基本不等式及其应用.pdf

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1、基本不等式及其应用 1基本不等式abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0；(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号 2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)baab2(a，b同号)(3)abab22(a，bR)；(4)a2b22ab22(a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数：(1)设a0，b0，则a，b的算术平均数为ab2，几何平均数为ab.(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项 4利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则(1)若xys(和为定值)

2、，则当xy时，积xy取得最大值s24；(2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值 2p.选择题：设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77 C81 D82!解析 x0，y0，xy2xy，即xy(xy2)281，当且仅当xy9 时，(xy)max81 若正数x，y满足 4x29y23xy30，则xy的最大值是()C2 解析 由x0，y0，得 4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当 2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为 2 若 2x2y1，则xy的取值范围是()A0,2 B2,0 C2，)D(，2 解析 2 2xy2x2y

3、1，2xy14，即 2xy22，xy2 若实数x，y满足xy0，则xxy2yx2y的最大值为()！A2 2 B2 2 C42 2 D42 2 解析 xxy2yx2yxx2y2yxyxyx2yx24xy2y2x23xy2y21xyx23xy2y211xy32yx1132 242 2，当且仅当xy2yx，即x22y2时取等号 若函数 f xx1x2(x2)在xa处取最小值，则a等于()A1 2 B 1 3 C 3 D 4 解析 当x2 时，x20，f(x)(x2)1x222x21x224，当且仅当x21x2(x2)，即x3 时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3 已知x，y(0，)，2x

4、3(12)y，若1xmy(m0)的最小值为 3，则m等于()A2 B2 2 C3 D 4 解析 由 2x3(12)y得xy3，1xmy13(xy)(1xmy)13(1myxmxy)13(1m2m)，(当且仅当yxmxy时取等号)，13(1m2m)3，解得m4￥已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50 的圆心，则4b1c的最小值是()A9 B8 C4 D2 解析 圆x2y22y50 化成标准方程，得x2(y1)26，圆心为C(0,1)直线axbyc10 经过圆心C，a0b1c10，即bc1 4b1c(bc)(4b1c)4cbbc5 b，c0，4cbbc24cbbc4，当且仅当4c

5、bbc时等号成立 由此可得b2c，且bc1，即b23，c13时，4b1c取得最小值 9 已知各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得aman4a1，则1m4n的最小值为()解析 由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，】q2q20，解得q2 或q1(舍去)aman4a1，qmn216，2mn224，mn6 1m4n16(mn)(1m4n)16(5nm4mn)16(52nm4mn)32 当且仅当nm4mn时，等号成立，故1m4n的最小值等于32 在等差数列an中，an0，且a1a2a1030，则a5a6的最大值是()A3 B6

6、 C9 D36 解析 a1a2a1030，5(a1a10)30，即a1a10a5a66，a5a62a5a6，62a5a6，即a5a69，当且仅当a5a6时取等号，a5a6的最大值为 9 若实数a，b满足1a2bab，则ab的最小值为()B2 C2 2 D4#解析 依题意知a0，b0，则1a2b22ab2 2ab，当且仅当1a2b，即b2a时，“”成立 1a2bab，ab2 2ab，即ab2 2，ab的最小值为 2 2 已知a0，b0，a，b的等比中项是 1，且mb1a，na1b，则mn的最小值是()A3 B4 C5 D6 解析 由题意知：ab1，mb1a2b，na1b2a，mn2(ab)4ab

7、4 若a，b都是正数，则1ba14ab的最小值为()A7 B8 C9 D10 解析 a，b都是正数，1ba14ab5ba4ab52ba4ab9，当且仅当b2a0 时取等号 已知a0，b0，若不等式3a1bma3b恒成立，则m的最大值为()A9 B12 C18 D24 解析 由3a1bma3b，得m(a3b)(3a1b)9baab6 又9baab629612，m12，m的最大值为 12 已知a0，b0，ab1a1b，则1a2b的最小值为()A4 B2 2 C8 D16 解析 由a0，b0，ab1a1babab，得ab1，则1a2b21a2b2 2.当且仅当1a2b，即a22，b 2时等号成立 已

8、知a0，b0，ab2，则y1a4b的最小值是()B4 D5 0，b0，即a23，b43时取等号，即1a4b的最小值是92 若 log4(3a4b)log2ab，则ab的最小值是()A62 3 B72 3 C64 3 D74 3 解析 由题意得 ab0，ab0，3a4b0，a0，b0.又 log4(3a4b)log2ab，log4(3a4b)log4ab，3a4bab，故4a3b1.ab(ab)(4a3b)73ab4ba723ab4ba74 3，当且仅当3ab4ba时取等号 若正数a，b满足1a1b1，则1a19b1的最小值是()A1 B6 C9 D16 解析 正数a，b满足1a1b1，baa1

9、0，解得a1，同理可得b1，1a19b11a19aa111a19(a1)21a19a16，当且仅当1a19(a1)，即a43时等号成立，最小值为 6 设 f xlnx,0ab，若pf(ab)，qfab2，r12(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp Bqrp Cprq Dprq 解析 0ab，ab2ab，又f(x)lnx在(0，)上为增函数，故fab2f(ab)，即qp.又r12(f(a)f(b)12(lnalnb)12lna12lnbln(ab)12f(ab)p，故prq 已知函数 f xxpx1(p为常数，且p0)，若f(x)在(1，)上的最小值为 4，则实数p的值为()A

10、1 B 2#解析 由题意得x10，f(x)x1px112p1，当且仅当xp1 时取等号，f(x)在(1，)上的最小值为 4，2p14，解得p94 填空题：已知x，yR，且x4y1，则xy的最大值为_ 解析 1x4y2 4xy4xy，xy(14)2116，当且仅当x4y12，即 x12y18时，(xy)max116 已知实数m，n满足mn0，mn1，则1m1n的最大值为_ 解析 mn0，mn1，m0，n0，1m1n(mn)1m1n2nmmn22nmmn4，当且仅当mn12时，1m1n取得最大值 4 已知x54，则 f x4x214x5的最大值为 _ 解析 x0，则f(x)4x214x5(54x1

11、54x)3231.当且仅当 54x154x，即x1 时，等号成立故f(x)4x214x5的最大值为 1 函数yx22x1(x1)的最小值为_ 解析 yx22x1x22x12x23x1x122x13x1(x1)3x122 32 当且仅当(x1)3x1，即x 31 时，等号成立 函数yx1x3x1的最大值为_ 解析 令tx10，则xt21，ytt213ttt2t4 当t0，即x1 时，y0；当t0，即x1 时，y1t4t1，t4t2 44(当且仅当t2 时取等号)，y1t4t115，即y的最大值为15(当t2，即x5时y取得最大值)若正数x，y满足x3y5xy，则 3x4y的最小值是_ 解析 由x

12、3y5xy可得15y35x1，3x4y(3x4y)(15y35x)95453x5y12y5x1351255 已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_ 解析 由已知得x93y1y，x0，y0，yg(3)，g(x)min173，(x8x)383，a83，故a的取值范围是83，)已知x0，y0，且1x2y1，则xy的最小值是_ 解析 x0，y0，xy(xy)(1x2y)3yx2xy32 2(当且仅当y 2x时取等号)，当x 21，y2 2时，(xy)min32 2 函数y12x3x(x0)的最小值为_ 解析 x0，则12|a|a|b取最小值时，a的值为_ 解析 ab2，12|a|a|b24

13、|a|a|bab4|a|a|ba4|a|b4|a|a|ba4|a|2b4|a|a|ba4|a|1，当且仅当b4|a|a|b时等号成立 又ab2，b0，当b2a，a2 时，12|a|a|b取得最小值 若当x3 时，不等式ax2x3恒成立，则a的取值范围是_ 解析 设f(x)x2x3(x3)2x33，x3，所以x30，故f(x)2x32x332 23，当且仅当x 23 时等号成立，a的取值范围是(，2 23 若对于任意x0，xx23x1a恒成立，则a的取值范围是_ 解析 xx23x113x1x，x0，x1x2(当且仅当x1 时取等号)，则13x1x13215，即xx23x1的最大值为15，故a15

14、.解答题：已知x0，y0，且 2x5y20.(1)求ulgxlgy的最大值；(2)求1x1y的最小值 解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2 10 xy.2x5y20，2 10 xy20，xy10，当且仅当 2x5y时，等号成立因此有 2x5y20，2x5y，解得 x5，y2，此时xy有最大值 10.ulgxlgylg(xy)lg101，当x5，y2 时，ulgxlgy有最大值 1.(2)x0，y0，1x1y1x1y2x5y2012075yx2xy12072 5yx2xy72 1020，当且仅当5yx2xy时，等号成立由 2x5y20，5yx2xy，解得 x10 10203，y204

15、103.1x1y的最小值为72 1020 专项能力提升 设x，y均为正实数，且32x32y1，则xy的最小值为()A4 B4 3 C9 D16 解析 由32x32y1 得xy8xy，x，y均为正实数，xy8xy82xy(当且仅当xy时等号成立)，即xy2xy80，解得xy4，即xy16，xy的最小值为 16 设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当xyz取得最大值时，2x1y2z的最大值为()A0 B1 D3 解析 由已知得zx23xy4y2，(*)则xyzxyx23xy4y21xy4yx31，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，2x1y2z1y1y1y21y12

16、11 已知m0，a1a20，则使得m21m|aix2|(i1,2)恒成立的x的取值范围是()A0，2a1 B0，2a2 C0，4a1 D0，4a2 解析 m21mm1m2(当且仅当m1 时等号成立)，要使不等式恒成立，则 2|aix2|(i1,2)恒成立，即2aix22，0aix4，a1a20，0 x4a1，0 x4a2，即 0 x4a1，使不等式恒成立的x的取值范围是0，4a1 已知x，yR 且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_ 解析 2xy6(x24y2)，而 2xyx24y22，6(x24y2)x24y22，x24y24(当且仅当x2y时取等号)又(x2y)262xy0

17、，即 2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号)综上可知 4x24y212 设a0，b0，若 3是 3a与 3b的等比中项，则1a1b的最小值为_ 解析 由题意知 3a3b3，即 3ab3，ab1，a0，b0，1a1b1a1b(ab)2baab22baab4，当且仅当ab12时，等号成立 点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x1)2(y1)28 上，则ab的最大值为_ 解析 由题意知a0，b0，且(a1)2(b1)28，化简得a2b22(ab)6，则 62ab4ab(当且仅当ab时取等号)，令tab(t0)，则t22t30，解得 0t1，则 0ab1，ab的最大值为 1.正数a，b满足1a9b1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是_ 解析 a0，b0，1a9b1，ab(ab)1a9b10ba9ab102 916，由题意，得 16x24x18m，即x24x2m对任意实数x恒成立，而x24x2(x2)26，x24x2的最小值为6，6m，即m6.