数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析_1.pdf

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1、 1 1 曲线方程及圆锥曲线典型例题解析 一知识要点 1曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：步 骤 含 义 说 明 1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标。(1)所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2)没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件 P 的点 M的集合 P=M|P(M)这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换 用 坐 标 法 表 示 条 件P(M)，列 出 方 程f(x,y)=0 常常用到一些公式。

2、4、“化”：化简 化方程f(x,y)=0为最简形式。要注意同解变形。5、证明 证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。v1.0 可编辑可

3、修改 2 2 几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标 x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线 Cf(x，y)=

4、0 与直线 ly=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及

5、行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：实际问题 模型的解 数学模型方程 讨论方程的解 翻译回去 建立坐标系 转化成数学问题 v1.0 可编辑可修改 3 3（4）知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。二典例解析 题型 1：求轨迹方程 例 1（1）一动圆与圆22650 xyx外切，同时与圆226910 xyx内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线2219xy有动点P，1

6、2,F F是曲线的两个焦点，求12PF F的重心M的轨迹方程。解析：（1）（法一）设动圆圆心为(,)M x y，半径为R，设已知圆的圆心分别为1O、2O，将圆方程分别配方得：22(3)4xy，22(3)100 xy，当M与1O相切时，有1|2O MR 当M与2O相切时，有2|10O MR 将两式的两边分别相加，得21|12O MO M，即2222(3)(3)12xyxy 移项再两边分别平方得：222(3)12xyx 两边再平方得：22341080 xy，整理得2213627xy，所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627xy，轨迹是椭圆。（法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12xyxy，

7、由以上方程知，动圆圆心(,)M x y到点1(3,0)O 和2(3,0)O的距离和是常数12，所以x y 1O 2O P 4 4 点M的轨迹是焦点为1(3,0)O、2(3,0)O，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，26c，212a，3c，6a，236927b，圆心轨迹方程为2213627xy。（2）如图，设,P M点坐标各为11(,),(,)P x yM x y，在已知双曲线方程中3,1ab，9110c 已知双曲线两焦点为12(10,0),(10,0)FF，12PF F存在，10y 由三角形重心坐标公式有11(10)103003xxyy，即1133xxyy。10y，

8、0y。已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有22(3)(3)1(0)9xyy 即所求重心M的轨迹方程为：2291(0)xyy。点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。例 2（2001 上海，3）设P为双曲线42xy21 上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 。解析：（1）答案：x24y21 设P（x0，y0）M（x，y）2,200yyxx 2xx0，2yy0 442x4y21x24y21 5 5 点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。题型 2：圆锥曲线中最值和范围问题 例 3（1）设 AB 是过椭圆xayba

9、b222210()中心的弦，椭圆的左焦点为Fc10()，则 F1AB的面积最大为（）A.bc B.ab C.ac D.b2 （2）已知双曲线xaybab2222100()，的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，且|PFPF124，则此双曲线的离心率的最大值是（）A.43 B.53 C.2 D.72 （3）已知 A（3，2）、B（4，0），P 是椭圆xy222591上一点，则|PA|PB|的最大值为（）A.10 B.105 C.105 D.102 5 解析：（1）如图，由椭圆对称性知道 O 为 AB 的中点，则F1OB 的面积为F1AB 面积的一半。又|OFc1，F1OB 边

10、OF1上的高为yB，而yB的最大值是 b，所以F1OB 的面积最大值为12cb。所以F1AB 的面积最大值为 cb。点评：抓住F1AB 中|OFc1为定值，以及椭圆是中心对称图形。（2）解析：由双曲线的定义，得：|PFPFa122，6 6 又|PFPF124，所以322|PFa，从而|PFa223 由双曲线的第二定义可得|PFxacca22，所以xac532。又xaaca，即532，从而eca53。故选 B。点评：“点 P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系532aca成立的条件。利用这个结论得出关于 a、c 的不等式，从而得出 e 的取值范围。（3）解析：易知 A（3，2）

11、在椭圆内，B（4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为 F（4，0）。连 PB，PF。由椭圆的定义知：|PBPF 10，所以|(|)PBPFPAPBPAPFPAPF101010，所以。由平面几何知识，|PAPFAF，即(|)|minPAPBAF10，而|()()AF 3420522，所以(|)minPAPB105。点评：由PAF 成立的条件|PAPFAF，再延伸到特殊情形 P、A、F 共线，从而得出|PAPFAF这一关键结论。例 4（1）（06 全国 1 文，21）设 P 是椭圆22211xyaa短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求PQ的最大值。v1.0 可编辑可修改 7 7（2）（06

12、 上海文，21）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F,右顶点为(2,0)D,设点11,2A.求该椭圆的标准方程；若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；过原点O的直线交椭圆于点,B C，求ABC面积的最大值。（3）（06 山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为 l。()求椭圆的方程；()直线l过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点，当AOB 面积取得最大值时，求直线 l 的方程。解析：（1）依题意可设 P(0,1)，Q(x,y),则|PQ|=x2+(y1)

13、2，又因为 Q 在椭圆上，所以，x2=a2(1y2)，|PQ|2=a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2，=(1a2)(y11a2)211a2+1+a2。因为|y|1,a1,若 a 2,则|11a2|1,当 y=11a2时,|PQ|取最大值a2a21a21，若 1a 2,则当 y=1 时,|PQ|取最大值 2。（2）由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c=3,则半短轴 b=1，又椭圆的焦点在 x 轴上,椭圆的标准方程为1422 yx。设线段 PA 的中点为 M(x,y),点 P 的坐标是(x0,y0)，由 x=210 x 得 x0=2x1 8 8 y=2210y y0=2

14、y21 由,点 P 在椭圆上,得1)212(4)12(22yx，线段 PA 中点 M 的轨迹方程是1)41(4)21(22yx。当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此ABC 的面积 SABC=1。当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入1422 yx,解得 B(1422k,1422kk),C(1422k,1422kk)，则224114kkBC,又点 A 到直线 BC 的距离 d=2121kk，ABC 的面积 SABC=2411221kkdAB。于是 SABC=144114144222kkkkk。由1442kk1,得 SABC2,其中,当 k=21时,等号成立。S

15、ABC的最大值是2。（3）解：设椭圆方程为22221()xyabcab（）由已知得222224bcacabc222211abc所求椭圆方程为2212xy。（）解 法 一：由 题 意 知 直 线l的 斜 率 存 在，设 直 线l的 方 程 为11222,(,),(,)ykxA x yB xy 9 9 由22212ykxxy，消去y得关于x的方程：22(12)860kxkx，由直线l与椭圆相交于 A、B 两点，2206424(12)0kk，解得232k。又由韦达定理得122122812612kxxkxxk，222121212|1|1()4ABkxxkxxx x2221162412kkk。原点O到直

16、线l的距离221dk。2222116242 2 23|21212AOBkkSAB dkk.解法 1：对22162412kSk两边平方整理得：2422244(4)240S kSkS（*），0S，2222222216(4)4 4(24)0,402404SSSSSSS，整理得：212S。又0S，202S，从而AOBS的最大值为22S，此时代入方程（*）得 42428490kk，142k。所以，所求直线方程为：14240 xy。解法 2：令223(0)mkm，则2223km。10 10 22 22 22442mSmmm 当且仅当4mm即2m 时，max22S，此时142k 。所以，所求直线方程为142

17、40y 解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零。设直线l的方程为11222,(,),(,)ykxA x yB xy，则直线l与x轴的交点2(,0)Dk，由解法一知232k 且122122812612kxxkxxk，解法 1：121211 2|22|22AOBSODyykxkxk =12|xx 22212()4xxx x 22162412kk 222 2 2312kk.下同解法一.解法 2：AOBPOBPOASSS2112|2xx 21|xx222 2 2312kk。下同解法一。点评：文科 06 年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解

18、题的关键。题型 3：证明问题和对称问题 v1.0 可编辑可修改 11 11 例 5（1）（06 浙江理，19）如图，椭圆byax2221（ab0）与过点 A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率 e=23.()求椭圆方程；()设 F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段 AF1的中点，求证：ATM=AF1T。（2）（06 湖北理，20）设,A B分别为椭圆22221(,0)xya bab的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x 为它的右准线。（）、求椭圆的方程；（）、设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP分别与椭圆相交于异于,A B的

19、点MN、，证明点B在以MN为直径的圆内。（3）（06 上海理，20）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线2y2x相交于 A、B 两点。求证：“如果直线l过点 T（3，0），那么OAOB3”是真命题；写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由 解析：（1）（I）过点A、B的直线方程为1.2xy 因为由题意得12112222xybyax有惟一解，即222222221()04baxa xaa b有惟一解，所以2222(44)0a bab （0ab），故22440.ab 又因为 3,2e 即 2223,4aba所以 224.ab从而得 2212,2ab 12 12 故所求的椭圆

20、方程为2221.2xy（II）由（I）得 6,2c 故1266(,0),(,0),22FF从而6(1,0).4M 由12112222xyyx，解得121,xx所以 1(1,).2T 因为16tan1,2AFT又1tan,2TAM22tan,6TMF 得2126tan116ATM61,2因此1.ATMAFT 点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。（2）（）依题意得 a2c，ca24，解得a2，c1，从而 b3.故椭圆的方程为 13422yx.（）解法 1：由（）得 A（2，0），B（2，0）.设 M（x0，y0）.M 点在椭圆上，y

21、043（4x02）.1 又点 M 异于顶点 A、B，2x00，BMBP0，则MBP 为锐角，从而MBN 为钝角，故点 B 在以 MN 为直径的圆内。解法 2：由（）得 A（2，0），B（2，0）.设 M（x1，y1），N（x2，y2），则2x12，2x2b0),其 半 焦 距c=6,2222122112126 5aPFPF3 5a,b2=a2-c2=9。所以所求椭圆的标准方程为221459xy 点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6)。设所求双曲线的标准方程为221122111(0,0)xyaba

22、b。由题意知，半焦距 c1=6，22221122112124 5aP FP F。12 5a,b12=c12-a12=36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为2212016xy。点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。题型 4：知识交汇题 例 7（06 辽宁,20）已知点11(,)A x y,22(,)B xy12(0)x x 是抛物线22(0)ypx p上 17 17 的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足OAOBOAOB.设圆C的方程为 221212()()0 xyxxxyyy(I)证明线段AB是圆C的直径;(II)当圆 C 的圆心到

23、直线 X-2Y=0 的距离的最小值为2 55时，求 p 的值。解析：(I)证明 1:22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB 222222OAOA OBOBOAOA OBOB 整理得:0OA OB 12120 xxyy 设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB 即1212()()()()0 xxxxyyyy 整理得:221212()()0 xyxxxyyy 故线段AB是圆C的直径 证明 2:22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB 222222OAOA OBOBOAOA OBOB 整理得:0OA OB 12120 xxyy.(1)设(x,y)是以线段

24、AB 为直径的圆上则 即2112211(,)yyyyxx xxxxxx 去分母得:1212()()()()0 xxxxyyyy 点11122122(,),(,),(,)(,)x yx yxyxy满足上方程,展开并将(1)代入得:221212()()0 xyxxxyyy 故线段AB是圆C的直径 18 18 证明 3:22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB 222222OAOA OBOBOAOA OBOB 整理得:0OA OB 12120 xxyy(1)以线段 AB 为直径的圆的方程为 2222121212121()()()()224xxyyxyxxyy 展开并将(1)代入得:221212

25、()()0 xyxxxyyy 故线段AB是圆C的直径(II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 121222xxxyyy 2211222,2(0)ypx ypxp 22121224y yx xp 又因12120 xxyy 1212xxyy 22121224y yyyp 12120,0 xxyy 2124yyp 2222121212121211()(2)2444xxy yxyyyyy yppp 19 19 221(2)ypp 所以圆心的轨迹方程为222ypxp 设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则 22221|(2)2|2|22|555ypyxyypyppdp 22|(

26、)|5yppp 当 y=p 时,d 有最小值5p,由题设得2 555p 2p.解法 2:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 121222xxxyyy 2211222,2(0)ypx ypxp 22121224y yx xp 又因12120 xxyy 1212xxyy 22121224y yyyp 12120,0 xxyy 2124yyp 2222121212121211()(2)2444xxy yxyyyyy yppp 20 20 221(2)ypp 所以圆心的轨迹方程为222ypxp 设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为2 55,则 2m 因为 x-2y+2=0 与22

27、2ypxp无公共点,所以当 x-2y-2=0 与222ypxp仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为2 55 22220(2)2(3)xyypxp 将(2)代入(3)得222220ypypp 2244(22)0ppp 02.pp 解法 3:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 121222xxxyyy 圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则 1212|()|25xxyyd 2211222,2(0)ypx ypxp 22121224y yx xp v1.0 可编辑可修改 21 21 又因12120 xxyy 1212xxyy 22121224y yyyp 12120

28、,0 xxyy 2124yyp 2212122221212121|()()|24()8|454 5yyyyyyy yp yyppdp 2212(2)44 5yyppp 当122yyp时,d 有最小值5p,由题设得2 555p 2p.点评：本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。例 8（06 重庆文，22）如图，对每个正整数n，(,)nnnA xy是抛物线24xy上的点，过焦点F的直线nFA角抛物线于另一点(,)nnnB s t。（）试证：4(1)nnx sn；（）取2nnx，并记nC为抛物线上分别以nA与nB为切点

29、的两条切线的交点。试证：112221nnnFCFCFC；证明：（）对任意固定的1,n 因为焦点 F（0,1），所以可设直线nnA B的方程为1,nyk x 将它与抛物线方程24xy联立得:2440nxk x,22 22 由一元二次方程根与系数的关系得4(1)nnx sn （）对任意固定的1,n 利用导数知识易得抛物线24xy在nA处的切线的斜率,2nnAxk故24xy在nA处的切线的方程为：()2nnnxyyxx，类似地，可求得24xy在nB处的切线的方程为：()2nnnsytxs，由得：22222244nnnnnnnnxsxsxsytx，22,242nnnnnnxsxsxsxx 将代入并注意4nnx s 得交点nC的坐标为(,1)2nnxs 由两点间的距离公式得：2222()42244nnnnnxsxsFC 2224222(),422nnnnnnnxxxFCxxx 现在2nnx，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：12121221121111()2()21111(222)2()(21)(22)221.2222nnnnnnnnnFCFCFCxxxxxx 点评：该题是圆锥曲线与数列知识交汇的题目。