初中奥林匹克数学竞赛辅导讲义及训练习题--坐标平面上的直线.pdf

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1、 1 初中奥林匹克数学竞赛辅导讲义-坐标平面上的直线 一般地，若bkxy(k、b是常数，0k)，则y叫做x的一次函数，它的图象是一条直线，函数解析式bkxy 式中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性(y随x的变化情况)。如图所示：一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系，任意一个一次函数bkxy都可看作是关于x、y的一个二元一次方程0bykx；任意一个关于x、y的二元一次方程0cbyax，可化为形如bcxbay(0b)的函数形式。坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组。【例题求解

2、】【例 1】如图，在直角坐标系中，直角梯形 OABC 的顶点 A(3，0)、B(2，7)，P 为线段 OC 上一点，若过 B、P 两点的直线为111bxky，过 A、P 两点的直线为222bxky，且 BPAP，则)(2121kkkk=。思路点拨 解题的关键是求出 P 点坐标，只需运用几何知识建立 OP 的等式即可。【例 2】设直线2)1(ynnx(n为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为nS(n1，2，2000)，则 S1+S2+S2000的值为()A1 B20001999 C20012000 D20022001 思路点拨 求出直线与x轴、y轴交点坐标，从一般形式入手，把nS用含n的代数式表

3、示。2 【例 3】某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为 Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为 Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2)求加油过程中，运输飞机的余油量 Q1(吨)与时间t(分钟)的函数关系式；(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需 10 小时到达目的地，油料是否够用?说明理由 思路点拨 对于(3)，解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量。注：（1）当自变量受限制时，一次函数图象可能是

4、射线、线段、折线或点，一次函数当自变量取值受限制时，存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了。（2）当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起，求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础。【例 4】如图，直线133xy与x轴、y 轴分别交于点 A、B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰直角ABC，BAC90，如果在第二象限内有一点 P(a，21)，且ABP 的面积与A ABC 的面积相等，求a的值 思路点拨 利用 SABPSABC建立含a的方程，解题的关键是把 SABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差。注：解函数图象与面积结合的问题，关键是把相关三角形用边

5、落在坐标轴的其他三角形面 积来表示，这样面积与坐标就建立了联系 3【例 5】在直角坐标系中，有以 A(一 1，一 1)，B(1，一 1)，C(1，1)，D(一 1，1)为顶点的正方形，设它在折线aaxy上侧部分的面积为 S，试求 S 关于的函数关系式，并画出它们的图象。思路点拨 先画出符合题意的图形，然后对不确定折线aaxy及其中的字母a的取值范围进行分类讨论，a的取值决定了正方形在折线上侧部分的图形的形状。注：我们把有自变量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号在内的一类函数称为绝对值函数去掉绝对值符号，把绝对值函数化为分段函数，这是解绝对值的一般思路。学历训练 1一次函数的自变量的取值范围是

6、-3x6，相应函数值的取值范围是-5y-2，则这个函数的解析式为 2已知acbabcbaccbak，且nnm6952，则关于自变量x的一次函数bkxy的图象一定经过第 象限 3一家小型放影厅的盈利额(元)与售票数x之间的关系如图所示，其中超过 150 人时，要缴纳公安消防保险费 50 元试根据关系图回答下列问题：(1)当售票数满足 0 x150 时，盈利额y(元)与之间的函数关系式是 。(2)当售票数满足 150 x200 时，盈利额y(元)与x之间的函数关系式是 。(3)当售票数为 时，不赔不赚；当售票数x满足 时，放影厅要赔本；若放影厅要获得最大利润 200 元，此时售票数x应为 (4)当

7、售票数x满足 时，此时利润比x150 时多 4 4如图，在平行四边形 ABCD 中，AC4，BD6，P 是 BD 上的任一点，过 P 作 EFAC，与平行四边形的两条边分别交于点 E，F，设 BP=x，EF=，则能反映y与x之间关系的图象是()5下列图象中，不可能是关于x的一次函数)3(ppxy的图象是()6小李以每千克 0.8 元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价 0.4 元，全部售完销售金额与卖瓜的千克数之间关系如图所示，那么小李赚了()A32 元 B36 元 C 38 元 D44 元 7某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成

8、人按规定剂量服用，那么服药后 2 小时时血液中含药量最高，达每毫升 6 微克(1 微克10-3毫克)，接着逐步衰减，10 小时时血液中含药量为每毫升 3 微克，每毫升血液中含药量(微克)随时间x(小时)的变化如图所示，当成人按规定剂量服用后。(1)分别求出x2 和x2 时y与x之间的函数关系式；(2)如果每毫升血液中含药量为 4 微克或 4 微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长?5 8如图，正方形 ABCD 的边长是 4，将此正方形置于平面直角坐标系xOy中，使 AB 在x轴的正半轴上，A 点的坐标是(1，0)(1)经过 C 点的直线3834xy与x轴交于点 E，求四边形 A

9、ECD 的面积；(2)若直线l经过点 E 且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l的方程，并在坐标系中画出直线l 9如图，已知点 A 与 B 的坐标分别为(4，0)，(0，2)(1)求直线 AB 的解析式。(2)过点 C(2，0)的直线(与x轴不重合)与AOB 的另一边相交于点 P，若截得的三角形与AOB 相似，求点 P 的坐标 10如图，直线62 xy与x轴、y 轴分别交于 P、Q 两点，把POQ 沿 PQ 翻折，点 O 落在 R 处，则点 R 的坐标是 11在直角坐标系xOy中，x轴上的动点 M（x，0）到定点 P(5，5)、Q(2，1)的距离分别为 MP 和 MQ，那么，当

10、MP+MQ 取最小值时，点 M 的横坐标为 。12如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为(15，6)，直线bxy31恰好将矩形 OABC分成面积相等的两部分，那么 b 。6 13如果条直线l经过不同的三点 A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直线l经过()象限。A二、四 B、三 C二、三、四 D一、三、四 14一个一次函数的图象与直线49545xy平行，与x轴、y轴的交点分别为 A、B，并且过点(一 l，25)，则在线段 AB(包括端点 A、B)上，横、纵坐标都是整数的的点有（）A4 个 B5 个 C 6 个 D7 个 15点 A(一 4，0)，B(2，

11、0)是坐标平面上两定点，C 是221xy的图象上的动点，则满足上述条件的直角ABC 可以画出()A 1 个 B 2 个 C3 个 D4 个 16有个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始 5 分钟内只进不出水，在随后的 15 分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如下图若 20分钟后只出水不进水，求这时(即x20)y 与x之间的函数关系式。17如图，AOB 为正三角形，点 B 坐标为(2，0)，过点 C(一 2，0)作直线交 AO 于 D，交 AB 于 E，且使ADE 和DCO 的面积相等，求直线l的函数解析式。18在直角坐标系中，有四个点

12、 A(一 8，3)，B(一 4，5)，C(0，n)，D(m，0)，当四边形 ABCD 的周长最短时，求nm的值 19转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污 7 染，该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关现经过试验得到下列数据：通过电流强度（单位 A）1 1.7 1.9 2.1 2.4 氧化铁回收率（%）75 79 88 87 78 如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁回收率。（1）将试验所得数据在右图所给的直角坐标系中用点表示（注：该图中坐标轴的交点代表点（1，70）；（2）用线段将题（1）所画的点从左到右顺次连接，若用此图象来模拟氧化铁回收率 y 关于通过电流x 的函数关系，试写出该函数在 1.7x2.4 时的表达式；（3）利用题（2）所得函数关系，求氧化铁回收率大于 85%时，该装置通过的电流应该控制的范围（精确到 0.1A）。20如图，直线 OC、BC 的函数关系式分别为xy 和62 xy，动点 P(x，0)在 OB 上移动(0 x3)，过点 P 作直线l与x轴垂直。(1)求点 C 的坐标；(2)设OBC 中位于直线l左侧部分的面积为 S，写出 S 与x之间的函数关系式；(3)在直角坐标系中画出(2)中的函数的图象；(4)当x为何值时，直线l平分OBC 的面积?8 参考答案 9