2015高考理科数学分类汇编----导数解读.pdf

《2015高考理科数学分类汇编----导数解读.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015高考理科数学分类汇编----导数解读.pdf（24页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、-1-2015 高考理科数学分类汇编-导数 1.【2015 高考福建，理 10】若定义在R上的函数 f x 满足 01f ，其导函数 fx 满足 1fxk，则下列结论中一定错误的是（）A11fkk B111fkk C1111fkk D 111kfkk【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g xf xkx，则()()0g xfxk，故函数()g x在R上单调递增，且101k，故1()(0)1ggk，所以1()111kfkk，11()11fkk，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数()()h xf xx，则()()10h xfx，所以函数()h x在R上单调递增，且10k，所

2、以1()(0)hhk，即11()1fkk，11()1fkk，选项 A,B 无法判断，故选 C【考点定位】函数与导数【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题 2.【2015 高考陕西，理 12】对二次函数2()f xaxbxc（a为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A1是()f x的零点 B1 是()f x的极值点 C3 是()f x的极值 D.点(2,8)在曲线()

3、yf x上【答案】A【解析】若选项 A 错误时，选项 B、C、D 正确，2fxaxb，因为1是 f x的极值点，3是 f x的极值，所以 1013ff，即203ababc，解得：23baca，因为点2,8在曲线 yf x上，所以428abc，即42238aaa ，解得：5a，所以10b ，8c，所以 25108f xxx，因为-1-21511018230f ，所以1不是 f x的零点，所以选项 A 错误，选项 B、C、D 正确，故选 A【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有

4、一个”和“错误”，否则很容易出现错误解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理 3.【2015 高考新课标 2，理 12】设函数()fx是奇函数()()f x xR的导函数，(1)0f，当0 x 时，()()0 xfxf x，则使得()0f x 成立的x的取值范围是（）A(,1)(0,1)B(1,0)(1,)C(,1)(1,0)D(0,1)(1,)【答案】A【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确

5、定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题 4.【2015 高考新课标 1，理 12】设函数()f x=(21)xexaxa,其中 a1，若存在唯一的整数0 x，使得0()f x0，则a的取值范围是（）(A)-32e，1）(B)-32e，34）(C)32e，34）(D)32e，1）【答案】D【解析】设()g x=(21)xex，yaxa，由题知存在唯一的整数0 x，使得0()g x在直线-1-yaxa的下方.因为()(21)xg xex，所以当12x 时，()g x0，当12x 时，()g x0，所以当12x 时，max()g x=12-2e，当0 x 时

6、，(0)g=-1，(1)30ge，直线yaxa恒过（1,0）斜率且a，故(0)1ag，且1(1)3geaa ，解得32ea1，故选 D.【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路 1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路 2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路 3：分类讨论，本题用的就是思路 2.5.【2015 高考陕西，理 16】如

7、图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：xy-1-原始的最大流量是110102 22162，设抛物线的方程为22xpy（0p），因为该抛物线过点5,2，所以2225p，解得254p，所以2252xy，即2225yx，所以当前最大流量是53235355222240222 55255257575753xdxxx ，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403，所以答案应填：1.2【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义【名师点晴】

8、本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线xa，xb，0y 和曲线 yf x所围成的曲边梯形的面积是 baf x dx 6.【2015 高考天津，理 11】曲线2yx 与直线yx 所围成的封闭图形的面积为 .【答案】16 -1-【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.【2015 高考湖南，理 11】20(1)x

9、dx .【答案】0.【解析】试题分析：0)21()1(22200 xxdxx.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.7.【2015 高考新课标 2，理 21】（本题满分 12 分）设函数2()mxf xexmx()证明：()f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；（）若对于任意12,1,1x x ，都有12()()1f xf xe，求m的取值范围【答案】()详见解析；（）1,1【解析】()()(1)2mxfxm ex 若0m，则当(,

10、0)x 时，10mxe，()0fx；当(0,)x时，10mxe，()0fx 若0m，则当(,0)x 时，10mxe，()0fx；当(0,)x时，10mxe，()0fx 所以，()f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增（）由()知，对任意的m，()f x在 1,0单调递减，在0,1单调递增，故()f x在0 x 处取得最小值所以对于任意12,1,1x x ，12()()1f xf xe的充要条件是：-1-(1)(0)1,(1)(0)1,ffeffe即1,1,mmemeeme，设 函 数()1tg tete ，则()1tg te当0t 时，()0g t；当0t 时，()0g t 故()g t

11、在(,0)单调递减，在(0,)单调递增又(1)0g，1(1)20gee，故当 1,1t 时，()0g t 当 1,1m 时，()0g m，()0gm，即式成立 当1m 时，由()g t的单调性，()0g m，即1meme；当1m 时，()0gm，即1meme综上，m的取值范围是 1,1【考点定位】导数的综合应用【名师点睛】()先求导函数()(1)2mxfxm ex，根据m的范围讨论导函数在(,0)和(0,)的符号即可；（）12()()1f xf xe恒成立，等价于12max()()1f xf xe 由12,x x是两个独立的变量，故可求研究()f x的值域，由()可得最小值为(0)1f，最大值

12、可能是(1)f 或(1)f，故只需(1)(0)1,(1)(0)1,ffeffe，从而得关于m的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解 8.【2015 高考江苏，19】（本小题满分 16 分）已知函数),()(23Rbabaxxxf.（1）试讨论)(xf的单调性；（2）若acb（实数 c 是 a 与无关的常数），当函数)(xf有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(，求 c 的值.【答案】（1）当0a 时，f x在,上单调递增；当0a 时，f x在2,3a，0,上单调递增，在2,03a上单调递减；当0a 时，f x在,0，2,3a上单调递增，在2

13、0,3a上单调递减（2）1.c -1-【考点定位】导数的综合应用【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意()()f xg x与minmax()()f xg x不等价，minmax()()f xg x只是()()f xg x的特例，但是也可以利用它来证明，在 2014 年全国卷理科高考 21 题中，就是使用该种方法证明不等式；

14、导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续 10.【2015 江苏高考，17】（本小题满分 14 分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12ll，山区边 界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到12ll，的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到12ll，的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以12ll，所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 xO

15、y，假设曲线 C 符合函数2ayxb （其中 a，b 为常数）模型.（1）求 a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t.请写出公路 l 长度的函数解析式 f t，并写出其定义域；当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）1000,0;ab（2）6249 109(),4f ttt定义域为5,20，min10 2,()15 3tf t千米【解析】（1）由题意知，点，的坐标分别为5,40，20,2.5 M N l2 l1 x y O C P l -1-将其分别代入2ayxb，得40252.5400abab，解得10000ab（2）由（1

16、）知，21000yx（520 x），则点的坐标为21000,tt，设在点处的切线l交x，y轴分别于，点，32000yx ，则l的方程为2310002000yxttt，由此得3,02t，230000,t 故 2262243300034 1022tf tttt，5,20t 设 6244 10g ttt，则 6516 102g ttt令 0g t，解得10 2t 当5,10 2t时，0g t，g t是减函数；当10 2,20t时，0g t，g t是增函数 从而，当10 2t 时，函数 g t有极小值，也是最小值，所以 min300g t，此时 min15 3f t 答：当10 2t 时，公路l的长度

17、最短，最短长度为15 3千米【考点定位】利用导数求函数最值，导数几何意义【名师点晴】解决实际应用问题首先要弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，然后将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可.求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后再利用导数求极值与最值.11.【2015 高考山东，理 21】设函数 2ln1fxxa xx，其中aR.（）讨论函数 f x极值点的个数，并说明理由

18、；-1-（）若 0,0 xf x 成立，求a的取值范围.【答案】（I）：当0a 时，函数 f x在1,上有唯一极值点；当809a时，函数 f x在1,上无极值点；当89a 时，函数 f x在1,上有两个极值点；（II）a的取值范围是 0,1.（2）当0a 时，28198aaaaa 当809a时，0 ，0g x 所以，0fx，函数 f x在1,上单调递增无极值；当89a 时，0 设方程2210axaxa 的两根为1212,(),x xxx 因为1212xx 所以，1211,44xx 由 110g 可得：111,4x 所以，当11,xx 时，0,0g xfx，函数 f x单调递增；当12,xx x

19、时，0,0g xfx，函数 f x单调递减；当2,xx时，0,0g xfx，函数 f x单调递增；-1-因此函数 f x有两个极值点（3）当0a 时，0 由 110g 可得：11,x 当21,xx 时，0,0g xfx，函数 f x单调递增；当2,xx时，0,0g xfx，函数 f x单调递减；因此函数 f x有一个极值点 综上：当0a 时，函数 f x在1,上有唯一极值点；当809a时，函数 f x在1,上无极值点；当89a 时，函数 f x在1,上有两个极值点；（II）由（I）知，（1）当809a时，函数 f x在0,上单调递增，因为 00f 所以，0,x时，0f x ，符合题意；（2）当

20、819a 时，由 00g，得20 x 所以，函数 f x在0,上单调递增，又 00f，所以，0,x时，0f x ，符合题意；（3）当1a 时，由 00g，可得20 x 所以20,xx 时，函数 f x 单调递减；又 00f 所以，当20,xx时，0f x 不符合题意；（4）当0a 时，设 ln1h xxx 因为0,x时，11011xh xxx -1-当11xa 时，210axa x 此时，0,f x 不合题意.综上所述，a的取值范围是 0,1 【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用，着重考查了分类讨论、数形结合、转化的思

21、想方法，意在考查学生结合所学知识分析问题、解决问题的能力，其中最后一问所构造的函数体现了学生对不同函数增长模型的深刻理解.12.【2015 高考安徽，理 21】设函数2()f xxaxb.（）讨论函数(sin)fx在(,)2 2 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（）记2000()fxxa xb，求函数0(sin)(sin)fxfx在2 2,上的最大值 D；（）在（）中，取000ab，求24azb满足D1时的最大值.【答案】（）极小值为24ab；（）00|Daabb；（）1.【解析】（）2(sin)sinsinsin(sin)fxxaxbxxab，22x.(sin)(2sin)cos

22、fxxax，22x.因为22x，所以cos0,22sin2xx.当2,abR 时，函数(sin)fx单调递增，无极值.当2,abR时，函数(sin)fx单调递减，无极值.-1-当22a，在(,)2 2 内存在唯一的0 x，使得02sin xa.02xx时，函数(sin)fx单调递减；02xx时，函数(sin)fx单调递增.因此，22a，bR时，函数(sin)fx在0 x处有极小值20(sin)()24aafxfb.（）22x时，00000|(sin)(sin)|()sin|fxfxaaxbbaabb，当00()()0aa bb时，取2x，等号成立，当00()()0aa bb时，取2x，等号成立

23、，由此可知，函数0(sin)(sin)fxfx在2 2,上的最大值为00|Daabb.（）D1，即|1ab，此时201,11ab，从而214azb.取0,1ab，则|1ab，并且214azb.由此可知，24azb满足条件D1的最大值为 1.【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法

24、的应用.13.【2015 高考天津，理 20（本小题满分 14 分）已知函数()n,nf xxxxR，其中*n,n2N.(I)讨论()f x的单调性；(II)设曲线()yf x与x轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为()yg x,求证：对于任意的正实数x，都有()()f xg x；-1-(III)若关于x的方程()=a(a)f x为实数有两个正实根12xx，求证：21|-|21ax xn【答案】(I)当n为奇数时，()f x在(,1)，(1,)上单调递减，在(1,1)内单调递增；当n为偶数时，()f x在(,1)上单调递增，()f x在(1,)上单调递减.(II)见解析；(III

25、)见解析.(2)当n为偶数时，当()0fx，即1x 时，函数()f x单调递增；当()0fx，即1x 时，函数()f x单调递减.所以，()f x在(,1)上单调递增，()f x在(1,)上单调递减.(II)证明：设点P的坐标为0(,0)x，则110nxn，20()fxnn，曲线()yf x在点P处的切线方程为00()yfxxx，即00()()g xfxxx，令()()()F xf xg x，即00()()()F xf xfxxx，则0()()()F xfxfx 由于1()nfxnxn 在0,上单调递减，故()F x在0,上单调递减，又因为-1-0()0F x，所以当0(0,)xx时，0()0

26、F x，当0(,)xx时，0()0F x，所以()F x在0(0,)x内单调递增，在0(,)x 内单调递减，所以对任意的正实数x都有0()()0F xF x，即对任意的正实数x，都有()()f xg x.(III)证明：不妨设12xx，由(II)知20()g xnnxx，设方程()g xa的根为2x，可得 202.axxnn，当2n 时，()g x在,上单调递减，又由(II)知222()()(),g xf xag x可得22xx.类似的，设曲线()yf x在原点处的切线方程为()yh x，可得()h xnx，当(0,)x，()()0nf xh xx，即对任意(0,)x，()().f xh x

27、设方程()h xa的根为1x，可得1axn，因为()h xnx在,上单调递增，且111()()()h xaf xh x，因此11xx.由此可得212101axxxxxn.因为2n，所以11112(1 1)111nnnCnn ，故1102nnx，所以2121axxn.【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第(I)小题求导后分n为奇偶数讨论函数的单调性，体现了数学分类讨论的重要思想；第(II)(III)中都利用了构造函数证明不等式这一重要思想方法，体现数学中的构造法在解题中的重

28、要作用，是拨高题.14.【2015 高考重庆，理 20】设函数 23xxaxf xaRe （1）若 f x在0 x 处取得极值，确定a的值，并求此时曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；-1-分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质 15.【2015 高考四川，理 21

29、】已知函数22()2()ln22f xxaxxaxaa，其中0a.（1）设()g x是()f x的导函数，评论()g x的单调性；（2）证明：存在(0,1)a，使得()0f x 在区间(1,+)内恒成立，且()0f x 在(1,+)内有唯一解.【答案】（1）当104a时，()g x在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)22aa上单调递减；当14a 时，()g x在区间(0,)上单调递增.（2）详见解析.【解析】（1）由已知，函数()f x的定义域为(0,)，()()222ln2(1)ag xfxxaxx，所以222112()2()2224()2xaag

30、xxxx.当104a时，()g x在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)22aa上单调递减；当14a 时，()g x在区间(0,)上单调递增.（2）由()222ln2(1)0afxxaxx，解得11 ln1xxax.令2211111 ln1 ln1 ln1 ln()2()ln2()2()1111xxxxxxxxxxxxxxxxx .则211(2)2(1)10,()2()011e eeeee ，.故存在0(1,)xe，使得0()0 x.-1-令000101 ln,()1 ln(1)1xxau xxx xx ，.由1()10u xx 知，函数()u x在区间

31、(1,)上单调递增.所以001110()(1)()2011 1111u xuu eeaxee.即0(0,1)a.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在 0.3 以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也

32、必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想.在本题中，结合待证结论，可以想象出()f x的大致图象，要使得()0f x 在区间(1,+)内恒成立，且()0f x 在(1,+)内有唯一解，则这个解0 x应为极小值点，且极小值为 0，当0(1,)xx时，()f x的图象递减；当0(,)xx时，()f x的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.16.【2015 高考湖北，理 22】已知数列na的各项均为正数，1(1)()nnnbn

33、annN，e为自然对数的底数（）求函数()1exf xx 的单调区间，并比较1(1)nn与e的大小；-1-（）计算11ba，1 212bba a，1 23123bb ba a a，由此推测计算1 212nnbbba aa的公式，并给出证明；（）令112()nnnca aa，数列na，nc的前n项和分别记为nS,nT,证明：nneST.【答案】（）()f x的单调递增区间为(,0)，单调递减区间为(0,).1(1)enn；（）详见解析；（）详见解析.【解析】（）()f x的定义域为(,)，xexf1)(.当()0fx，即0 x 时，()f x单调递增；当()0fx，即0 x 时，()f x单调递

34、减.故()f x的单调递增区间为(,0)，单调递减区间为(0,).当0 x 时，()(0)0f xf，即xex 1.令1xn，得nen111，即enn)11(.（）11111(1)1 121ba ；2221 212121212 2(1)(21)32bbbba aaa；23331 2331 2123123133(1)(31)43bb bbbba a aa aa.由此推测：1 212(1).nnnbbbna aa 下面用数学归纳法证明.（1）当1n 时，左边右边2，成立.（2）假设当nk时，成立，即1 212(1)kkkbbbka aa.当1nk时，1111(1)(1)1kkkbkak，由归纳假设

35、可得111 211 211211211(1)(1)(1)(2)1kkkkkkkkkkkbbb bbbbbkkka aa aa aaak.所以当1nk时，也成立.根据（1）（2），可知对一切正整数n都成立.（）由nc的定义，算术-几何平均不等式，nb的定义及得 123nnTcccc111131211212312()()()()nnaa aa a aa aa 11113121 231 211 2()()()()2341nnbb bbbbbbbn -1-若54a ，则5(1)04fa，(1)min(1),(1)(1)0hfgf,故x=1 不是()h x的零点.当(0,1)x时，()ln0g xx，所

36、以只需考虑()f x在（0,1）的零点个数.()若3a 或0a，则2()3fxxa在（0,1）无零点，故()f x在（0,1）单调，而1(0)4f，5(1)4fa，所以当3a 时，()f x在（0，1）有一个零点；当a 0 时，()f x在（0，1）无零点.()若30a，则()f x在（0，3a）单调递减，在（3a，1）单调递增，故当x=3a时，()f x取的最小值，最小值为()3af=21334aa.若()3af0，即34a0，()f x在（0,1）无零点.若()3af=0，即34a ，则()f x在（0,1）有唯一零点；若()3af0，即334a ，由于1(0)4f，5(1)4fa，所以当

37、5344a 时，()f x在（0,1）有两个零点；当534a 时，()f x在（0,1）有一个零点.10 分 综上，当34a 或54a 时，()h x由一个零点；当34a 或54a 时，()h x有两个零-1-点；当5344a 时，()h x有三个零点.12 分【考点定位】利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想【名师点睛】本题主要考查函数的切线、利用导数研究函数的图像与性质、利用图像研究分段函数的零点，试题新颖.对函数的切线问题，主要在某一点的切线与过某一点点的切线不同，在某点的切线该点是切点，过某点的切线该点不一定是切点，对过某点的切线问题，设切点，利用导数求切

38、线，将已知点代入切线方程，解出切点坐标，即可求出切线方程.18.【2015 高考北京，理 18】已知函数 1ln1xf xx （）求曲线 yf x在点 00f，处的切线方程；（）求证：当0 1x，时，323xf xx；（）设实数k使得 33xf xk x对0 1x，恒成立，求k的最大值【答案】（）20 xy，（）证明见解析，（）k的最大值为 2.【解析】试题分析：利用导数的几何意义，求出函数在0 x处的函数值及导数值，再用直线方程的点斜式写出直线方程；第二步要证明不等式 323xf xx在0 1x，成立，可用作差法构造函数1()ln1xFxx32()3xx，利用导数研究函数F(x)在区间（0，

39、1）上的单调性，由于()0F x，()Fx在（0，1）上为增函数，则()(0)0FxF，问题得证；第三步与第二步方法类似，构造函数研究函数单调性，但需要对参数k作讨论，首先0,2k符合题意，其次当2k时，不满足题意舍去，得出k的最大值为2.-1-(0,1)x，3()2()3xfxx成立；（）使 33xf xk x成立，0 1x，等价于31()ln()013xxFxkxx，0 1x，；422222()(1)11kxkFxkxxx，当0,2k时，()0F x，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0FxF，符合题意；当2k时，令402()0,(0,1)kFxxk，x 0(0,)x 0 x 0(,1

40、)x()F x-0+()Fx 极小值 ()(0)FxF，显然不成立，-1-综上所述可知：k的最大值为 2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.【名师点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数性质问题，本题第一步为基础，第二、三步属于中等略偏难问题，首先利用导数的几何意义求出切线斜率和切点坐标，写出切线方程，其次用作差法构造函数，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，最后一步对参数k进行分类讨论研究.19.【2015 高考广东，理 19】设1a，函数aexxfx)1()(2 (1)求)(xf的单调区间；(2)证明：)(xf在,上仅有一个零点；

41、(3)若曲线()yf x在点P处的切线与x轴平行，且在点(,)M m n处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：123eam【答案】（1）,；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）依题 2221110 xxxfxxexexe，f x在,上是单调增函数；（2）1a，010fa 且 22110af aaeaaa，f x在0,a上有零点，又由（1）知 f x在,上是单调增函数，f x在,上仅有一个零点；（3）由（1）知令 0fx 得1x ，又 21fae，即21,Pae，2021 0OPaekae，又 21mfmme，-1-【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式，导数的几何意义等知识【名

42、师点睛】本题主要考查导数与函数单调性、零点、不等式恒成立，导数的几何意义等基础知识，属于中高档题，解答此题关键在于第（1）问要准确求出 f x的导数，第（2）问首先要说明0,a内有零点再结合函数在,单调性就易证其结论，第（3）问由导数的几何意义易得221mmeae对比要证明的结论后要能认清1mem的放缩作用并利用导数证明1mem成立，则易证321mae【2015 高考湖南，理 21】.已知0a，函数()sin(0,)axf xex x，记nx为()f x的从小到大的第n*()nN个极值点，证明：（1）数列()nf x是等比数列（2）若211ae，则对一切*nN，|()|nnxf x恒成立.【答

43、案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）求导，可知()(sincos)axfxeaxx(sincos)axeaxx21sin()axaex，利-1-用三角函数的知识可求得)(xf的极值点为*()nxnnN，即可得证；（2）分析题意可知，问题等 价于2 1a naeaa n 恒成立，构造函数()teg tt，利用导数判断其单调性即可得证.试题解析：（1）()sincosaxaxfxaexex(sincos)axeaxx21sin()axaex 其中a1tan，20，令()0fx，由0 x 得mx，即 mx，m*N，对Nk，若)12(2kxk，即)12(2kxk，则()0fx，

44、若)22()12(kxk，即)22()12(kxk，则()0fx，因此，在区间),)1(mm与),(mm上，()fx的符号总相反，于是 当)(*Nmmx时，()f x取得极值，*()nxnnN，此时，1 sin()(1)sin()a na nnnxenef ，易知()0nf x，而 1121()(1)()(1 s n in)isanaxnnna nnfefxexe 是 非 零 常 数，故 数 列()nf x是 首 项 为1()f x sina ne，公比为axe的等比数列；（2）由（1）知，sin211a，于是对一切*nN，|()|nnxf x|恒成立，即211 a nane 恒成立，等价于2

45、 1a naeaa n（）恒成立（0a），设()(0)teg ttt，则2()1)tge ttt=，令()0g t，得1t，当10t时，()0g t，)(tg在区间)1,0(上单调递减；当1t时，()0g t，)(tg在区间)1,0(上单调递增，从而当1t时，函数)(tg取得最小值eg)1(，因此，要是（）式恒成立，只需2()11gaea，即只需211ae，而当211ae时，311tan2ea，-1-且02，于是 2213e，且当2n时，22132en，因此对一切*nN，211nnaxe，()ng ax21(1)agea，故（）式亦恒成立.综上所述，若a 211e，则对一切*nN，()|nnxxf恒成立.【考点定位】1.三角函数的性质；2.导数的运用；3.恒成立问题.【名师点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.