学而思高中数学3-均值不等式的应用.pdf

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1、;均值不等式的应用典例分析【例1】若x0，则yx，4的最小值是_x【例2】【例3】设abc0，则2a21110ac25c2的最小值是（）aba(ab)A2B4C2 5D5#【例4】若A,B,C为ABC的三个内角，则￥41的最小值为ABC）【例5】设a 0,b 0,a b ab 24，则（）Aa b有最大值8Ba b有最小值8Cab有最大值8Dab有最小值8【例6】已知：a、bR R（其中R R表示正实数），a2b2a2b22(a2 ab b2)a ba ab b2求证：ab11a b23(a b)23ab【例7】设a,b,c 0，求证：a3b3c33abc，当且仅当a b c时等号成立，a2b

2、2c2a bc33进一步证明：，当且仅当a b c时abc11133abc各等号成立、【例8】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小 时）与 汽 车 的 平 均 速 度v（千 米/小 时）之 间 的 函 数 关 系 为：920v(v 0)v23v 1600在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大最大车流量为多少（精确到0.1千辆/小时）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内y】）【例9】某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元问这种

3、汽车使用多少年报废最合算(最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间)-【例10】如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小【例11】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出设箱体长度为a米，高度为b米已知流出的水中，杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米，问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小

4、(A,B孔的面积忽略不计)A AB Bb ba a2 2。$【例12】设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为(1)，画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小如果,，那么为何值时，能使34宣传画所用纸张面积最小23【例13】某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x,y(单位：m)的矩形 上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8m2.问x,y分别为多少(精确到 时用料最省#&【例14】某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前

5、侧内墙保留3m宽的空地当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大最大种植面积是多少【例15】对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1污物质量为0.8，要求清洗完后的清洁度为0.99有两种）物体质量（含污物）方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1a3)设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是x0.8用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是(x a 1)，x1y ac，其中c(0.8 c 0.99)是该物体初次清洗后的清洁度y a分别求出方案甲以及c 0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较

6、少；若采用方案乙，当a 1.4时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小【例16】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为则他的满意度为m；如果他买进该产品的单价为n元，m aa如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为nah1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙；3求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mAmB时，求证：h甲=h乙；53设mAmB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大最大5的综合满意度为多少记中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、使得h甲h0mB的值，和h乙h0同时成立，但等号不同时成立试说明理由