高中立体几何证明方法及例题.pdf

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1、1.空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。2.立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条

2、件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1.线线、线面、面面平行关系的转化：面面平行性质/a,a b/baa/bba,b a/a,b Aba b Aaa/,b/(a/b,b/c线线 a/c)

3、公理 4线面平行判定线面平行性质线面/面面平行判定 1面面面面平行性质面面平行性质 1/a ba/a/b/a/a/2.线线、线面、面面垂直关系的转化：a b Ola,lba,b la a面面三垂线定理、逆定理线线PA,AO为PO在内射影a 则aOA aPOaPO aAOl线面垂直判定 1线面垂直定义线面面面垂直判定面面垂直性质，推论 2a la b aa,ab a a面面垂直定义 l，且二面角 l 成直二面角3.平行与垂直关系的转化：a/baa baa/线线线面垂直判定 2线面垂直性质 2a线面面面平行判定 2面面平行性质 3面面 a/bb/aa4.应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定，由

4、已知想性质。”5.唯一性结论：1.三类角的定义：（1）异面直线所成的角：090（2）直线与平面所成的角：090（0时，b或b）（3）二面角：二面角的平面角，01802.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。（三）空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。【典型例题】（一）与角有关的问

5、题例 1.（1）如图，E、F 分别为三棱锥 PABC 的棱 AP、BC 的中点，PC10，AB6，EF7，则异面直线 AB与 PC所成的角为（）A.60B.45C.30解：解：取 AC 中点 G，连结 EG、FG，则D.12011EGPC，FGAB 2 2EGF为 AB 与 PC所成的角在EGF中，由余弦定理，EG2 FG2 EF252 32 721cosEGF 2EGFG2 5 32AB与 PC所成的角为 18012060选 A（2）已知正四棱锥以棱长为 1 的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（）A.1313B.36C.332D.

6、26262设正四棱锥的高为h，斜高为h解：解：1h 22112由题意：4 1h 12 6122 2h 622侧棱长PB h2OB26 2 2262cosPBO 选 AOBPB221313262（3）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为A1D1上的一个定点，Q为A1B1上的任意一点，E、F为CD上任意两点，且EF的长为定值，有下列命题：点 P 到平面 QEF的距离为定值；直线 PQ与平面 PEF所成的角为定值；二面角 PEFQ 的大小为定值；三棱锥 PQEF的体积为定值其中正确命题的序号是_。解：平面QEF即是平面A1B1CDA1D1上定点P到面A1B1CD的距离为定值对，错二面角P

7、EFQ，即面PDF与面A1B1CD所成的角，且平面角PDA1为定因为A1B1DC，且EF为定值，SQEF为定值值，对又P点到平面QEF的距离为定值，VPQEF为定值，对综上，正确。例 2.图是一个正方体的表面展开图，MN 和 PQ 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将 MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求 MN和 PQ 所成角的大小；（2）求四面体 MNPQ的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角 MNQP 的大小。解：（1）如图，作出 MN、PQPQNC，又MNC为正三角形MNC60PQ与 MN成角为 60（2）VMNPQ VQPMN1SMQ3PMN112SPMNMQ

8、SPMDNMQ661V正方体6即四面体 MNPQ的体积与正方体的体积之比为1：6（3）连结 MA交 PQ于 O点，则 MOPQ又 NP面 PAQM，NPMO，则 MO面 PNQ过 O 作 OENQ，连结 ME，则 MENQMEO为二面角 MNQP 的平面角在 RtNMQ中，MENQMNMQ设正方体的棱长为 aME 2aa62a，又MO a323aMOME2a3226a3在RtMEO中，sinMEO MEO60即二面角 MNQP 的大小为 60。例 3.如图，已知四棱锥PABCD，PBAD，侧面PAD为边长等于 2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面 PAD与底面 ABCD所成的二面角为 120

9、。（1）求点 P 到平面 ABCD的距离；（2）求面 APB与面 CPB所成二面角的大小。解：（1）作 PO平面 ABCD，垂足为 O，连结 OB、OA、OD，OB与 AD交于点 E，连结 PEADPB，ADOB（根据_）PAPD，OAOD于是 OB平分 AD，点 E为 AD中点PEADPEB 为面 PAD与面 ABCD所成二面角的平面角PEB120，PEO60又PE 3，PO PEsin60 3o3322即为 P 点到面 ABCD的距离。（2）由已知 ABCD为菱形，及PAD为边长为 2的正三角形PAAB2，又易证 PBBC故取 PB中点 G，PC中点 F则 AGPB，GFBC又 BCPB，

10、GFPBAGF为面 APB与面 CPB所成的平面角GFBCAD，AGFGAE连结 GE，易证 AE平面 POB又PE BE 3，G为PB中点PEG 1oPEB 602GE PEcos603 o1322在RtAGE中，AE tanGAE 1AD 12GE3AE2323232GAE arctanAGF arctan所以所求二面角的大小为 arctan（2）解法解法 2 2：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x轴平行于 DAP（0，0，33 3），B（0，0）223 33，），连结AG44PB的中点G的坐标为（0，又A（1，33 3，0），C（2，0）22333 33，），PB （0，），44

11、22由此得到 GA （1，BC （2，0，0）于是GAPB 0，BCPB 0GAPB，BCPBGA、BC的夹角为所求二面角的平面角GABC2 7于是 cos 7|GA|BC|所求二面角大小为 arccos2 77（二）与距离有关的问题例 4.（1）已知在ABC中，AB9，AC15，BAC120，它所在平面外一点P 到ABC三个顶点的距离都是 14，那么点 P 到平面 ABC的距离是（）A.13B.11C.9D.7解：解：设点 P 在ABC所在平面上的射影为 OABCORPAPBPC，O 为ABC的外心ABC中，AB9，AC15，BAC120BC 9 15 2915cos120 21由a 2R，

12、R sinA2132 2 7 322ooPO 14 7 322 7（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB BC 2，BB1 2，ABC90，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从 E到F两点的最短路径的长度为_。解：解：（采用展开图的方法）将平面B1BCC1沿B1B旋转使两矩形A1ABB1与B1BCC1在同一平面内连接EF，则EF为所求的最短路径3 2222如图，EF A1E A1F1 22如图展开，EF(2)212 3 1如图展开，EF 12222222227 2 223 22比较这三种方式展开，可见沿表面从E到F的最短路径长度为点评：点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应

13、展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。（3）在北纬 45圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经 140与西经 130，设地球半径为 R，则甲、乙两地的球面距离是（）32。2A.1R2B.1R4C.3R2D.解：解：由题意 AO1B 360o 140o130o 90o1R3（O1为小圆圆心）又由题意 O1A O1B 2R2则1AB中，AB RAOB为正三角形（O为球心）AOB 3R3A、B两点球面距离为选 D例 5.如图，四棱锥PABCD，底面ABCD是矩形，PA平面 ABCD，E、F分别是 AB、PD中点。（1）求证：AF平面

14、 PEC；（2）若AD2，CD 2 2，二面角PCDB为45，求点F到平面PECo距离。解：G为 PC中点，连结 FG、EG又F为 PD 中点11FGCD，又AECD 2 2FGAE四边形 AEGF为平行四边形AFEG，又EG 面PEC，AF 面PECAF平面 PEC（2）CDAD，又 PA面 ABCDAD为 PD在面 ABCD上射影CDPDPDA为二面角 PCDB 的平面角，且PDA45则PAD为等腰直角三角形AFPD，又 CD平面 PADCDAFAF面 PCD作 FHPC 于 H，则 AFFH又 EGAF，EGFHFH面 PEC，FH为 F到面 PEC 的距离在 RtPEG中，FHPGPF

15、FGFH 2 22222 1方法方法 2 2：（体积法）AF面 PEC，故只要求点 A 到面 PEC 的距离 d11由VAPEC VPAEC即SPECd SAECPA33易证 AF面 PCD，EG面 PCDEGPCSPEC11PCEG 22 2 2222 222 2 2SAEC11AE BC 2 2 222d SAECPA2 2 1SPEC2 2（三）对命题条件的探索例 6.（1）如图已知矩形ABCD中，AB3，BCa，若PA平面 ABCD，在BC边上取点 E，使 PEDE，则满足条件 E点有两个时，a 的取值范围是（）A.a 6C.0 a 6B.a 6D.0 a 6解：解：PA面 ABCD，

16、PEDE由三垂线定理的逆定理知PE的射影 AEBE所以满足条件的点 E是以 AD为直径的圆与 BC 的交点，要有两个交点，则AD2AB6选 A（2）如图，在三棱柱 ABCABC中，点 E、F、H、K 分别为 AC、CB、AB、BC的中点，G 为ABC 的重心，从 K、H、G、B中取一点作为 P，使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF平行，则 P 为（）A.KB.HC.GD.B分析：分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。而平面 PEF中，EF为定直线，连 BC则 F为 BC中点故ACB中，EFAB AB平面PEF，AB平面PEF考虑到若 P 为 K点，则还有 AA、BB、CC都平行于

17、FK即它们也都平行于平面PEF，不合题意。同理 P 也不能为 H 点，若P 为 B点时，EF与 BA共面也不符合题意（这时只有一条棱平行于平面 PEF），可见只能取 G点。故选 C例 7.如图，是棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1（1）线段A1B上是否存在一点P使得A1B平面PAC?若存在，确定P的位置；若不存在，说明理由。（2）点P在线段A1B上，若二面角CAPB的大小是 arctan2，求P点位B1Q（3）Q点在对角线B1D上，使A1B平面QAC，求。QD置；解：解：（1）（用反证法）假设BA1面PAC，则A1BACA1C1AC，易知A1B与A1C1成60即A1B与AC成60 角，

18、与A1BAC矛盾A1B不垂直于平面PAC不存在点 P 满足题目条件（2）过 B作 BHAP于 H，连 CHoo由于CB面ABB1A1，故CHAP即BHC是二面角 CAPB 的平面角tanBHC 即AB 2BHBC 2BH即在RtBHA中，BAH30BH1AB2在ABP中，PBAB，又AB 1sin30sin105PB 126 246 22（3）由于A1BD1C，A1B面D1AC点Q是直线B1D与面D1AC的交点下面求 Q 点的位置。设ACBD O，显然QODQD1B1B1QB1D1 2QDDO（四）对命题结论的探索例 8.（1）正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上

19、运动，并且总保持 APBD1，则动点 P 的轨迹是（）A.线段B1CB.线段BC1C.BB1中点与CC1中点连成的线段D.BC中点与B1C中点连成的线段分析：从条件 APBD1出发，可知 AP必在过 A点且与 BD1垂直的平面 B1AC上点 P 必在 B1C 上选 A（2）如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面 ABC上的射影 H必在（）A.直线 AB 上C.直线 CA上B.直线 BC上D.ABC内部解：解：连结 AC1ACAB，又 ACBC1AC面 ABC1又AC 面ABC，面ABC面ABC1且AB为交线则 C 在面 ABC上的射影必在交线 AB上选 A例

20、9.在四面体 ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD，且 ABBC1。（1）求证：平面 CBD平面 ABD；（2）是否存在这样的四面体，使二面角 CADB 的平面角为 30如果存在，求出CD 的长；如果不存在，请找出一个角，使得存在这样的四面体，使二面角CADB的平面角为。解：解：（1）ABBC，ABBDAB平面BCD，又AB 面ABD面 ABD面 CBD（2）设 CDx，在面 CBD内作 CEBD于 E由（1）知平面 ABD面 BCD，且 BD为交线CE平面 ABD作 EFAD于 F，连结 CF，则 CFADCFE为“二面角”CADB 的平面角，且CFE30又在 RtBCD中，CEBDCB

21、CDCE 1 xx21xx21又CDBC，又 BC为 AC在面 BCD上射影CDAC则在 RtACD中，CFADACCDCF 2xx 2xx 12xx 2222CE在RtCEF中，sinCFE CFx 22x 12212解出 x 3，无实数解。故不存在这样的四面体，使二面角CADB的平面角为 3022又sinCFE x 22 x2112121，12x 1 2 CFE，42故可以取 4590之间的任意角。点评：点评：本题是一道存在性的探索问题。常常假定结论成立，再判断它与已知条件是否符合。【模拟试题】【模拟试题】一.选择题。1.PA、PB、PC是从 P 引出的三条射线，两两成60，则PC与平面

22、PAB所成角的余弦值是（）1A.23B.23C.36D.32.在边长为 1 的菱形 ABCD中，ABC60，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD1，则二面角 BACD的余弦值为（）1A.31B.22 2C.33D.23.三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面上一点到三个侧面的距离分别是2，3，6，则这个点到三棱锥顶点的距离是（）A.11B.41C.7D.614.已知 A、B、C 是球面上的三点，且AB6，BC8，AC10，球 心 O到平面 ABC的距离为11，则球的表面积为（）A.36B.72C.144D.2885.ABC边上的高线为 AD，BD a，CD b，且a b，将ABC沿 AD折成大小为的

23、二面角 BADC，若cos ab，则三棱锥 ABCD的侧面ABC是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状与 a，b 的值有关的三角形6.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体的下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面积）超过39，则该塔中正方体的个数至少是（）A.4二.填空题。B.5C.6D.77.如图，在三棱锥PABC中，PA PB PC BC，且ABC所成角的大小为_。BAC 2，则PA与底面8.如图，矩形 ABCD中，AB 4，BC 3，沿 AC 把DAC折起，当四面体的体积最

24、大时，直线 AD与平面 ABG所成角的正弦值是_。9.如图，正方体ABCD A1B1C1D1棱长为 1，M、N 分别为B1C1、D1C1中点，则点C到截面 MNDB的距离是_。三.解答题。10.如图，正三角形ABC的边长为 3，过其中心G作 BC边的平行线，分别交AB、AC 于B1、C1，将AB1C1沿B1C1折起到A1B1C1的位置，使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段 BC 的中点 M，求：（1）二面角A1 B1C1 M的大小；（2）异面直线A1B1与CC1所成角的大小。（用反三角函数表示）11.如图，已知正方形ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直，AB是线段 EF的中点。（1

25、）求证：AM平面 BDE；（2）求二面角 ADFB的大小；（3）试在线段 AC上确定一点 P，使得 PF与 BC所成的角是 60。2，AF1，M【试题答案】【试题答案】一.选择题。1.C2.A3.C4.C5.C6.C提示：提示：假设有 n 个正方体构成，其表面积由二部分组成：（1）俯视图、表面只有一个正方形，其边长为2。（2）侧面则由 4n个正方形构成，且各层（从下往上看）正方形面积构成一个首项为4，1 的等比数列。2公比为2n1 1 1 1 4 4 44 4 4 4 39222表面积2 1n41 2 39 8 4112n的最小值为 6二.填空题。7.3BAC 提示：提示：由题意，P 点在面

26、ABC上的射影 H 是ABC外心，中点）2，H 为 BC48.529.3提示：提示：VCMDB11Sh SBCDC1C VMCDB，即3MBD3SBCD1h SMBD三.解答题。11112521 2 224222310.（1）连结 AM，A1GABC为正三角形，M为 BC边中点A、G、M 三点共线，AMBCB1C1BC，B1C1AM于G即A1GB1C1A1GM是二面角A1 B1C1 M的平面角点A1在平面BB1C1C上的射影为 MA1MMG，A1MG 90oRtA GMA GM 6011在中，由AG 2GM得o即二面角A1 B1C1 M的大小是 60（2）过B1作B1PC1C交 BC于 P，则

27、A1B1P为异面直线A1B1与CC1所成的角由PB1C1C是平行四边形得：B1P C1C 1 BP，PM BM BP A1M面BB1C1C于 M1，A1B1 AB1 22A1MBC，A1MP 90RtA1GM中，A1M A1Gsin60 32222oo在332225 3 1A1P A1M PM RtA1MP中，222在在A1B1P中，由余弦定理5A B B1P A1P25cosA1B1P 112A1B1B1P22182222 12异面直线A1B1与CC1所成的角为arccos5811.解：解：（1）记 AC与 BD交于点 O，连结 OEO、M分别是 AC、EF的中点，ACEF是矩形四边形 AO

28、EM是平行四边形AMOE，OE平面 BDE，AM 平面 BEDAM平面 BDE（2）ABAF，ABAD，ADAF AAB平面 ADF，作 ASDF于 S，连 BS由三垂线定理，得 BSDFBSA是二面角 ADFB 的平面角在 RtASB中，AS 6，AB 23o tan ASB 3，ASB 60二面角 ADFB的大小为 60（3）设CP t(0 t 2)，作 PQAB于 Q，则 PQADPQAB，PQAF，ABAF APQ面 ABFPQQF在 RtPQF中，FPQ60，PF2PQPAQ为等腰直角三角形PQ 2(2 t)2又PAF为直角三角形PF 2 t21222 t2(2 t)21 2t 1或

29、t 3（舍）即点 P 是 AC的中点【励志故事】【励志故事】机会的意义机会的意义一个人在海上遇难，漂流到了一个小岛上，他建了个小木房，还储存了一些食物在里面。每天他想尽办法寻找生机，一大早就要登上高处张望。可一个星期过去了，一只木船的影子也没看见。这天，他正在岸边张望，突然狂风大作，雷电轰鸣。一回头，他看见自己的木棚方向升起浓烟，他急忙跑回去，原来雷电点燃了他的木房，大火熊熊燃烧起来，他真希望能赶快下一场雨浇灭这场火，因为他所有的食物都在里面！可是，火渐渐地把棚子烧成了灰烬，天却渐渐地转晴了，一滴雨也没下。他绝望了，认为这是上帝的惩罚。他心灰意冷地到一棵树上结束了自己的生命。就在他停止呼吸后不久，一艘船开了过来，人们来到岛上，船长一看见灰烬和吊在树上的尸体就明白了一切，他说；“他没有想到失火后冒出的浓烟把我们的船引到这里，他只要再坚持一会儿就会获救的。”机会常常在最意想不到的时刻到来，对于我们来说，不仅要有创造机会的能力，还要有等待机会的勇气，就像在漫漫长夜等待黎明，太阳总是在最黑暗的时刻后升起。