平均值不等式().pdf

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1、1/3 平均值不等式(第二课时)【目标】1掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用；2利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”【重点】均值不等式的灵活应用【难点】利用不等式求最值的手法与技巧【教学过程】一复习：基本公式及定理：【定理 1】对于Rba,，都有abba222（当且仅当ab时等号成立）；【定理 2】对于,a bR，则2abab（当且仅当ab时等号成立）；【定理 3】对于任意的正数naaa,21)2(n 有naaan21nnaaa21（当且仅当naaa21时等号成立）；【备注】两个正数a与b的算术平均数不小于它的几何平均数。【几个重要的不等式】（1）ab22

2、ab222ab （等号仅当ab时成立）；（2）（1）的加强式：|222abba；（3）如果,a bR，则222ab2ab ab211ab（等号仅当ab时成立）3关于函数)0(kxkxy的性质 4最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积 有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最 小值 重视三个要素：“一正”“二定”“三相等”，三者缺一不可 二例题讲解【例 1】设cba,为ABC的三条边，求 cbacbcabacba的最小值 解：acba)(21acbbcaacbcba bcab)(21bcaabbbcacab cbac)(21cbaabccbabac cbacbcabacba 3)222(21

3、当且仅当cba时取等号。【变式训练】设zyx，Rn，且yx 1 zxnzy1恒成立，求n的最大值。解：yxzxnzyzx yxzyyx)()(zyzyyx)()(yxzy2zyyx 令yxzytzyyx，则2t 当且仅当zxy2时取等号。所以4n即n的最大值4。【例 2】已知yx,为正实数，且111yx，求yx2的最小值。正解：yx2)11)(2(yxyx 2/3 错解：因为111yx，所以112xy即4xy yx22422xy 错因：忽视等号成立的条件，第一个均值不等式等号条件yx，第二个均值不等式等号条件 yx2，要使两个等号成立则需0 yx，不合题意。yxxy23223。当且仅当yx2即

4、12 x时取等号。【点评】将问题转化为双钩函数求最值是利用均 值不等式解题的一种技巧。【变式训练 1】已知yx,为正实数，且yx82 0 xy，求yx 的最小值。【变式训练 2】在等号右侧两个分数的分母括 号处各填上一个自然数并使这两个自然数之 和最小：911 【变式训练 3】函数1)3(log4xy（0a)1a的图象恒过点 A，若点 A 是在直线01 nymx上，其中0mn，求nm21 的最小值（07 年山东）【变式训练 4】设Ryx,满足约束条件 0,002063yxyxyx若目标函数byaxZ（0,0ba）的值是最大值为 12，求 23ab的最小值。625（09 年山东）【变式训练 5】

5、实数yx,满足11122yx，求 222yx 最小值。【变式训练 6】已知RbRa,，且0ab，3422 ba，求2211ba的最小值。【例 3】若0 yx且1xy，则yxyx22的最小值。解：yxyx22yxyx2)(2 222yxyx 当且仅当2 yx即251x时取等号。【变式训练】已知,x y zR，230 xyz，求2yxz的最小值。（08 年江苏）解：由230 xyz得32xzy，代入2yxz得 229666344xzxzxzxzxzxz，当且仅当x3z 时取“”【例 4】已知0,0yx，822xyyx 求yx2的最小值。解：xyyx2282)22(2yxyx 设yxt2，则842t

6、t得：8t 【变式训练 1】设0,0yx，xyyx62 求xy的最小值。【变式训练 2】已知0,0yx，0a，不等式)(22yxaxyx恒成立，求a的最小值。解：yxxyxxu22)(2)2(yxyxx 3/3【例 5】求xxxxfcossincos)(23的最大值。解：xxxxfcossincos)(23xxxcoscos1cos23 设 1,1cost 则123ttty，01232/tty解得：1t或31t 2732 三小结 1.注意配凑技巧 2.利用均值不等式时的条件。作业：15P习题31 B 3 26P复习题一 A 6【补充练习】1已知点),(baA在直线023 yx上，求3273bau的最小值。2已知)1,0(x，求xx121的最小值 3（06年陕西）已知不等式1axyxy9对任意正实数,x y恒成立,求正实数a的最小值。4（06年重庆）若,0a b c 且42 3a abcbc,则2abc的最小值为（）A31 B31 C2 32 D 2 32 5设1x，则函数1)2)(5(xxxy的最小值是（）B A8 B9 C10 D11 6（05年重庆）若,x y是正数，求22)21()21(xyyx的最小值是（）A3 B27 C4 D29 7已知)2,0(x，求xx22cos2sin1的最小值