初中数学面积法解析.pdf

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1、 第 1 页 共 9 页 F G E 图 2 A C B D 面积法 1、常见规则图形的面积公式；2、等积定理；3、面积比定理。A 卷 1、如图 1，凸四边形 ABCD 的四边 AB、BC、CD、DA 的长分别是 3、4、12、13，90ABC，则四边形 ABCD 的面积为 .答案：36 考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。分析：连接 AC，在ABCRt中，已知 AB、BC 根据勾股定理可以求得5AC，在ACD中，222ADCDAC，根据勾股定理的逆定理确定ACD为直角三角形，四边形 ABCD 的面积为ACD和ABCRt面积之和。解答：连接 AC，在ABCRt中，3AB，4BC，则 522BCA

2、BAC 又222ADCDAC ACD为直角三角形 ABCRt的面积为64321，ACDRt的面积为3012521 四边形 ABCD 的面积为ACD和ABCRt面积之和，36630S 故答案为 36 点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中判定ACD为直角三角形是解题的关键。2、如图 2，已知ABC中，D、E、F、G 均为 BC 边上的点，且CGBD，BDGFDE21，DEEF3，若1ABCS，则图中所有三角形的面积之和为 .答案：7 考点：三角形面积与底的正比关系。分析：如图所示的所有三角形都具有相等的高，于是可将计算所有三角形面积之和的问题转化为计算

3、BC 上所有线段长度之和的问题。解答：因为所有线段长之和是 BC 的 n 倍 图中所有三角形面积之和就是ABCS的 n 倍 设1GFDE，则2CGBD，3EF，9BC 图中共有1554321个三角形 则它们在线段 BC 上的底边之和为：图 1 A C B D 第 1 页 共 9 页 F E 图 3 A C B D E C F A B D EFFGDFEGDEDGGCBGFCBFECBEDCBDBC 6333559 由此可知 BC 上所有线段之和 63 是 BC=9 的 7 倍 图中所有三角形面积之和等于ABCS的 7 倍 已知1ABCS，故图中所有三角形的面积之和为 7 故答案为：7 点评：此

4、题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是图中所有三角形都具有相等的高，通过转化的思想，找出解决问题的捷径。3、如图 3，ABCD 的面积是 m，点 E、F 分别平分 AB、BC，则_DEFS.答案：m83 解答：不妨设ABCD 为长方形，如图，则有mBCAD，1CDAB mmmmmSSSSSDCFBEFADEABCDDEF83484四边形 4、如图 4，已知边长为 a 的正方形 ABCD，E 为 AD 的中点，P 为 CE 的中点，那么BPD的面积的值是 .答案：281a 考点：正方形的性质；三角形的面积；勾股定理。分析：观察图形可以发现BCPCDPBCDBPDSSSS，所以要

5、求BPD的面积分别计算BPDS、BCDS、CDPS、BCPS即可。解答：过 P 作CDPF，BCPG，则ADPF/，CGPF，CFPG 观察图形可以发现BCPCDPBCDBPDSSSS 22121aCDBCSBCD 28121aPFCDSCDP 24121aPGBCSBCP 2281418121aaSBPD 点评：本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，考查了三角形面积的计算，本题中正确计算BPDS、BCDS、CDPS、BCPS是解题的关键。G F P E 图 4 A C B D 第 1 页 共 9 页 O 图 5 A C B D 5、如图5，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点

6、，如果5ABDS，6ABCS，10BCDS，那么_OBCS.答案：4 考点：三角形的面积。分析：先设出一个三角形的面积：AOB的面积是xs 1，再用代数式表示出图中其它三角形的面积，利用中间桥OCOA得出方程，进一步求出结果。解答：设AOB的面积是xs 1，则ADO的面积是xs 52，BOC的面积是xs 63，DOC的面积是xxs46104 ABO的边 OA 上和BOC的边上的高相等 OCOAss31，同理OCOAss42 4231ssss 即xxxx456，解得：2x 426OBCS 点评：解此题的关键是灵活运用三角形的面积公式，等高时面积比等于边之比，从而转化成解方程，求出未知数的值。6、

7、（第 5 届“希望杯”邀请赛题）在ABC的三边 AB、BC、CA 上，分别取 AD、BE、CF，使ABAD41，BCBE41，ACCF41，则DEF的面积是ABC的面积的（）A、41 B、83 C、85 D、167 答案：A 考点：三角形的面积。分析：连接 AE根据三角形的面积公式求得BDE和ABE的面积比，ABE和ABC的面积比，进而求得BDE和ABC的面积比，同理求得ECF、ADF和ABC的面积比，最后求解。解答：如图，连接 AE ABAD41，BCBE41 ABEBDESS43，ABCABESS41 ABCBDESS163 同理可得：ABCCEFSS163，ABCADFSS163 所以A

8、BCDEFSS167 F E C A B D 第 1 页 共 9 页 S2 图 6 A C B S1 S4 S3 甲 D A C B E 乙 D A C B E G F 丙 D A C B E G F 丁 D A C B E G F 戊 D A C B E 点评：此题考查了根据三角形的面积公式求三角形的面积比的方法。7、（2004 年第 15 届“希望杯”初二年级竞赛题）如图 6，在直角扇形 ABC 内，分别以 AB和 AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点 D，整个图形被分成 S1，S2，S3，S4四部分，则 S2和S4的大小关系是（）A、42SS B、42SS C、42SS D、无法确定

9、答案：B 考点：扇形面积的计算。分析：设aACAB2，由42SSSSSACABACB半圆半圆扇形S2=S，根据扇形和圆的面积公式分别计算出它们的面积就可得到2S和4S的大小关系。解答：设aACAB2，根据题意得：42SSSSSACABACB半圆半圆扇形 4422212360290SSaa 故42SS 故选 B 点评：本题考查了扇形的面积公式：3602RnS，其中 n 为扇形的圆心角的度数，R 为圆的半径），或RS21，为扇形的弧长，R 为半径。8、在矩形 ABCD 中，2AB，1BC，则矩形的内接三角形的面积总比数（）小或相等。A、74 B、1 C、82 D、81 答案：B 解答：需分类讨论，

10、如图，显然图（甲）及图（乙）中内接三角形面积为 1，如图（丙）、（丁）、（戊）中EFG的面积显然小于 1，综上所述，故选 B.第 1 页 共 9 页 B 卷 9、（第 11 届“希望杯”邀请赛）在正方形 ABCD 中，3AB，点 E、F 分别在 BC、CD上，且30BAE，15DAF，则AEF的面积为 .答案：33 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。分析：将ADF绕 A 点顺时针方向旋转 90到ABG的位置，得到ABG，得AEFAEG，要求AEF的面积求AEG即可，且 AB 为底边上的高，EG 为底边。解答：将ADF绕 A 点顺时针方向旋转 90到ABG的位置 AFAG，

11、15FADGAB，453015GAE，45153090EAF FAEGAE 又AEAE AEGAEF EGEF，60AEGAEF 在ABERt中，3AB，30BAE 60AEB，130tan ABBE 在EFCRt中，606060180FEC，13 BEBCEC，132EF 132EG，3321ABEGSAEG 33 AEGAEFSS 点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了正方形各边各内角均相等的性质，解本题的关键是巧妙地构建ABG，并且求证AEGAEF 10、（2005 年第 16 届“希望杯”初二年级竞赛题）已知ABC三条高的比是5:4:3，且三条边的长均为整数，则ABC的一条边长可能是

12、（）A、10 B、12 C、14 D、16 答案：B 考点：约数与倍数；三角形的面积。专题：推理填空题。分析：根据题意，设三边为 X，Y，Z，运用三角形面积公式得到321212121ZaYaXa，据给出的已知条件得出三边之比，既而得出答案。解答：解：设三边为 X，Y，Z 三条对应的高为1a，2a，3a可得：321212121ZaYaXa G F C D E 图 11 A B 第 1 页 共 9 页 已知5:4:3:321aaa 可得12:15:20:ZYX 因为三边均为整数 又 4 个答案分别是 10，12，14，16 所以答案应该是 12 故选 B 点评：此题考查了学生对公倍数和三角形面积的

13、理解和掌握。关键是运用三角形面积公式得到321212121ZaYaXa，据给出的已知条件得出三边之比。11、（第 14 届“希望杯“邀请赛）如图 7，将ABC的三边 AB，BC，CA 分别延长至B，C，A，且使ABBB，BCCC2，ACAA3，若1ABCS，那么CBAS是（）A、15 B、16 C、17 D、18 答案：D 考点：三角形的面积。专题：计算题。分析：连接BC，利用ABBB，BCCC2，ACAA3若1ABCS，求得CBBS，同理可求得CCAS和ABAS，然后即可得出答案。解答：连接BC BBAB CBBS1ABCS 又BCCC2 22CBBCCBSS 3CBBS 同理可得8CCAS

14、，6ABAS 181683CBAS 故选 D 点评：此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BC，求得CBBS.12、（2005 年第 16 届“希望杯”初二年级竞赛题）如图 8，ABC中，5:3:ACBC，四边形 BDEC 和 ACFG 分均为正方形，已知ABC与正方形 BDEC 的面积比是5:3，那么CEF与整个图形的面积比等于 .答案：22427 考点：相似三角形的判定与性质。专题：计算题。分析：根据三角形面积计算公式即可求得ABC和CEF的面积相等，设3BC，则即可计算CEF的面积和整个图形的面积，即可求得CEF与整个图形的面积比，即可解题。C A B A 图 7

15、 C B 第 1 页 共 9 页 D G E F A 图 8 C B 解答：ABCSBCAACBCsin21，CEFSECFCFCEsin21，180ECFBCA ABC和CEF的面积相等 设3BC 则正方形 BDEC 的面积为 9，四边形 BDEC 的面积为 25 ABC的面积为527539 故整个图形的面积比为52245272925 CEF与整个图形的面积比22427 点评：本题考查了三角形面积的计算，锐角和其补角的正弦值相等的性质，正方形面积的计算，本题中求CEF和整个图形的面积是解题的关键。C 卷 13、（第 6 届“希望杯“邀请赛题）如图 9，ABC的面积为218cm，点 D、E、F

16、 分别位于AB、BC、CA 上，且cmAD4，cmDB5，如果ABE的面积和四边形 DBEF 的面积相等，则ABE的面积是（）A、28cm B、29cm C、210cm D、212cm 答案：C 考点：三角形的面积。专题：转化思想。分析：本题由题意可知ABE的面积和四边形 DBEF 的面积相等，可通过连接 DE，DC 的方法，证明出ACDE/，进而求出BDC的面积，然后即可求出答案。解答：连接 DE，DC DBEFABESS四边形 FDEADESS 两个三角形有公共底 DE，且面积相等 高相等 ACDE/从而可得：CDEADESSS BDCABESS 又cmAD4，cmDB5 21095cmS

17、SABCBDC 即210cmSABE 点评：本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之间的关系。14、（第 7 届“希望杯“邀请赛题）如图 10，直角AOB内有一点 P，aOP，30POA，F E D C A 图 9 B 第 1 页 共 9 页 P N M O A 图 10 B N P M O A 图 11 B 过点 P 作一直线 MN 与 OA、OB 分别交于 M、N，使MON的面积最小。（1）此时线段 MN 的位置是（）A、OPMN B、ONOM C、ONOM2 D、PNPM （2）此时MON的面积是 .（3）若AOB为一锐角，P 是锐角内一定点（

18、如图 11），过点 P 的直线与 OA、OB 交于 M、N，使MON的面积最小。应怎样画出 MN 的位置，并证明你的结论。解：（1）如图（甲），当PNPM 时，MON的面积最小，理由同第（3）小题。（2）由（1）可知，当PNPM 时，MON的面积最小 MON是直角三角形 MNOP21 aMN2 又30POM 30PMO aNO，aMO3 22321aMONOSMON（3）作法 1，如图（乙）过 P 点OAPC/交 OB 于 C；在 OB 上截取OCCN；连结 NP 并延长交 OA 于 M.则 MN 即为所求线段，此时 OMPC/，CNOC PNPM MON的面积最小 证明：若经过点 F 另有一条直线 EF 交 OA、OB 于 E、F，MN 作OANG/交 EF 于 G，可证明PGNPEM PNFPNGPEMSSS OFEPNFOEPNPEMOEPNMONSSSSSS四边形四边形 若FE过点G交 OA、OB 于E、F（如图丙），则作OBGM/交FE于G，同理可证 O P M N 甲 A B F G E C O P M N 乙 A B 丙 F E G O P M N A B 第 1 页 共 9 页 FEOMONSS MON是符合要求的面积最小的三角形。