曲线曲面积分.pdf

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1、一、学习目的与要求 1、加深理解两类曲线积分的概念与性质。2、熟练掌握两类曲线积分的计算法。3、熟悉并会应用格林公式及平面曲线积分与路径无关的条件。4、知道曲线积分的一些简单应用。5、加深理解两类曲面积分的概念与性质。6、掌握两类曲面积分的计算方法。7、掌握高斯公式，并会利用高斯公式计算曲面积分。8、了解斯托克斯公式及散度与旋度等概念。9、能用曲面积分来表达一些几何量与物理量（如质量、重心等）。二、学习重点 对坐标的曲线积分的计算与格林公式。对坐标的曲面积分的计算与高斯公式。三、内容提要 1、第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）（）定义 iiiiniLsfLimdszyxf),(),(10，其中

2、 L 为空间光滑或分段光滑的曲线弧，),(zyxf是 L上的有界函数，nsss,21是将 L 任意划分成的 n个小弧段，（iii,）是上任意一点。也表示其长度（inisni1max),2,1.（）可积性 若函数),(zyxf是 L 上的连续函数，则Ldszyxf),(存在。（）性质 设 L是有限长的分段光滑曲线，),(),(zyxgzyxf在 L上连续，A、B分别为 L 的起点和终点，则有（1）ABBAdszyxfdszyxf,),(),(即第一型曲线积分与曲线 L 的方向无关。（2）LLLdszyxgdszyxfdszyxgzyxf),(),(),(),(,为常数)（3）若 L 由两段弧 L

3、1和 L2构成，则dszyxfdszyxfdszyxfLLL21),(),(),(（4）存在（,）L，使dszyxfL),(=sf),(s 为曲线 L 的弧长)（IV）计算法则（1）设空间分段光滑曲线 L的参数方程为ttzztyytxx),(),(),(其中)(),(),(tztytx在,上有连续导数，则有：dttztytxtztytxfdszyxfL222)()()()(),(),(),(其中=dttztytx222)()()(为曲线L 弧长的微分。（2）关于平面曲线积分Ldsyxf),(的计算方法 10 若平面曲线 L的参数方程为ttyytxx),(),(,则 dttytxds22)()(

4、，Ldttytxtytxfdsyxf)()()(),(),(22 20 若平面曲线 L 的方程为)(xxyy，则dxxyds2)(1，Ldxxyxyxfdsyxf2)(1)(,),(30 若平面曲线 L 的方程为)(yyxx，则,1)(2dyyxds dyyxyyxfdsyxfL1)(),().(2 40 若平面曲线 L 由极坐标方程)(),(给出，则 sin)(,cos)(yx，drds22)()(，drrrrfdxyxfL22)()(sin)(,cos)(),(注：第一型曲线积分化为定积分时，定积分的下限一定不大于上限。（）应用（1）求曲线 L 的弧长Ldsss:（2）求曲线弧的质量与重心

5、：若),(zyx为光滑曲线 L 在点),(zyx处的线密度，则曲线 L的质量 M为：LdszyxM),(；设曲线 L 的重心坐标为),(zyx，则 LLLdszMzdsyMydsxMx.1,1,1 类似重积分，还可写出求曲线的转动惯量公式及曲线对质点的引力公式。2、第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）（）定义 设),(),(),(zyxRzyxQzyxP是定义在有向曲线 L上的函数，cos,cos,cos,RQPF为有向曲线 L在点（zyx,）处的单位切线矢量，若积分LdsF存在，称它为矢量函数（或函数组RQP,）沿曲线 L 的第二型曲线积分（或对坐标的曲线积分）。记dzdydxrdzyxr,，

6、则 dsdsdzdydxdzdydxrd222)()()(,，RdzQdyPdxrdFdsF 于是LdsF又可记作LrdF或LRdzQdyPdx（）可积性 若RQPF,，RQP,在光滑曲线 L上连续，则LrdF存在。（）性质（1）ABBArdFrdF,即第二型曲线积分与曲线的方向有关。（2）LLLrdGrdFrdGF,(,)(为常数）（3）若有向曲线 L 平行于xoy面，则LRdz0 若有向曲线 L平行于yoz面，则LPdx0 若有向曲线 L平行于zox面，则LQdy0 若有向曲线 L是平行于 x轴的直线段，则0LLRdzQdy，其余类推。（IV）计算法则（1）设空间分段光滑有向曲线 L 的参

7、数方程为Ltzztyytxx，)(),(),(的起点对应t，终点对应t，则 dttztztytxRtytztytxQtztztytxPdzzyxRdyzyxQdxzyxPL)()(),(),()()(),(),()()(),(),(),(),(),(（2）关于平面第二型曲线积分dyyxQdxyxPL),(),(的计算方法 10 若平面有向光滑曲线 L的参数方程为Ltyytxx),(),(的起点对应t，终点对应t，则 dttytytxQtxtytxPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),(20 若平面有向曲线 L 由直角坐标系下的方程)(xyy 给出，L 的起点对应t，终点

8、对应t，则 dxxyxyxQxyxPdyyxQdxyxPL)()(,)(,),(),(（）应用 质点沿有向曲线 L 从起点运动到终点时变力 kzyxRjzyxQizyxPF),(),(),(所做的功 W为：LrdFW或 dzzyxRdyzyxQdxzyxPWL),(),(),(（VI）全微分式的积分 L是以 A为起点，B为终点的分段光滑曲线，函数RQP,在 L 上连续，若存在可微函数),(zyxu,使得RdzQdyPdxdu，则 BAAuBuABuRdzQdyPdx)()(平面曲线积分也有类似结论。（VII）格林（Green）公式 设平面闭区域 D的边界是分段光滑曲线 L，函数),(),(yx

9、QyxP在 D上有一阶连续偏导数，则有：DLdxdyyPxQQdyPdx,)(其中 L 是 D的取正向的边界曲线。（VIII）平面上曲线积分与路径无关的条件 设 D 是平面单连通域，函数),(),(yxQyxP在 D内有连续的一阶偏导数，则以下条件互相等价。（1）、对 D中任一分段光滑曲线 L，积分LQdyPdx与路径无关，只与 L 的起点和终点有关。（2）、沿 D中任一分段光滑闭曲线 L 有：LQdyPdx0（3）、在 D内每一点处有yPxQ（4）、在 D内存在),(yxu，使得QdyPdxdu，且),(),(00),(),(),(yxyxcdyyxQdxyxPyxu，这里的),(00yx为

10、 D 内任意一定点，c 为任意常数。（IX）两类曲线积分之间的联系 LLdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(其中cos,cos,cos为有向曲线 L在点),(zyx处的单位切线矢量。3、第一型曲面积分（对面积的曲面积分）（）定义 iniiiiSsfdSzyxf10),(lim),(，其中 S是空间分片光滑的曲面，),(zyxf是定义在 S 上的有界函数，,2s,ns是将 S 划分成的个小曲面,),(iii为小曲面上任意一点,也表示其面积),2,1(ni,ni1max的直径。（）可积性 若),(zyxf在光滑曲面 S上连续，则SdSzyxf),(存在。（）性质 与第一型曲线积分性质

11、相同。（）计算法则 (1)设曲面 S有方程),(yxzz，它在xoy面上投影区域为xyD，则 SdSzyxf),(=dxdyzzyxzyxfxyDyx221),(,（2）设曲面 S 有方程),(zxyy，它在xoz面上投影区域为 xzD，则 SdSzyxf),(=dxdzyyzzxyxfxzDzx221),(,（3）设曲面 S 有方程),(zyxx，它在yoz面上投影区域为yzD，则 SdSzyxf),(=dydzxxzyzyxfyzDzy221,),(（）应用（1）计算曲面面积：SdsS（2）计算曲面的质量：SdszyxM),(，其中),(zyx为曲面 S 在),(zyx 处的面密度。（3）

12、计算曲面的重心),(zyx:SdszyxxMx),(1,SdszyxyMy),(1,SdszyxzMz),(1（4）计算曲面的转动惯量：SxdszyxzyI),()(22,SydszyxzxI),()(22,SzdszyxyxI),()(22,SdszyxzyxI),()(2220.（5）类似三重积分计算曲面对质点的引力。4、第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）（）定义 设),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR是定义在有向曲面上的函数，记,RQPF,cos,cos,cosn为有向曲面指定一侧在),(zyx处的单位法矢量。若 dsnF存在，则称它为矢量函数（或函数组RQP,）在有向曲面上的

13、第二型曲面积分。记dydzds cos,dzdxds cos,dxdyds cos,分别表示曲面在yoz面、zox面、xoy面上的有向投影，则可记 dsnF=dsRQP)coscoscos(=RdxdyQdzdxPdydz 因此，第二型曲面积分也称为对坐标的曲面积分。（）可积性 若),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在光滑有向曲面上连续，则 RdxdyQdzdxPdydz存在。（）性质 (1)若记（-）是相反的一侧的有向曲面，则 RdxdyQdzdxPdydz=RdxdyQdzdxPdydz(2)若有向曲面由和两部分组成，则 RdxdyQdzdxPdydz=1RdxdyQdzdxPd

14、ydz+2RdxdyQdzdxPdydz(3)dsnGF)(=dsnF+dsnG，其中,为常数。(4)当有向曲面垂直于xoy面时 0Rdxdy；当有向曲面垂直于yoz面时 0Pdydz；当有向曲面垂直于zox面时 0Qdzdx；当有向曲面平行于xoy面时Pdydz 0Qdzdx；当有向曲面平行于yoz面时Rdxdy 0Qdzdx；当有向曲面平行于zox面时Rdxdy 0Pdydz；（）计算法则（1）由RdxdyQdzdxPdydz=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,再将右式三个积分分别化为二重积分计算。设有向曲面由方程),(yxzz 给出，在xoy面上的投影区域为xyD，则有 dxdyzyx

15、R),(xyDdxdyyxzyxR),(,当左端有向曲面取上侧时，右端积分应取“+”号；当左端有向曲面取下侧时，右端积分应取“-”号；设有向曲面由方程),(zxyy 给出，在xoz面上的投影区域为xzD，则有 dzdxzyxQ),(zxDdzdxzzxyxQ),(,当左端有向曲面取右侧时，右端积分应取“+”号；当左端有向曲面取左侧时，右端积分应取“-”号；设有向曲面由方程),(zyxx 给出，在yoz面上的投影区域为yzD，则 dzdxzyxP),(yzDdydzzyzyxP,),(当左端有向曲面取前侧时，右端积分应取“+”号；当左端有向曲面取后侧时，右端积分应取“-”号；（2）由RdxdyQ

16、dzdxPdydz=dsRQP)coscoscos(=dsnF 可先求出有向曲面的单位法矢量，求出nF，再按第一型曲面积分的计算方法化为一个二重积分求之。（）两类曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydz=dsRQP)coscoscos(其中cos,cos,cos是有向曲面在点),(zyx处的单位法线矢量。（）高斯（Gauss）公式 设函数),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在空间有界闭区域上有一阶连续偏导数，是的分片光滑边界曲面外侧，则有 RdxdyQdzdxPdydz=dxdydzzRyQxP)(（）斯托克斯(Stokes)公式 设有向分段光滑闭曲线L是有向曲面的边界，且L的

17、方向与的法矢量符合右手法则，函数RQP,在（包括边界）上有连续偏导数，则 LRdzQdyPdx=dsRQPzyxcoscoscos=RQPzyxdxdydzdxdydz （）空间曲线积分与路径无关的条件 设是空间单连通域，函数RQP,在内有一阶连续偏导数，则下列四条件互相等价：（1）在内每点0RQPzyxkji（2）对内任一分段光滑曲线L，有LRdzQdyPdx与路径无关，只与L的起点和终点有关。（3）对内任何分段光滑闭曲线L，有LRdzQdyPdx=0（4）在内存在),(zyxu，使RdzQdyPdxdu，且),(),(000),(zyxzyxCRdzQdyPdxzyxu，其中),(000z

18、yx为内任意一定点,C为任意常数。*5、场论初步（）梯度、散度、旋度(1)数量场的梯度 设函数（数量场）u),(zyxu具有一阶连续偏导数，则称矢量 ukzujyuixugradu为数量场的梯度。称kzjyix 为 Hamiltion 算子（读作“nable”）。（2）矢量场的散度与旋度 设矢量场kzyxRjzyxQizyxPF),(),(),(的各分量有一阶连续偏导数，则称数量FzRyQxPFdiv为矢量场的散度。称矢量FrotFRQPzyxkji为矢量场的旋度。（）高斯（Gauss）公式、斯托克斯(Stokes)公式的矢量形式（1）高斯公式 dvFdivdsnF，其中的各分量在空间闭区域上

19、有一阶连续偏导数，是的边界曲面外侧。（2）斯托克斯公式 LdsnFrdF)(。其中有向曲线L是有向曲面的边界且L的方向与的法矢量方向符合右手法则，的分量在L上有一阶连续偏导数。（）几个重要的场（1）有势场：设,RQPF 为空间区域内的矢量场。若在内存在数量函数),(zyxu，使graduF，则称为有势场或梯度场，且称),(zyxu为矢量场的势函数。若矢量场的旋度为零，即0Frot，则称为无旋场。若在内曲线积分LrdF只与曲线L的起点和终点有关，而与路径无关，则称矢量场为保守场。定理：设是空间单连通域，,RQPF 的分量在内有一阶连续偏导数，则以下五个条件互相等价：10为无旋场；20为保守场；3

20、0LrdF0，其中L是内任意逐段光滑闭曲线；40为有势场，即存在势函数),(zyxu，使Fgradu；50RdzQdyPdxrdF是某函数的全微分，即存在原函数),(zyxu，使 RdzQdyPdxdu。其中 40、50的势函数（原函数）),(zyxu的表达式为),(),(000),(zyxzyxCRdzQdyPdxzyxu，其中),(000zyx是内任意取定的一点，C为任意常数。（2）管形场：若矢量场的散度恒为 0，即0Fdiv，则称矢量场为无源场或管形场。（3）调和场：若矢量场既是有势场又是管形场，即存在势函数),(zyxu使graduF 且0Fdiv，则称矢量场为调和场。定理：调和场的势

21、函数),(zyxu满足拉普拉斯（Laplace）方程0u，即0222222zuyuxu，其中222222zyx称为拉普拉斯算子。四、思考题 1、两类曲线积分间有什么关系？2、对坐标的曲线积分值与哪些因素有关？3、何谓曲线积分与路径无关？何谓曲线积分与积分路径的方向无关？它们各适用于什么情形？4、曲线积分与路径无关的条件是什么？表达式dyyxQdxyxP),(),(在 G内为某二元函),(yxu的全微分的充要条件又是什么？通过此题的思考应明确，若),(),(yxQyxP、在单连通域 G内具有一阶连续偏导数，则以下四个结论等价：（1）xQyP在 G内恒成立。（2）对 G内任一闭曲线 C，有cQdy

22、Pdx0（3）对 G内任一曲线 L积分LQdyPdx与路径无关，只与 L的起终点有关。（4）QdyPdx是某二元函数),(yxu全微分，即：QyuPxu,5、怎样利用曲线积分计算平面闭曲线所围成的面积？6、怎样利用曲线积分计算变力jyxQiyxPF),(),(沿着 AB 弧段所作的功？7、试识别下列符号各代表什么积分（1）badxxf)(（2）BAdsyxf),(（3）BAdxyxP),(（4）BAdyyxQdxyxP),(),(8、两类曲面积分的概念与计算法有何异同？9、有向曲面在坐标面上投影的符号是如何规定的？把对坐标的曲面积分化为二重积分时，如何根据曲面的侧正确选取计算公式中的符号？10

23、、判断下列计算是否正确（均为2222Rzyx的外侧）(1)(222zdxdyydzdxxdydzzyx=dvzRyQxP)(=dvzyx2224=43164RdvR(2)zdxdy=上zdxdy下zdxdy=dxdyyxRxyD222 dxdyyxRxyD222=0 11、能否利用高斯公式证明由光滑闭曲面所围成立体的体积 zdxdyydzdxxdydzV31 12、斯托克斯公式与格林公式有什么联系？五、典型例题分析 例 1 计算dseLyx22，其中 L为圆周,222ayx直线xy 及 x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。分析 此题为对弧长的曲线积分。对弧长的曲线积分常按下列步骤进行。（1

24、）写出积分弧段方程并确定积分变量及积分变量的变化范围。（2）计算出相应弧长元素（3）将曲线积分化为定积分。（4）算出结果。不过在计算中以上四个步骤不一定严格区分和明显写出。此题的积分弧段为分段光滑曲线，所以在作曲线积分时，要分段进行。解OBBAOAL 的方程为)0(0axy，.12dxdxydsx)40(,sin,cosayaxBA 的方程为，addyxds22 OB的方程为)20(,axxy，.212dxdxydsx 所以BAyxAOyxOByxLyxdsedsedsedse22222222=2)42(aea 小结 （1）对弧长的曲线积分可化为对某个变量的定积分，选择不同的积分变量其计算结果

25、应相同。（2）弧长的曲线积分与积分弧段的方向无关，化为定积分时必须使上限大于下限。（3）此题计算沿段的曲线积分，化成定积分时只能选 x为积分变量化成对 x的 定积分，不能选 y为积分变量，因在上点的纵坐标 y 未变，只是点的横标 x在变。而计算沿BA的曲线积分时，也可以化成关于变量 x或者 y 的定积分，只是化成对参变量的定积分来得方便。同理，求沿段的曲线积分当然也可选取 y为积分变量。例 2 计算cxds，其中为对数螺线)0,0(akaerk在圆ar 内的部分。分析 这是对弧长的曲线积分。积分弧段是由极坐标方程给定的，而极坐标下的弧长元素drrds22，自然应选极角为积分变量，化成对的定积分

26、。但变化范围题目未明显给出，需要通过对题目条件的研究把的变化范围确定出来。因kaer(0,0ak)的定义域是一切实数，且其为单调函数，当0时，ar 所以当曲线在圆ar 内时)0,(解cdrrrxds022)()(cos）（=dekaaekk201cos=22202224112cos1kkkadekak 例 3 计算dsxc2其中 c为圆周2222azyx与0zyx所截。分析 此题的积分弧段为空间曲线。计算空间曲线的曲线积分，需要将空间曲线的一般方程化为参数方程，然后将曲线积分化成对参变量的定积分。而要将此空间曲线的一般方程化成参数方程却较难，怎么办呢？从积分弧段看，变量zyx,具有对称性，若能

27、设法使被积函数关于变量zyx,也具有对称性的话，问题就易解决了，积分曲线 c满足2222azyx，可联想到利用对称性将被积函数化为222zyx的形式。解 因曲线具有轮换对称性，即以 x 换 y，y 换 z，z换 x方程不变，或czyx),(则cxzy),(，cyxz),(。由第 I型曲线积分定义，积分cdsx2表示函数第 1 坐标的平方在 c 上的积分，在曲线c 上任取),(zyx作dsxLim20即为。又因对每个czyx),(，有cxzy),(，故又有dsyLimdsxc202，而且右端又为cdsx2，于是ccdsydsx22。同理ccdszdsx22，于是 ccadszyxdsx22222

28、31)(31，c的弧长为3232231aaa 注 我们还可算出 3232)(,0)(31adsyxdszyxzdsydsxdsccccc 说明 在利用对称性作题时千万注意，要被积函数及积分弧段对变量同时具有对称性时才能用，否则要出错误。例 4 计算下列三个小题（1）cdyx,（2）cydxxdy;（3）cydxxdy，其中 c是由曲线)20(,11xxy及 x轴所围成的正向三角形回路 分析 这是对坐标的曲线积分,计算对坐标的曲线积分,如同计算对弧长的曲线积分一样,关键仍在于把曲线积分化为定积分。但对坐标的曲线积分的弧段是有向曲线,因此在确定定积分的积分限时必须使积分下限对应于积分弧段的起点,上

29、限对应于积分弧段的终点。此时定积分的上限就不一定大于下限了。（1）解法 1 化成关于 x 的定积分 0,0:;,:;,2:dyyOAdxdyxyBOdxdyxyAB 所以:cABBOOAxdyxdyxdyxdy.10)(120120 xxdxdxx 解法 2 化成关于 y 的定积分 100110)2(ydydyyxdyxdyxdyxdycABOABO 解法 3 利用格林公式，此时xQP,0，cDdxdyxdyyPxQ11,1（2）解 由格林公式：cDDSdxdyydxxdy222（3）解 因1yPxQ在整个xoy面内恒成立，由曲线积分与路径无关的条件可知：cydxxdy0 说明 对坐标的曲线积

30、分常常应该考虑是否满足格林公式的条件和积分与路径无关的条件，以简化计算。例 5 求dzyxdyxzdxzy)()()(222222，其中为球面三角形2222azyx)0,0,0(zyx围线的正向。分析 这是空间对坐标的组合曲线积分，积分曲线是分段光滑的，分别是球面与三坐标面的交线。由被积表达式及积分路径的对称性，计算此线积分并不困难。解321LLL，)0,0(0:2221yxzayxL L),0),0(0:2222zyxazy)0,0(0:2223zxyazxL 由曲线积分的性质及对称性 原积分3123.322222222LLLLdyxdxydxxdzxdzydyzdyxdxy 而 L1的参数

31、方程为：20,0,sin,costztaytax 所以原积分=2033324)cos(sin3adttta 例 6 计算cxdyydx，其中积分路径 c 为)0(222yxyx，从原点经)1,1(A至)0,2(B 解法 1 选 t为积分变量，积分弧段的参数方程为：20,2sincos22ttytx 所以cdtttttxdyydx.0)2cos2cos2()2sin2(2sin02/2 解法 2 补充弧段，使积分路径封闭，利用格林公式，因,BOOBAOBAO 而DOABOdxdyyyxxxdyydx0)(，所以 00BAOBOxdydxyxdyydx 解法 3 因,0 xQyP所以积分与路径无关

32、 故：BAOOBxdxxdyydxxdyydx00020 其它还可选 x为积分变量，选 y 为积分变量等，而解法 3 最简便。例 7 计算曲线积分dyyedxyexLx)sin2()cos1(，其中 L 为从 0(0,0)到 A()沿xysin的一段弧。分析 此题直接计算较困难，若加一辅助曲线使积分弧段成为封闭曲线,从而可利用格林公式,当然所取辅助曲线应力求简便。就本题而言,AO在坐标轴上，沿AO作线积分最方便，所以选AO为辅助曲线最好。解),cos1(yePx),sin2(yeQxxeyPxQ2 所以 AOLAOLxxdyyedxye)sin2()cos1(=0sin00sin02xxxxd

33、xedyedx=1e 说明 在格林公式中曲线积分路径是取正向边界曲线的,而本题加段后是沿负向的，故二重积分号前应加一负号。例 8 计算dxyxydyyxxL2222其中 L 是由2)2(2xxy及所围成的区域 D的边界,L 的方向为顺时针。分析22yxyP,22yxxQ，当022 yx时，xQyP，但在 D内含有破坏函数QP,及xQyP,连续性条件的奇点 O（0，0），沿此闭曲线 L 的线积分并不为 0。那么，该如何计算呢？如果用直接计算法计算沿抛物线弧段的积分很困难，所以考虑利用格林公式来计算。以点 O（0，0）为中心作单位圆 C，C取逆时针方向。在以 L及 C 为边界的区域 D1内，格林公

34、式成立，故可用格林公式。解 单位圆 C的方程为20,sin,cosyx 所以 CL=L+C=10)(DdxdyyPxQ 故20222)cos(sindL 注 如在上述题中，被积函数改为224yxydxxdy，则作法类似。不过此时不能取单位圆 C（事实上此题也不必仅取单位元，而可任取一半径为 r 的圆：x=rcos,只要让其包围在曲线 L 内即可）。而应取椭圆)20(cos2,sin:ryrx使其含于 L内即可，于是，drrrL224220。读者可以借此举一反三。可看到此类题由于满足条件xQyP，)0,0(),(yx，我们将之转化为围绕圆点的一简单曲线积分，至于所围曲线为任一光滑或分段光滑曲线都

35、是一样的。小结（1）在使用线积分与路径无关的条件时，D为单连通域的条件不能忽视。（2）在使用格林公式时，要求QP,在 D内有连续的偏导数，否则不能使用，要使用需创造条件。例 9 计算cyxydxxdy22，其中 C为任一条不过圆点的简单闭曲线。解 由例 8，xQyP，)0,0(),(yx故 如 C不包围圆点，则022cyxydxxdy（格林公式或积分与路径无关）如 C包围圆点，则如例 8 作法有 cyxydxxdy22=2（其中当 C 沿逆时针方向时为正，沿顺时针方向时为负）例 10 设曲线积分cxdyydxyxF)(,(与积分路径无关，由方程0),(yxF所确定的隐函数的图形过点（1，2），

36、求方程0),(yxF。分析 由曲线积分与路径无关的条件，可得等式xFxyFy,根据此等式要来求方程 0),(yxF，即求方程所确定的一元隐函数)(xfy。而yFxF正是隐函数 y的导数xydxdy，解此方程，即可得所求。解),(),(),(),(yxxFyxQyxyFyxP,yFyFyP,xFxFxQ 由 xQyP得 xFxyFy 而 xyyFxFdxdy，解得 cxylnlnln 即 cxy 由条件21xy,得2c 故所求方程为02 xy 例 11 选取ba,使dyyxbyxdxyxyax2222为函数),(yxu的全微分，并求函数),(yxu 分析 若),(),(yxQyxP在单连通域 G

37、内具有一阶连续偏导数，表达式QdyPdx是某函数),(yxu的全微分的充要条件是xQyP。利用此条件，可确定ba,，此时，曲线积分与积分路径无关，可选取平行于坐标轴的折线段作为积分路径，从而求出),(yxu 解 由xQyP，得 a=1,b=0，此时，因22222)(2yxxyyxxQyP在xoy面内除点（0，0）外处处成立，故在xoy面内除点（0，0）外，积分与路径无关。因此，积分路径起点不能取在原点，路径也不能过原点。),()0,1(22)()(),(yxyxdyyxdxyxyxu=xydyyxyxdxx10221=cxyyxarctan)ln(2122 例 12 设有一平面力场jyxxyi

38、xyxyF)3sin21()cos2(2222，求一质点沿曲线 L从点（0，0）移动到点（2，1）所作的功，其中 L为抛物线22yx 分析 此题是求变力jyxQiyxPF),(),(沿有向曲线弧所作的功，利用公式W=LdyyxQdxyxP),(),(，即可求出。解 W=Ldyyxxydxxyxy)3sin21()cos2(2222 因为 xQxxyxyyPcos262，所以积分与路径无关。取为从（0，0）至（2，0）的直线段，为从（2，0）至（2，1）的直线段，则 W=LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx12 =0+21022241)4321(LdyyyQdyPdx 另外，此题选取由点（

39、0，0）到点（2，1）的直线段为积分路径也可以。例 13 计算dSyx)(22，其中为立体122zyx的表面。解由两部分和组成，是在1z上的圆122 yx，是圆锥体的侧面，与在xoy面上的投影区域xyD为122 yx。在上，dxdydSz,1;在 上，22yxz,dxdydS2，从而 dSyx)(22=dxdyyxxyD)()21(22=)21(2)21(10220rdrrd 例 14 计算dSzyx)(，其中为上半球面222yxRz。分析 积分曲面既关于yoz面对称，又关于xoz面对称，这时曲面积分xdS=ydS=0，所以原积分等于zdS 解 由对称性知，0)(dSyx 在xoy面的投影区域

40、xyD为222Ryx。在上，222yxRz，dS dxdyyxRR222,从而 dSzyx)(=zdS=dxdyyxRRyxRxyD222222=dxdyRxyD=3R 例 15 计算xdS，其中为圆柱面122 yx及平面2 xz,0z所围成的空间立体的表面。分析由三部分、组成，故应分片进行积分。解xdS=1xdS+2xdS+3xdS 是圆柱面122 yx上介于2 xz和0z二平面之间的部分，是平面2 xz被圆柱面所截的部分,是0z上的圆122 yx。和在xoy面上的投影区域为xyD：122 yx。在上，2 xz，dxdydS2，在上0z,dxdydS。从而 32xdSdxdyxxyD)21(

41、=0cos)21(10220drrd 对于在上的积分，有些同学往往不知如何投影，甚至误以为圆柱面122 yx在xoy面的投影为0，从而得出1xdS=0 的错误结果。其实，积分曲面在某个坐标面的投影仅为一曲线，而不构成一个区域时，并不能断定这个对面积的曲面积分为零。这时，应将曲面改投到其它坐标面上，并化为相应的二重积分来计算。在本题中，可将投影到xoz面，投影区域为梯形域（如图）：xyD -1 0 1 而且，曲面又由两部分和组成。在上，21xy；在上，21xy,均有dxdyxdS211，从而 1xdS=11xdS+12xdS=2dxdzxxxyD21=dzxxdxx 2021112 所以1xdS

42、=当然，亦可将投影到yoz面作计算，但这时计算稍繁。例 16 计算21)1(xydxdzdxdyz，其中为柱面222ayx上0 x及10 z 的部分，它的法线与轴正向交成锐角；为xoy平面上222ayx,0 x的 部分，其法线方向朝下。分析 此题为对坐标的曲面积分，可用两种方法计算。（1）直接计算。为柱面，在xoy面的投影为 0，xoz面，在该面上的投影亦为 0，故有10)1(dxdyz，02xydxdz，于是只需计算2)1(dxdyz和1xydxdz（2）利用高斯公式，需补加平面:0 x与:1z 解法 110)1(dxdyz，02xydxdz 在xoz面的投影域xzD：10,0zax，且由两

43、部分左1和右1组成:右1:22xay，取右侧；左1:22xay,取左侧。在xoy面的投影域xyD：22xa22xay,.0ax 故1xydxdz=右1xydxdz+左1xydxdz=xzDdxdzxax22xzDdxdzxax22=231022032adxdzxaxa，2)1(dxdyz=22adxdyxyD y 所以21)1(xydxdzdxdyz=2)232(aa 解法 2 补曲面:0 x,取后侧；:1z,取上侧。与、构成封闭曲面，并取外侧（图）1 0 Y a X 1,1,0 xzRyQxPzRxyQP,利用高斯公式得 原式=434321=xyDdxdydxdydzx20)1(=aDdxd

44、ydzrdrrdxy010222)1cos(=2)232(aa 小结 由本题的计算说明（1）添“底”、加“盖”是应用高斯公式计算曲面积分时常用的一种技巧。但另一方面，利用高斯公式并非一定简便，这要视题目的具体形式、补加曲面的多少及计算的难易程度。对本题直接计算并不复杂。（2）计算1xydxdz时应注意区分左右曲面本身的符号（左1:22xay;右1:22xay）与化为二重积分是由曲面的侧所决定的符号（左侧取“-”号，右侧取“+”号），决不可忽视二者而误得 1xydxdz=右1xydxdz+左1xydxdz=xzDdxdzxax22xzDdxdzxax22=0（3）与例 3 相比，求对坐标的曲面积

45、分时，积分曲面不可任意投影。若是对坐标yx,的曲面积分dxdyzyxf),(，只可将投影到xoy面上去，若投影为 0，则积分必为 0。例 17 计算dxdyzdzdxydydzx333，其中为球面2222azyx的外侧。分析 积分曲面为封闭曲面，利用高斯公式较为方便。另外，从被积表达式及积分曲面的形式可知，此积分具有轮换对称性，故亦可利用此性质简化计算。解法 1 原式=dvzyxazyx2222)(3222=drrrddasin3022020=5512a 解法 2 原式=dxdyz33=3(上dxdyz3+下dxdyz3)=)()(32322223222dxdyyxadxdyyxaxyxyDD

46、=rdrrada2302220)(6=5512a 小结 在利用高斯公式计算曲面积分时应注意：对曲面积分，被积函数中三个变量zyx,沿积分曲面而变，三者之间的关系受积分曲面的制约，符合曲面的方程。而一旦化为三重积分,被积函数)(3222zyx中zyx,的变化就成为相互独立的，它们之间并不完全符合积分曲面的方程，因此决不可把两种积分的计算法混为一谈，将2222azyx代入三重积分的被积函数中，得出下面错误的结果：原式=dvzyxazyx2222)(3222=5243adva 例18 计算Sdxdyrzdzdxrydydzrx333，其中222zyxr，S 为球面 2222azyx的外侧。分析 本题

47、可像例 17 利用轮换对称性简化计算，也可直接利用高斯公式。但若利用高斯公式之前，先利用积分曲面的方程将以替代，会使问题更为简捷。解Sdxdyrzdzdxrydydzrx333 Z=Szdxdyydzdxxdydza31=dva)111(13):(2222azyx=434333aa 例 19 计算xzdxdyxydzdxdydzx48)1(22，其中是曲线)0(ayexy绕轴旋转而成的旋转曲面的外侧。分析 直接计算不仅要分别投影，还要分片，极为不便。若补加平面：aex，并取右侧，即构成封闭曲面（见图），便可利用高斯公式，且0zRyQxP。又在xoy面和xoz面的投影为 0，故只需计算dydzx

48、)1(22就可以了。o x z 解 旋转曲面的方程为22zyex。补曲面:aex，取右侧，在yoz面的投影区域yzD为222azy。利用高斯公式，有 原式=11=100)1(202dydzxdv=yzDadydze)1(22=22)1(2aea 例 20 计算dxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxf),(),(2),(,其中 ),(zyxf为连续函数,为平面1zyx在第四象限部分的上侧。分析 被积函数中含有抽象函数，对本题来说，直接计算或利用高斯公式都是不可能的。但积分曲面为一平面，其法向量的余弦很容易写出：31cos,31cos,31cos 且cosPcosQcosR =),(

49、),(2),(31zzyxfyzyxfxzyxf =)(31zyx 其形式恰好符合的方程，故利用两类曲面积分的关系将原式化为对面积的曲面积分计算比较方便。解：yxz1，dxdydS3，取上侧，法向量1,1,1 n，法向量的方向余 弦31cos,31cos,31cos,在xoy面的投影区域xyD为三角形域,01yx 原式=dSzzyxfyzyxfxzyxfcos),(cos),(2cos),(=dSzyx)(3121xyDdxdy 小结 对被积函数中含有抽象函数的曲面积分，直接计算无法进行，除采用本题的解法外，有时可在求偏导中消去抽象形式，从而利用高斯公式求解。例 21 计算 dSnArot，其

50、中是上半球面229yxz的上侧,i yA2 jx3-kz2,是的单位法向量。解232zxyzyxkjiArot=1,0,0 cos,cos,cosn=221yxxzzz，221yxyzzz，2211yxzz 曲面在xoy面的投影区域xyD：922 yx y 所以原式=dS)coscos0cos0(=dSzzyx2211=xyDyxyxdxdyzzzz2222111 =9xyDdxdy 此题还可利用对坐标的曲面积分、高斯公式等方法计算。例 22 求向量ixyAjyz-kzx穿过球面1222zyx在第一象限的部分的流量。解法 1 直接计算。流量可表示为对坐标的曲面积分的组合形式，且可利用轮换对称性