解直角三角形(三角函数).pdf

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1、解直角三角形（三角函数）例 1.如图 1，海上有一灯塔 P，在它周围 6 海里内有暗礁 一艘海轮以 18 海里/时的速度由西向东方向航行，行至A 点 处测得灯塔 P 在它的北偏东 60的方向上，继续向东行驶20 分钟后，到达 B 处又测得灯塔 P 在它的北偏东 45方向上，如果海轮不改变 方向继续前进有没有触礁的危险?解：过 P 作 PCAB 于 C 点，根据题意，得 AB18 6，PAB906030，PBC904545，PCB90，PCBC 在 RtPAC 中，tan30 ，即 ，解得 PC 6，海轮不改变方向继续前进无触礁危险 例 2.如图，某高速公路建设中需要确定隧道 AB 的长度 已知

2、在离地面 1500m 高度 C 处的飞机上，测量人员测得 正前方 A、B 两点处的俯角分别为 60和 45求隧道 AB 的长(1.73)解：OA ，OB=OC=1500，AB=(m).答：隧道 AB 的长约为 635m.例 3.如图是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运.根据经验，木板与地面的夹角为 20（即图 2 中ACB=20）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离 AB=1.5m,木板超出车厢部分 AD=0.5m,请求出木板 CD 的长度 （参考数据：sin200.3420,cos200.9397,精确到 0.1m）.由题意

3、可知：ABBC 在 RtABC 中,sinACB=AC=4.39m CD=AC+AD=4.39+0.5=4.89 4.9m 答：木板的长度约为 4.9m.例 4.九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭 A 处到笔直的南岸的距离进行测量他们采取了以下方案：如图 7，站在湖心亭的 A 处测得南岸的一尊石雕 C 在其东南方向，再向正北方向前进 10 米到达 B 处，又测得石雕 C 在其南偏东 30方向你认为此方案 能够测得该公园的湖心亭 A 处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？解：此方案能够测得该公园的湖心亭 A 处到南岸的距离 过点 A 作南岸所在直

4、线的垂线，垂足是点 D，AD 的长即为所求 在 中，在 中，由题意得：，解得 答：该公园的湖心亭 A 处到南岸的距离约是 13.7 米 例 5.如图，一巡逻艇航行至海面 处时，得知其正北方向上 处一渔船发生故障已知港口 处在 处的北偏西 方向上，距 处 20 海里；处在 A 处的北偏东 方向上 求 之间的距离（结果精确到 0.1 海里）参考数据：解：过点 A 作 ，垂足为 D 在 中，3 分 在 中，（海里）答：之间的距离约为 21.6 海里 例 6.如图所示，A、B 两地之间有一条河，原来从 A 地到 B 地需要经过桥 DC，沿折线 ADCB 到达，现在新建了桥 EF，可直接沿直线 AB 从

5、 A 地到达 B 地已知BC=12km，A=45，B=37桥 DC 和 AB 平行，则现在从 A 地到达 B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到 0.1km参考数据：，sin370.60，cos370.80）解：过 C、D 分别作 CNAB,DMAB 垂足分别为 N，M 在 RtBCN 中，sin37=,CN=120.60=7.20 cos37=,BN=120.80=9.60(2 分)在 RtADM 中，A=45CN=DM=AM=7.20 Cos45=AD=1.417.20=10.15 (AD+DC+BC)-AB=(AD+DC+BC)-(AM+MN+MN)=(AD+BC)-(AM+BN)=(

6、10.15+12)-(7.20+9.60)=5.355.4 答：从 A 地到达 B 地可比原来少走 5.4 路程 例 7.如图，斜坡 AC 的坡度（坡比）为 1:，AC10 米坡顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连，AB14米试求旗杆 BC 的高度 解：延长 BC 交 AD 于 E 点，则 CEAD 在 RtAEC 中，AC10，由坡比为 1:可知：CAE30，CEACsin3010 5 AEACcos3010 在 RtABE 中，BE=11 BEBCCE，BCBECE11-56（米）答：旗杆的高度为 6 米 例 8.坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北

7、宋（公元 1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子.（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高.图 1 为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点 ，用测角仪测出看塔顶 的仰角 ，在 点和塔之间选择一点 ，测出看塔顶 的仰角 ，然后用皮尺量出 、两点的距离为 m,自身的高度为 m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（，结果保留整数）.（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影 的长为 m（如图 2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问

8、题：在你设计的测量方案中，选用的测量工具是:；要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？.解:（1）设 的延长线交 于 点，长为 ，则 .,.,解得 .太子灵踪塔 的高度为 (2)测角仪、皮尺；站在 P 点看塔顶的仰角、自身的高度.(注：答案不唯一)例 10 如图，台风中心位于点 P，并沿东北方向 PQ 移动，已知台风移 动的速度为 30 千米/时，受影响区域的半径为 200 千米，B 市位 于点 P 的北偏东 75方向上，距离点 P 320 千米处.(1)说明本次台风会影响 B 市；（2）求这次台风影响 B 市的时间.(1)作 BHPQ 于点 H,在 RtBHP 中,由条件知,PB=320,BP

9、Q=30,得 BH=320sin30=160 200,本次台风会影响 B市.(2)如图,若台风中心移动到 P1 时,台风开始影响 B 市,台风中心移动到P2 时,台风影响结束.由（1）得 BH=160,由条件得 BP1=BP2=200,所以 P1P2=2 =240,台风影响的时间 t=8(小时).例 9.如图，某天然气公司的主输气管道从 A 市的东偏北 30方向直线延伸，测绘员在 A 处测得要安装天然气的 M 小区在 A 市东偏北 60方向，测绘员沿主输气管道步行 2000 米到达 C 处，测得小区 M 位于 C 的北偏西 60方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点 N，使到该小区铺设的管道最短，并求 AN 的长.解：过 M 作 MNAC，此时 MN 最小，AN1500 米