b、c 就是ABC 得三边,S 就是ABC 得面积,若 a4,b5,S5 3,则边 c 得值为_.12.在ABC 中,sin Asin Bsin C234,则 cos Acos Bcos C_、13.在ABC 中,a3 2,cos C13,SABC4 3,则 b_、14.已知ABC 得三边长分别为 AB7,BC5,AC6,则ABBC得值为_.15.已知ABC 得三边长分别就是 a、b、c,且面积 Sa2b2c24,则角 C

8、_、16.(2011 年广州调研)三角形得三边为连续得自然数,且最大角为钝角,则最小角得余弦值为_.17.在ABC 中,BCa,ACb,a,b 就是方程 x22 3x20 得两根,且 2cos(AB)1,求 AB 得长.18.已知ABC 得周长为 21,且 sin Asin B 2sin C、(1)求边AB 得长;(2)若ABC 得面积为16sin C,求角 C 得度数.19.在ABC 中,BC 5,AC3,sin C2sin A、(1)求 AB 得值;(2)求sin(2A4)得值.20.在ABC 中,已知(abc)(abc)3ab,且 2cos Asin BsinC,确定ABC 得形状.正弦

9、定理 1.在ABC 中,A45,B60,a2,则 b 等于()A、6 B、2 C、3 D.2 6 解析:选 A、应用正弦定理得:asinAbsinB,求得 basinBsinA 6、2.在ABC 中,已知 a8,B60,C75,则 b 等于()A.4 2 B.4 3 C.4 6 D、323 解析:选 C、A45,由正弦定理得 basinBsinA4 6、3.在ABC 中,角 A、B、C 得对边分别为 a、b、c,A60,a4 3,b4 2,则角 B 为()A.45或 135 B.135 C.45 D.以上答案都不对 解析:选 C、由正弦定理asinAbsinB得:sinBbsinAa22,又a

10、b,B60,B45、4.在ABC 中,abc156,则 sinAsinBsinC 等于()A.156 B.651 C.615 D.不确定 解析:选 A、由正弦定理知 sinAsinBsinCabc156、5.在ABC 中,a,b,c 分别就是角 A,B,C 所对得边,若 A105,B45,b 2,则 c()A.1 B、12 C.2 D、14 解析:选 A、C1801054530,由bsinBcsinC得 c2sin 30sin451、6.在ABC 中,若cos Acos Bba,则ABC 就是()A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:选 D、basi

11、n Bsin A,cos Acos Bsin Bsin A,sinAcosAsinBcosB,sin2Asin2B 即 2A2B 或 2A2B,即 AB,或 AB2、7.已知ABC 中,AB 3,AC1,B30,则ABC 得面积为()A、32 B、34 C、32或 3 D、34或32 解析:选 D、ABsinCACsinB,求出 sinC32,ABAC,C 有两解,即C60或 120,A90或 30、再由 SABC12ABACsinA 可求面积.8.ABC 得内角 A、B、C 得对边分别为 a、b、c、若 c 2,b 6,B120,则 a 等于()A、6 B.2 C、3 D、2 解析:选 D、

12、由正弦定理得6sin1202sinC,sinC12、又C 为锐角,则 C30,A30,ABC 为等腰三角形,ac 2、9.在ABC 中,角 A、B、C 所对得边分别为 a、b、c,若 a1,c 3,C3,则 A_、解析:由正弦定理得:asinAcsinC,所以 sinAasinCc12、又ac,AC3,A6、答案:6 10.在ABC 中,已知 a4 33,b4,A30,则 sinB_、解析:由正弦定理得asinAbsinB sinBbsinAa4124 3332、答案:32 11.在ABC 中,已知A30,B120,b12,则 ac_、解析:C1801203030,ac,由asinAbsinB

13、得,a12sin30sin1204 3,ac8 3、答案:8 3 12.在ABC 中,a2bcosC,则ABC 得形状为_.解析:由正弦定理,得 a2RsinA,b2RsinB,代入式子 a2bcosC,得 2RsinA22RsinBcosC,所以 sinA2sinBcosC,即 sinBcosCcosBsinC2sinBcosC,化简,整理,得 sin(BC)0、0B180,0C180,180BC180,BC0,BC、答案:等腰三角形 13.在ABC 中,A60,a6 3,b12,SABC18 3,则abcsinAsinBsinC_,c_、解析:由正弦定理得abcsinAsinBsinCas

14、inA6 3sin6012,又 SABC12bcsinA,1212sin60c18 3,c6、答案:12 6 14.已知ABC 中,ABC123,a1,则a2bcsin A2sin Bsin C_、解析:由ABC123 得,A30,B60,C90,2RasinA1sin302,又a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C,a2bcsin A2sin Bsin C2Rsin A2sinBsin Csin A2sin Bsin C2R2、答案:2 15.在ABC 中,已知 a3 2,cosC13,SABC4 3,则 b_、解析:依题意,sinC2 23,SABC12absinC4 3,解

15、得 b2 3、答案:2 3 16.在ABC 中,b4 3,C30,c2,则此三角形有_组解.解析:bsinC4 3122 3且 c2,cbsinC,此三角形无解.答案:0 17.如图所示,货轮在海上以 40 km/h 得速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线得水平转角)为 140得方向航行,为了确定船位,船在 B 点观测灯塔 A 得方位角为 110,航行半小时后船到达 C点,观测灯塔 A得方位角就是 65,则货轮到达C 点时,与灯塔 A 得距离就是多少？解:在ABC 中,BC401220,ABC14011030,ACB(180140)65105,所以A180(30105)45,由正弦

16、定理得 ACBCsinABCsinA 20sin30sin4510 2(km).即货轮到达 C 点时,与灯塔 A 得距离就是 10 2 km、18.在ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 得对边,若 a2 3,sinC2cosC214,sin Bsin Ccos2A2,求 A、B 及 b、c、解:由 sinC2cosC214,得 sinC12,又 C(0,),所以 C6或 C56、由 sin Bsin Ccos2A2,得 sin Bsin C121cos(BC),即 2sin Bsin C1cos(BC),即 2sin Bsin Ccos(BC)1,变形得 cos Bcos Csin

17、Bsin C1,即 cos(BC)1,所以 BC6,BC56(舍去),A(BC)23、由正弦定理asin Absin Bcsin C,得 bcasin Bsin A2 312322、故 A23,B6,bc2、19.(2009 年高考四川卷)在ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对应得边分别为 a、b、c,且 cos 2A35,sin B1010、(1)求 AB 得值;(2)若 ab 21,求 a,b,c 得值.解:(1)A、B 为锐角,sin B1010,cos B 1sin2B3 1010、又 cos 2A12sin2A35,sinA55,cos A2 55,cos(AB)cos

18、Acos Bsin Asin B 2 553 101055101022、又 0AB,AB4、(2)由(1)知,C34,sin C22、由正弦定理:asin Absin Bcsin C得 5a 10b 2c,即 a 2b,c 5b、ab 21,2bb 21,b1、a 2,c 5、20.ABC 中,ab60 3,sin Bsin C,ABC 得面积为 15 3,求边 b 得长.解:由 S12absin C 得,15 31260 3sin C,sin C12,C30或 150、又 sin Bsin C,故BC、当C30时,B30,A120、又ab60 3,asin Absin B,b2 15、当C1

19、50时,B150(舍去).故边 b 得长为 2 15、余弦定理 1.在ABC 中,如果 BC6,AB4,cosB13,那么 AC 等于()A.6 B.2 6 C.3 6 D.4 6 解析:选 A、由余弦定理,得 AC AB2BC22ABBCcosB 4262246136、2.在ABC 中,a2,b 31,C30,则 c 等于()A、3 B、2 C、5 D.2 解析:选 B、由余弦定理,得 c2a2b22abcosC 22(31)222(31)cos30 2,c 2、3.在ABC 中,a2b2c2 3bc,则A 等于()A.60 B.45 C.120 D.150 解析:选 D、cosAb2c2a

20、22bc 3bc2bc32,0A180,A150、4.在ABC 中,A、B、C 得对边分别为 a、b、c,若(a2c2b2)tanB 3ac,则B得值为()A、6 B、3 C、6或56 D、3或23 解析:选 D、由(a2c2b2)tanB 3ac,联想到余弦定理,代入得 cosBa2c2b22ac321tanB32cosBsinB、显然B2,sinB32、B3或23、5.在ABC 中,a、b、c 分别就是 A、B、C 得对边,则 acosBbcosA 等于()A.a B.b C.c D.以上均不对 解析:选 C、aa2c2b22acbb2c2a22bc2c22cc、6.如果把直角三角形得三边

21、都增加同样得长度,则这个新得三角形得形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加得长度决定 解析:选 A、设三边长分别为 a,b,c 且 a2b2c2、设增加得长度为 m,则 cmam,cmbm,又(am)2(bm)2a2b22(ab)m2m2c22cmm2(cm)2,三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形.7.已知锐角三角形 ABC 中,|AB|4,|AC|1,ABC 得面积为 3,则ABAC得值为()A.2 B.2 C.4 D.4 解析:选 A、SABC 312|AB|AC|sinA 1241sinA,sinA32,又ABC 为锐角三角形,cosA12,ABAC

22、41122、8.在ABC 中,b 3,c3,B30,则 a 为()A、3 B.2 3 C、3或 2 3 D.2 解析:选 C、在ABC 中,由余弦定理得 b2a2c22accosB,即 3a293 3a,a23 3a60,解得 a 3或 2 3、9.已知ABC 得三个内角满足 2BAC,且 AB1,BC4,则边 BC 上得中线 AD 得长为_.解析:2BAC,ABC,B3、在ABD 中,AD AB2BD22ABBDcosB 1421212 3、答案:3 10.ABC 中,sinAsinBsinC(31)(31)10,求最大角得度数.解:sinAsinBsinC(31)(31)10,abc(31

23、)(31)10、设 a(31)k,b(31)k,c 10k(k0),c 边最长,即角 C 最大.由余弦定理,得 cosCa2b2c22ab12,又 C(0,180),C120、11.已知 a、b、c 就是ABC 得三边,S 就是ABC 得面积,若 a4,b5,S5 3,则边 c得值为_.解析:S12absinC,sinC32,C60或 120、cosC12,又c2a2b22abcosC,c221 或 61,c 21或 61、答案:21或 61 12.在ABC 中,sin Asin Bsin C234,则 cos Acos Bcos C_、解析:由正弦定理 abcsin Asin Bsin C2

24、34,设 a2k(k0),则 b3k,c4k,cos Ba2c2b22ac2k24k23k222k4k1116,同理可得:cos A78,cos C14,cos Acos Bcos C1411(4).答案:1411(4)13.在ABC 中,a3 2,cos C13,SABC4 3,则 b_、解析:cos C13,sin C2 23、又 SABC12absinC4 3,即12b3 22 234 3,b2 3、答案:2 3 14.已知ABC 得三边长分别为 AB7,BC5,AC6,则ABBC得值为_.解析:在ABC 中,cosBAB2BC2AC22ABBC 492536275 1935,ABBC|

25、AB|BC|cos(B)75(1935)19、答案:19 15.已知ABC 得三边长分别就是 a、b、c,且面积 Sa2b2c24,则角 C_、解析:12absinCSa2b2c24a2b2c22abab2 12abcosC,sinCcosC,tanC1,C45、答案:45 16.(2011 年广州调研)三角形得三边为连续得自然数,且最大角为钝角,则最小角得余弦值为_.解析:设三边长为 k1,k,k1(k2,kN),则 k2k12k120kk1k12k4,k3,故三边长分别为 2,3,4,最小角得余弦值为32422223478、答案:78 17.在ABC中,BCa,ACb,a,b就是方程x22

26、 3x20得两根,且2cos(AB)1,求AB得长.解:ABC 且 2cos(AB)1,cos(C)12,即 cosC12、又a,b 就是方程 x22 3x20 得两根,ab2 3,ab2、AB2AC2BC22ACBCcosC a2b22ab(12)a2b2ab(ab)2ab(2 3)2210,AB 10、18.已知ABC 得周长为 21,且 sin Asin B 2sin C、(1)求边 AB 得长;(2)若ABC 得面积为16sin C,求角 C 得度数.解:(1)由题意及正弦定理得 ABBCAC 21,BCAC 2AB,两式相减,得 AB1、(2)由ABC 得面积12BCACsin C1

27、6sin C,得 BCAC13,由余弦定理得 cos CAC2BC2AB22ACBC ACBC22ACBCAB22ACBC12,所以 C60、19.在ABC 中,BC 5,AC3,sin C2sin A、(1)求 AB 得值;(2)求 sin(2A4)得值.解:(1)在ABC 中,由正弦定理ABsin CBCsin A,得 ABsinCsinABC2BC2 5、(2)在ABC 中,根据余弦定理,得 cos AAB2AC2BC22ABAC2 55,于就是 sin A 1cos2A55、从而 sin 2A2sin Acos A45,cos 2Acos2 Asin2 A35、所以 sin(2A4)sin 2Acos4cos 2Asin4210、20.在ABC 中,已知(abc)(abc)3ab,且 2cos Asin BsinC,确定ABC 得形状.解:由正弦定理,得sin Csin Bcb、由 2cos Asin Bsin C,有 cosAsinC 2sin Bc2b、又根据余弦定理,得 cos Ab2c2a22bc,所以c2bb2c2a22bc,即 c2b2c2a2,所以 ab、又因为(abc)(abc)3ab,所以(ab)2c23ab,所以 4b2c23b2,所以 bc,所以 abc,因此ABC 为等边三角形.