高中数学函数知识点完整总结(总结收藏版).pdf

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1、高中数学函数知识点总结 1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。CBAxyyxCxyyBxyxA、，如：集合lg|),(lg|lg|中元素各表示什么 A 表示函数 y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合，Ax xxBx ax|22301 若，则实数 的值构成的集合为BAa （答：，）1013 显然，这里很容易解出 A=-1,3.而 B 最多只有一个元素。故 B 只能是-1

2、或者 3。根据条件，可以得到 a=-1,a=1/3.但是，这里千万小心，还有一个 B 为空集的情况，也就是 a=0,不要把它搞忘记了。3.注意下列性质：（）集合，的所有子集的个数是；1212aaann 要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则对于元素 a1来说，有 2 种选择（在或者不在）。同样，对于元素 a2,a3,an,都有 2 种选择，所以，总共有2n种选择，即集合 A 有2n个子集。当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n，非空真子集个数为22n（）若，；2ABABAABB （3）德摩根定律：CCCCCCUUUUUUAB

3、ABABAB，有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4.你会用补集思想解决问题吗（排除法、间接法）如：已知关于 的不等式的解集为，若且，求实数xaxxaMMMa50352 的取值范围。（，）335305555015392522MaaMaaa 注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想到 m，n 实际上就是方程 的 2 个根 5、熟悉命题的几种形式、()()().可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“

4、非”若为真，当且仅当、均为真pqpq 若为真，当且仅当、至少有一个为真pqpq 若为真，当且仅当 为假pp 命题的四种形式及其相互关系是什么 （互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）xxA|满足条件p，xxB|满足条件q，若 ；则p是q的充分非必要条件BA_；若 ；则p是q的必要非充分条件BA_；若 ；则p是q的充要条件BA_；若 ；则p是q的既非充分又非必要条件_；7.对映射的概念了解吗映射 f：AB，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射 （一对一，多对一，允许 B

5、 中有元素无原象。）注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 nm个。如：若4,3,2,1A，,cbaB；问：A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；A到B的函数有 个，若3,2,1A，则A到B的一一映射有 个。函数)(xy的图象与直线ax 交点的个数为 个。8.函数的三要素是什么如何比较两个函数是否相同 （定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)9.求函数的定义域有哪些常见类型 例：函数的定义域是yxxx432lg （答：，）022334 函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶

6、次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对 数 式 的 底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数xytan kkxRx,2,且 余切函数xycot kkxRx,且 反三角函数的定义域 函数 yarcsinx 的定义域是 1,1 ，值域是，函数 yarccosx 的定义域是 1,1，值域是 0,，函数 yarctgx 的定义域是 R，值域是.，函数 yarcctgx 的定义域是 R，值域是(0,).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10.如何求复合函数的定义域 如：函数的定义域是，则函数

7、的定f xabbaF(xf xfx()()()0 义域是_。（答：，）aa 复合函数定义域的求法：已知)(xfy 的定义域为nm,，求)(xgfy 的定义域，可由nxgm)(解出 x 的范围，即为)(xgfy 的定义域。例 若函数)(xfy 的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为 。分析：由函数)(xfy 的定义域为2,21可知：221 x；所以)(log2xfy 中有2log212x。解：依题意知：2log212x 解之，得 42 x )(log2xf的定义域为42|xx 11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y=x1的值域

8、 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y=2x-2x+5，x-1，2的值域。3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂.112.22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb.y型,先化简，再用均值不等式xmxnx1 例：y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd.y型 xn 法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉xx1（x+1）（x+1）+1 1 例：y（x+1）1211x1x1x1 4、

9、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y=6543xx值域。5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y=11xxee，2sin11siny，2sin11cosy的值域。222110112 sin11|sin|1,1sin22 sin12 sin1(1cos)1cos2 sincos114sin()1,sin()41sin()114即又由知解不等式，求出，就是要求的答案xxxeyyeyeyyyyyyyyyxyxyyxyy 6、函数单调性

10、法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数 y=25xlog31x（2x10）的值域 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。例 求函数 y=x+1x的值域。8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点 P（）在圆 x2+y2=1 上，2,(2),2(,20,(1)的取值范围(2)y-2的取值范围 解:(1)令则是一条过(-2,0)

11、的直线.d为圆心到直线的距离,R为半径)(2)令y-2 即也是直线d d yxxykyk xxR dxbyxbR 例求函数 y=)2(2x+)8(2x的值域。解：原函数可化简得：y=x-2+x+8 上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点 P 在线段 AB 上时，y=x-2+x+8=AB=10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，y=x-2+x+8AB=10 故所求函数的值域为：10，+）例求函数 y=1362 xx+542 xx的值域 解：原函数可变形为：y=)20()3(22x+)10()2(22x 上式可看成 x 轴上的点 P

12、（x，0）到两定点 A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时，ymin=AB=)12()23(22=43，故所求函数的值域为 43，+）。注：求两距离之和时，要将函数 9、不等式法 利用基本不等式 a+b2ab，a+b+c3abc3（a，b，cR），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：33()13()32x(3-2x)(0 x1.5)xx+3-2x =xx(3-2x)(应用公式abc时，应注意使3者之和变成常数）abc 倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它

13、倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数 y=32xx的值域 2320121112202222012时，时，=00 xyxxxxyyxxxyy 多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗 切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失332(0)11113333222x =xx (应用公式a+b+c时，注意使者的乘积变成常

14、数）xxxxxxabc之交臂 如：，求fxexf xx1().令，则txt10 xt21 f tett()2121 f xexxx()21210 13.反函数存在的条件是什么 （一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗 （反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数的反函数f xxxxx()1002（答：）fxxxxx1110()在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：(2004.全国理)函数)1(11xxy的反函数是（B ）Ay=x22x+2(x1)By=x22x+2(x1)Cy=x22x (x=1.排除选项 C,D.现在看值域。原函数

15、至于为 y=1,则反函数定义域为 x=1,答案为 B.我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢 14.反函数的性质有哪些 反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的 x 对应原函数中的 y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的 x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线 y=x 对称 互为反函数的图象关于直线 yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设的定义域为，值域为，则yf(x)ACaAbCf(a)=bf1()ba ff afbaf fbf ab111()

16、()()()，由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04.上海春季高考）已知函数)24(log)(3xxf，则方程4)(1xf的解x_.15 .如何用定义证明函数的单调性 （取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得 x1,x2，找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系 可以变形为求1212()()f xf xxx的正负号或者12()()f xf x与 1 的关系(2)参照图象：若函数 f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数 f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）若函数 f(x)的图象关于直线 xa 对称

17、，则函数 f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：函数 f(x)与 f(x)c(c 是常数)是同向变化的 函数 f(x)与 cf(x)(c 是常数)，当 c0 时，它们是同向变化的；当 c0 时，它们是反向变化的。如果函数 f1(x)，f2(x)同向变化，则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数 f1(x)，f2(x)同向变化，则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数 f1(2)与 f2(x)同向变化，则函数 f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）函数 f(x)与1()f x在 f(

18、x)的同号区间里反向变化。若函数 u(x)，x，与函数 yF(u)，u()，()或 u(),()同向变化，则在，上复合函数 yF(x)是递增的；若函数 u(x),x，与函数 yF(u)，u()，()或 u()，()反向变化，则在，上复合函数 yF(x)是递减的。（同增异减）若函数 yf(x)是严格单调的，则其反函数 xf1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。如：求的单调区间yxxlog1222 （设，由则uxxux 2200 且，如图：log12211uux f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数 增 增 增 增 增 增 减 减/减 增 减/减 减 增

19、 减 减 u O 1 2 x 当，时，又，xuuy(log0112 当，时，又，xuuy)log1212）16.如何利用导数判断函数的单调性 在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abf xf x()()0 零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x()0 如：已知，函数在，上是单调增函数，则 的最大af xxaxa013()值是（）A.0 （令f xxaxaxa()333302 则或xaxa 33 由已知在，上为增函数，则，即f xaa()1313 a 的最大值为 3）17.函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么 （f(x)定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函

20、数图象关于原点对称fxf xf x()()()若总成立为偶函数函数图象关于 轴对称fxf xf xy()()()注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0 如：若为奇函数，则实数f xaaaxx()2221 （为奇函数，又，f xxRRf()()000 即，）aaa22210100 又如：为定义在，上的奇函数，当，时，f xxf xxx()()()()1101241 求在，上的解析式。f x()11 （令，则，xxfxxx 1001241()又为奇函数，f x

21、f xxxxx()()241214 又，）ffxxxxxxxx()()()0024110024101 判断函数奇偶性的方法 一、定义域法 一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.二、奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x)=0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数 f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)三、复合函数奇偶性 18.你熟悉周期函数的定义吗 （若存在实数（），在

22、定义域内总有，则为周期TTf xTf xf x0()()函数，T 是一个周期。）f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 偶 非奇非偶 奇 偶 奇 偶 非奇非偶 奇 偶 偶 偶 偶 偶 如：若，则f xaf x ()（答：是周期函数，为的一个周期）f xTaf x()()2 我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你 f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期 2t.推导：()()0()(2)()(2)0fxfxtfxfxtfxtfxt，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+

23、x).其实这都是说同样一个意思：函数 f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线 x=a 对称。()()()()()()(2)(2)(2)()(2)2,222,()(22)()(22),()2|(,fxxaxbfaxfaxfbxfbxfxfaxfaxfbxfxfbxtaxbxtbaftftbafxfxbafxbaa b又如：若图象有两条对称轴，即，令则即所以函数以为周期因不知道的大小关系为保守起见我加了一个绝对值 如：19.你掌握常用的图象变换了吗 f xfxy()()与的图

24、象关于轴 对称 联想点（x,y）,(-x,y)f xf xx()()与的图象关于轴 对称 联想点（x,y）,(x,-y)f xfx()()与的图象关于 原点 对称 联想点（x,y）,(-x,-y)f xfxyx()()与的图象关于 直线对称1 联想点（x,y）,(y,x)f xfaxxa()()与的图象关于 直线对称2 联想点（x,y）,(2a-x,y)f xfaxa()()()与的图象关于 点，对称20 联想点（x,y）,(2a-x,0)将图象左移个单位右移个单位yf xa aa ayf xayf xa()()()()()00 上移个单位下移个单位b bb byf xabyf xab()()

25、()()00（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数 y-b=f(x+a)怎么由 y=f(x)得到，可以直接令 y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）注意如下“翻折”变换：()|()|x()(|)yfxfxfxfx把轴下方的图像翻到上面把轴右方的图像翻到上面 如：f xx()log21 作出及的图象yxyxloglog2211 y y=log2x O 1 x 19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗 (k0)y=b O(a,b)O x x=a （）一次函数：10

26、ykxb k(k 为斜率，b 为直线与 y 轴的交点)（）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxakO ab()的双曲线。（）二次函数图象为抛物线30244222yaxbxc aa xbaacba 顶点坐标为，对称轴 baacbaxba24422 开口方向：，向上，函数ayacba0442min ayacba0442，向下，max 1212122,|bxabcxxxxxxaaa 根的关系：2212121212()()()()(mn()()()(,2()()()(,)(,)fxaxbxcfxa xmnfxa xxxxxxfxa xxxxhxhxh二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（

27、，）为顶点是方程的个根）函数经过点（应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程 axbxcxxyaxbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与 轴 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()求闭区间m，n上的最值。2max(),min()2max(),min()2224min,maxmax(),()4m,n 0bnffmffnabmffnffmabnmacbafffmfnaa 区间在对称轴左边（）区间在对称轴右边（）区间在对称轴边 （）也可以比较和对称轴的关系，距离越远，值越大(只讨论的情况）求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方

28、程根的分布问题。如：二次方程的两根都大于axbxckbakf k20020()y (a0)O k x1 x2 x 一根大于，一根小于kkf k()0 0mn22()0()0mn()()0bmnaf mf nf m f n 在区间（，）内有 根在区间（，）内有1 根 （）指数函数：，401yaaax （）对数函数，501yx aaalog 由图象记性质！（注意底数的限定！）y y=ax(a1)(0a1)1 O 1 x (0a0 且 a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（yx）f（x）f（y）5.三角函数型的抽象函数 f（x）tgx-f（xy）)()(1)()(yfxfyfxf f（x）cotx

29、-f（xy）)()(1)()(yfxfyfxf 例 1 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f（xy）f（x）f（y），且当 x0 时，f(x)0，f(1)2 求 f(x)在区间2,1上的值域.分析：先证明函数 f（x）在 R 上是增函数（注意到 f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再根据区间求其值域.例 2 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f（xy）2f（x）f（y），且当 x0 时，f(x)2，f(3)5，求不等式 f（a22a2）0,xN；f（ab）f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同时成立若存在，求出 f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分

30、析：先猜出 f（x）2x；再用数学归纳法证明.例 6 设 f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足 f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求：（1）f（1）；（2）若 f（x）f（x8）2，求 x 的取值范围.分析：（1）利用 313；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例 7 设函数 y f（x）的反函数是 yg（x）.如果 f（ab）f（a）f（b），那么 g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由.分析：设 f（a）m，f（b）n，则 g（m）a，g（n）b，进而 mnf（a）f（b）f（ab）f g（m）g（n）.例 8 已知函数 f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个

31、条件：x1、x2是定义域中的数时，有 f（x1x2）)()(1)()(1221xfxfxfxf；f（a）1（a0，a 是定义域中的一个数）；当 0 x2a 时，f（x）0.试问：（1）f（x）的奇偶性如何说明理由；（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何说明理由.分析：（1）利用 f（x1x2）f（x1x2），判定 f（x）是奇函数；（3）先证明 f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻

32、求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例 9 已知函数 f（x）（x0）满足 f（xy）f（x）f（y），（1）求证：f（1）f（1）0；（2）求证：f（x）为偶函数；（3）若 f（x）在（0，）上是增函数，解不等式 f（x）f（x21）0.分析：函数模型为：f（x）loga|x|（a0）（1）先令 xy1，再令 xy 1；（2）令 y 1；（3）由 f（x）为偶函数，则 f（x）f（|x|）.例 10 已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足 f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当 x0 时，f（x）1，求证：（1）当 x0 时，0f（x）1；（2）f（x）在 xR 上是减函数.分

33、析：（1）先令 xy0 得 f（0）1，再令 yx；（3）受指数函数单调性的启发：由 f（xy）f（x）f（y）可得 f（xy）)()(yfxf，进而由 x1x2，有)()(21xfxff（x1x2）1.练习题：1.已知：f（xy）f（x）f（y）对任意实数x、y 都成立，则（）（A）f（0）0 （B）f（0）1 （C）f（0）0 或 1 （D）以上都不对 2.若对任意实数 x、y 总有 f（xy）f（x）f（y），则下列各式中错误的是（）（A）f（1）0 （B）f（x1）f（x）（C）f（yx）f（x）f（y）（D）f（xn）nf（x）（nN）3.已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足：

34、f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当 x0 时，f（x）1，则当 x0 时，f（x）的取值范围是（）（A）（1，）（B）（，1）（C）（0，1）（D）（1，）4.函数 f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的 x1、x2都有 f（x1x2）)()(1)()(2121xfxfxfxf，则 f（x）为（）（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 5.已知不恒为零的函数 f（x）对任意实数 x、y 满足 f（xy）f（xy）2f（x）f（y），则函数 f（x）是（）（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 参考答案：1A 2B 3 C 4A 5B 23.你记得弧度的定义吗能写出圆心角为，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗 （，）扇llRSRR12122(和三角形的面积公式很相似，可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)O R 1 弧度 R