高中数学暑期辅导高一第6讲对数及其运算.目标班.pdf

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1、 高中数学暑期辅导高一第 6 讲 对数及其运算.目标班 第 74 页 对数对于我们来说是一个比较新的运算，在初中、小学都没涉及过.指数以前算是接触，只不过当时没有规定具体的名字，但至少我们知道22，32怎么算！对数对大家而言是个比较陌生的运算.所以，在对数学习的初期，要克服自己的心理障碍，不要看到它就烦.首先看到它要热爱它，如果热爱它做不到，那就做到不排斥它.下面我们来具体看一下对数的相关概念：考点 1：指数式与对数式的互化 到底什么是对数呢？其实对数式与指数式是相生相伴的.比如我们知道指数式baN，那问你32等于多少？124等于多少？这些我们可能都会算，我们把这种运算就叫做指数运算.但是，现

2、在出现另外一种运算，比如问你?2等于4，?3等于13，这些可能我们还会算，但是若问你?3等于2，这个我们就不知道了，那我们就把这种求指数6.1 对数的相关概念 知识点睛 第 6 讲 对数及其运算 第 75 页 的运算叫做对数运算.事实上，在数学历史上，对数先于指数，对数是先出现的.对数产生的背景是在当时航海和天文要求庞大的计算基础上产生的，当时有一个很出名的书叫常用对数表，这个小册子当时在欧洲连续2年销量第一.那对数的概念到底是什么呢？我们怎么运算呢？下面我们就来看一下对数的概念：1.对数的概念：一般地，如果baN(0a，且1)a，那么我们把b叫做以a为底N的对数，记作logabN，其中a叫做

3、对数的底数，N叫做真数 关系式 a b N 指数式 baN 底数(0,1)aa 指数()bR 幂（值）()NR 对数式 logaNb 底数(0,1)aa 对数()bR 真数()NR【教师备案】常用符号“log”是拉丁字logarithm的缩写 由于正数的任何次幂都是正数，即0(0)baa，故0bNa，因此对数符号logaN（0a 且a1）只有0N 时才有意义，例如：2log 0，2log(2)无意义 第 76 页 对数式logabN是指数式bNa的另一种表达形式，其本质相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂N，而对数式中的b是指数式中的指数b，利用对数式与指数式这一关系，可以把指数与对数进行互

4、化，从而使问题顺利地得到解决，求某些对数值就可把它转化为指数问题 如：2log?3，就相当于32?8；31log?2，就相当于123?3；log?0a，就相当于0?1a；491log?2，就相当于1249?7；84log?3，就相当于438?16.在我们刚刚讲的对数中，底都是以238，等为底的，如果是以10为底的，那应该怎么写呢？是10logN吗？下面我们就来看一下常用的对数和自然对数：对数logaN（0a 且1a），当底数 10a 时，叫做常用对数，记做lgN；如：lg0.01就是代表?100.01，所以我们很快能够算出lg0.012；或者lg0.0001就是代表?100.0001，所以我们

5、依然很快算出lg0.00014 另外，我们在初中学过一个无理数，那高中阶段 第 77 页 我们依然要介绍一个无理数，下面我们就来看一下这个无理数：ea 时，叫做自然对数，记做lnN（e为无理数，e2.71828）【e的奥秘】e是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉（Euler）的英文首字母.欧拉首先发现此数并称之为自然数e.但是，这种所谓的自然数与常见正整数123，截然不同.确切地讲，e应称为“自然对数elog N的底数”.无理数e值是x无限增大时，11xx的极限.通常书写为1lim 1exxx或10lim 1exxx.欧拉认为，一切函数均可展开为无穷级数，而指数函数ex可写为：23e1

6、1!2!3!nxxxxxn，当1x 时，有1111e11!2!3!n.理解了牛顿和莱布尼茨的微积分后，就会更明白e的奥秘.这个问题等上高二以后再详细说明.另外，初中我们学了一个无理数，现在又学了一个无理数e，等到高二我们还会 第 78 页 学一个复数i，这三者均为数学上至关重要的数，且三者之间还有一种密切的关系：ie10.这个式子也被称为数学史上最漂亮的式子之一.因为数学上最重要的5个数都在其中（0ei1，）.【教师备案】老师在讲完自然对数以后，只需让学生知道e是无理数；2.5e3；eloglnNN.【教师备案】老师在讲完对数的概念和常用对数与自然对数以后就可以让学生做例 1 和例 2.例 1

7、 主要是将指对进行互化；例 2 主要就是求值，在刚开始对数求值时，我们主要讲对数转换为指数的形式.【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式【例2】求下列各式中x的值 对数式与指数式的互化是在解决对数问题时运用化归思想的桥梁因此，在刚开始学习对数问题时，我们可以把它转化为指数问题，经典精讲 第 79 页 利用分数指数幂的有关运算性质及其方法技巧来解决问题；反过来我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题，从而使问题得到解决 在指数中我们发现有一些恒等式，比如：001aa.那在对数中有没有一些恒等式呢？如果有那应该是什么呢？对数又有什么样的性质呢？下面我们就来看一下对数恒等式和它的

8、性质：考点 2：对数恒等式及对数性质 1.对数恒等式 根据对数的定义，可以得到下面的对数恒等式：logaNaN【证明过程】设baN，则logabN，两边同时取以a为底的指数，得：logaNbaa，又baN，logaNaN【教师备案】例如：3log 12312，10log1000101000 注意:当幂的底数和对数的底数相同时，对数恒等式logayay才适用 知识点睛 第 80 页 2.根据对数的定义，对数logaN（0a 且1a）具有下列性质：零和负数没有对数，即0N；1 的对数为零，即log 10a；底的对数等于 1，即log1aa 【教师备案】老师在讲完对数恒等式以后就可以让学生做例 3，

9、例 3 主要是考察对数恒等式和性质.学生应该很轻松的就能够做完.【例3】下列等式中正确的是（）A3log 5325 B4log 333 C3log 133 D3log 201232012 求下列各值：【解析】D 已知2(3)log(3)1xxx，求实数x的值【易错分析】错解：由对数的性质可得：233xxx 解得：1x 或3x 错解分析：对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了 在上一讲我们讲了指数的运算法则，如mnm naaa，mm nnaaa，nmmnaa等，那对数有什么样的运算法则呢？下面我们就来看一下对数的运算法则：6.2 对数的运算 经典精讲 第 81 页 考点 3

10、：对数的运算性质 对数的运算性质：如果0a，且100aMN，那么：【性质引入】在 17 世纪，没有计算机，需要大量运算，不管你是天文学家，还是什么学家，把时间花在大量的计算上都不好.下面我们来做一个简单的对数表：2log x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 比如，你要算781512825622232768，即2222log 128log 256log 32768log128256 log()loglogaaaM NMN；（积的

11、对数等于对数的和）推广1212log()logloglogakaaakNNNNNN【推导过程】设logaMp，logaNq，根据对数的定义，可得pMa，qNa 由pqMNaap qa，log()loglogaaaMNpqMN logloglogaaaMMNN；（商的对数等于对数的差）【推导过程】设logaMp，logaNq，根据对数的定义，可得pMa，qNa 由pp qqMaaNa，log()loglogaaaMpqMNN 知识点睛 第 82 页【性质引入】有人说，对数的发明极大地延长了数学家，航海家，天文学家的寿命.并且伽利略说：“如果给我时间，空间和对数，我将创造这个宇宙”.为什么伽利略这

12、么说？主要是因 为对数能够将乘除运算转化为加减运算，从而减少运算量.比如：lg101，lg1002，lg10003等，自变量扩大10倍，函数值才往上爬一格.loglog()aaMMR（幂的对数等于底数的对数乘以幂指数）【推导过程】设logaMp，根据对数的定义，可得pMa，【教师备案】对数表的强大作用在于它能在那个时代去化简运算.比如：2222log 25log 52log 5，它可以把极大地式子化简为小的式子.所以，对运算我们也是有优先级的.比如加、减、乘、除、指数就是一个优先级逐渐升高的过程；或者我们必修3还会讲到算法，对算法中我们也有时间的运算级，这里可以给学生简单介绍一下，比如：O n

13、表示100个数算100次，1000个数算1000次，数越大算的花的时间越长；2O n表示10个 第 83 页 数算100次，100个数算10000次，数越大，你心里越难承受.很多算法是这个级别，比如排序算法.那最优秀的级别是什么呢？是lgOn，表示10个数算 1 次，100个数算2次，效率非常高.最烂的级别是什么呢？是 2nO，我们前面也讲过指数爆炸，指数级别的增长速度很快.【教师备案】这些运算法则的意义在于可以把大的式子化成小的式子运算.如：3331log 2loglog 102；3log 2与31log2互为相反数【教师备案】老师在讲完对数的运算法则以后，就可以让学生做例 4，例 4 主要

14、是锻炼学生的运算法则.【例4】用logax，logay，logaz表示下列各式 logaxyz _；23logaxy_；3logaxyz_；logaxyz_ 计算下列各式 22log 10log 5_；lg5lg2_；经典精讲 第 84 页 771log 3log3_；33log 5log 15_；lg27lg8lg 1000lg1.2_；333322log 2loglog 89_ 在实际应用中，如果不用对数表，如何求对数呢？例如，已知lg50.6990，lg30.4771，如何求3log 5？我们可以根据对数的性质，利用常用对数来计算.设3log 5x，写成指数形式，得35x，两边取常用对数

15、，得lg3lg5x.所以，lg50.69901.465lg30.4771x，即3log 51.465.所以，我们发现上面的求解关键是将以3为底的对数用以10为底的对数来表示.那到底什么情况下用换底呢？怎么用换底呢？换底公式是什么呢？下面我们一起来看一下换底公式：考点 4：换底公式 1.换底公式：logloglogabaNNb（010ababN，）【证明过程】在高中，90%以上都是代数证明，不像初中，几何证明居多，在高中你要学的几何主要有两大分支，就是解析几何和立体几何.解析几何就是用解析式能表达出来的，解析几何基本上都是运算.立体几何到最后要学空间向量，空间向量里知识点睛 第 85 页 主要也

16、是运算，纯粹几何很少，纯粹几何只是在几何证明选讲里，在高考中只占5分，所以高中90%都是代数.法一：根据指数的运算性质推导 设logbNx，则xbN两边取以a为底的对数，得loglogaaxbN，所以loglogaaNxb，即logloglogabaNNb 法二：根据对数恒等式及对数的运算性质推导 由对数恒等式得：loglogloglog()logbNbaaaNbbN，所以有logloglogabaNNb【作用】数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，这样只要通过查表就能求出任意正数的常用对数和自然对数.但是，从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可以作为对数的底数，因

17、此必须转换为以10或e为底的对数，在这样的实际背景下出现了换底公式.因此可以用换底公式将以任意不等于1的正数作为底数的对数，转换为常用对数或自然对数.再就是，计算器或计算机上能够计算的对数都是常用对数或自然 第 86 页 对数，这就更有必要学习换底公式.换底公式还能帮助我们简化有关对数的运算.例如：1520132152013log 3log 3log3lg3ln3log 3log2log 2lg2ln2log2.【引入】换底公式比较有意思的地方在于换谁为底.比如：我们上边讲的2log 3用换底公式可以写成很多个，但是若我们取以3为底，则3233log 31log 3log 2log 2，那这个

18、式子就比较有意思了.我们会发现23log 3 log 21，所以引申出下边的：【注意】区别“logaN与1logaN”和“logab与logba”：【教师备案】这是个自然推论，从形式相当于把logab和logbc中的b约掉了，和logloglogbbaNaN 一样.如：23572log 3 log 5 log 7 log 8log 83【证明过程】log1logloglognaanaabbban【注意】“loglogmaabmb”和“1loglognaabbn”例：9333111log 12log 1212log 2log 2222；12221log 5log 5log5；【教师备案】老师在讲

19、完换底公式和换底公式的基本使用以后就可以让学生做例5，例5主要是用换底公式进行计算.第 87 页 【例5】计算下列各式 logloglogxyzyzx_；58log 4 log 5_；527log 3 log 125_；235111logloglog2589_.【解析】1 原式lglglg1lglglgyzxxyz 一个东西单位不一样，我们对他的感觉就不一样，比如你们还有150多个星期就要高考了，暑期过完就剩140个星期了，要说还有3年高考好像很长时间，要说暑期好像就很快.再比如，一个重500kg的人是不是就是半吨，一个人重半吨就很肥，这人一定巨肥.下面我们就来看一下换底公式的应用，老师可以用

20、下面的式子给学生讲解，讲完之后就可以让学生做例6，例6主要是换底公式的灵活应用.例：已知2log 3p，请用p表示18log24【解析】法一：31818181823233131log24log233log2log 3log 18log 182log 312log 2 这种方法叫先拆真数，再拆底数.在对数中能经典精讲 第 88 页 拆的只有分数，所以对于拆底数的方法也叫取倒数，把底数转化为真数 法二：条件给的底是2，结论中的底是18，要想换成底为2【例6】已知3log 5q，那么45log75 _（用q表示）；8log 3p，3log 5q，那么lg5 _（用p，q表示）；已知35log 5lo

21、g 8ab，那么20log75 _(用ab，表示)；已知2log 3a，37b，那么12log 56 _(用ab，表示)到这时，我们已经把对数及其运算全部讲完了.但因为对数是学生新接触的一个东西，而且很多高三的学生最后复习时总是对“对数”产生很陌生的感觉，所以我们一定要让学生在这时熟练掌握，那就可以让学生做【挑战五分钟】【挑战五分钟】求值：若32a，则332log 6log 8_（用a表示）；已知18log 9a，185b，则36log45 _.【演练 1】已知201232loglog(log)0 x，那么12x等于（）实战演练 第 89 页 A13 B12 3 C12 2 D13 3【解析】

22、C【演练 2】已知5()lnf xx，则(2)f等于（）Aln2 Bln32 C1ln32 D1ln25【解析】D【演练 3】已知2349a(0)a ，则23log a 【演练 4】已知6log 3a，则用a表示6log 2，表达式为6log 2 已知0,0,1abm abm且logmbx，则logma等于（）A1x B1x C1x D1x A【演练 5】2log 30lg4lg2520.5_;526331864log92_ 如果0a，且100aMN，那么：logaNa_；loglogaaMN_；loglogaaMN_；logaM_；loglogabba_；lognab _；lognmab_.答案：概念要点回顾