数列练习题含答案以及基础知识点训练篇.pdf

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1、A、1概念与公式：等差数列：1.定义：若数列),(1nnnnadaaa则常数满足称等差数列；2.通项公式：;)()1(1dknadnaakn 3.前n项和公式：公式：.2)1(2)(11dnnnaaanSnn 等比数列：1.定义若数列qaaannn1满足（常数），则na称等比数列；2.通项公式：;11knknnqaqaa3.前 n 项和公式：),1(1)1(111qqqaqqaaSnnn当 q=1 时.1naSn 2简单性质：首尾项性质：设数列,:321nnaaaaa 1.若na是等差数列，则;23121nnnaaaaaa 2.若na是等比数列，则.23121nnnaaaaaa 中项及性质：1

2、.设a，A，b成等差数列，则A 称a、b的等差中项，且;2baA 2.设a,G,b成等比数列，则G 称a、b的等比中项，且.abG 设p、q、r、s为正整数，且,srqp 1.若na是等差数列，则;srqpaaaa2.若na是等比数列，则;srqpaaaa 顺次 n 项和性质：1.若na是公差为d的等差数列，nknnknnkkkkaaa121312,则组成公差为n2d 的等差数列；2.若na是公差为q的等比数列，nknnknnkkkkaaa121312,则组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=1，n为偶数时这个结论不成立）若na是等比数列，则顺次n项的乘积：nnnnnnnaaaaaaaaa3

3、221222121,组成公比这的等比数列.若na是公差为 d 的等差数列,1.若n为奇数，则,:(21nnaaaaSSnaS中中中偶奇中即指中项注且而 S 奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2.若n为偶数，则.2ndSS奇偶（二）学习要点：1学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意公差d0 的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;公差d0 的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;公比q1 的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，

4、但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或qa，a,aq)”四数成等差数列，可设四数为“);3,3(3,2,mamamamamamamaa或”四数成等比数列，可设四数为“),(,3332aqaqqaqaaqaqaqa或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.由递推公式求通项公式的方法 一、1()nnaaf n型数列，（其中()f n不是常值函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为

5、1()nnaaf n，从而就有21321(1),(2),(1).nnaafaafaaf n 将上述1n个式子累加，变成1(1)(2)(1)naafff n，进而求解。例 1.在数列na中,112,21,.nnnaaana求 解：依题意有213211,3,23nnaaaaaan 逐项累加有221(123)(1)1 323(1)212nnnaannnn ，从而223nann。二、)(1nfaann型数列，（其中()f n不是常值函数)此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为1()nnaf na，从而就有32121(1),(2),(1)nnaaafff naaa 将上述1n个式子累乘，变成

6、1(1)(2)(1)nafff na，进而求解。例 2.已知数列na中11123,(2)321nnnaaann，求na的通项公式。解：当2n 时，324123113523,57921nnaaaanaaaan将这1n个式子累乘，得到11 3(21)(21)naann，从而21 311(21)(21)341nannn，当1n 时，1211413an，所以2141nan。三、qpaann1型数列 此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设)(1mapmann，展开整理1nnapapmm，比较系数有pmmb，所以1bmp，所以

7、1nbap是等比数列，公比为，首项为11bap。二是用作差法直接构造，1nnapaq,1nnapaq，两式相减有11()nnnnaap aa，所以1nnaa是公比为的等比数列。例 3.在数列na中，11a，当2n 时，有132nnaa，求na的通项公式。解法 1：设13()nnamam，即有132nnaam 对比132nnaa，得1m，于是得113(1)nnaa，即3111nnaa 所以数列1na 是以112a 为首项，以 3 为公比的等比数列则12 31nna。解法 2：由已知递推式，得1132,32,(2)nnnnaaaan，上述两式相减，得113()nnnnaaaa，即311nnnnaa

8、aa 因此，数列1nnaa是以214aa为首项，以 3 为公比的等比数列。所以114 3nnnaa，即1324 3nnnaa，所以12 31nna。四、nfpaann1型数列（p 为常数）此类数列可变形为 111nnnnnpnfpapa，则nnpa可用累加法求出，由此求得na.例 4 已知数列 na满足1111,32nnnaaa,求.解:将已知递推式两边同除以12n得1131222nnnnaa,设2nnnab,故有132(2)2nnbb，15 322nnnb,从而115 32nnna.例 5已知数列 na满足1111,2,21,.2nnnanaana当时求 解:作nnbaAnB,则nnabAn

9、B,11(1)nnabA nB代入已知递推式中得:11111(2)(1)2222nnbbAnAB.令1202111022AAB 46AB 这时112nnbb且46nnban 显然,132nnb,所以13462nnan.五、CBaAaannn型数列（CBA,为非零常数）这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为1nnapaq型数列。例 6已知数列 na满足1122,2nnnaaaa,求.解:两边取倒数得:11112nnaa,所以1111(1)22nnnaa，故有2nan。六、nnnqapaa12型数列（,p q为常数）这种类型的做法是用待定糸数法设nnn

10、naaaa112构造等比数列。例 7数列 na中，,3,221aa且2,211nNnaaannn，求na.C、求数列前项和 一.公式法:利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本 最重要的方法。(1)等差：dnnnaaanSnn2)1(2)(11;等比：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn;(2)6)12)(1(3212222nnnn;233332)1(321nnn 数列部分测试题 一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （）（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在 2.、在等差数列 na中，41a,且,成等比数列

11、，则 na的通项公式为 （）（A）13 nan （B）3 nan （C）13 nan或4na （D）3 nan或4na 3、已知cba,成等比数列，且yx,分别为与、与的等差中项，则ycxa的值为 （）（A）21 （B）（C）（D）不确定 4、互不相等的三个正数cba,成等差数列，是a,b的等比中项，是b,c的等比中项，那么，三个数（）（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 na的前项和为,nnSn24212,则此数列的通项公式为 （）（A）22 nan （B）28 nan （C）12nna（

12、D）nnan2 6、已知)(4)(2zyyxxz，则 （）（A）zyx,成等差数列 （B）zyx,成等比数列 （C）zyx1,1,1成等差数列 （D）zyx1,1,1成等比数列 7、数列 na的前项和1nnaS，则关于数列 na的下列说法中，正确的个数有 （）一定是等比数列，但不可能是等差数列 一定是等差数列，但不可能是等比数列 可能是等比数列，也可能是等差数列 可能既不是等差数列，又不是等比数列 可能既是等差数列，又是等比数列（A）4 （B）3 （C）2 （D）1 8、数列 1,1617,815,413,21,前n项和为 （）（A）1212nn （B）212112nn （C）1212nnn

13、（D）212112nnn 9、若两个等差数列 na、nb的前项和分别为、，且满足5524nnBAnn，则135135bbaa的值为 （）（A）97 （B）78 （C）2019 （D）87 10、已知数列 na的前项和为252nnSn,则数列 na的前 10 项和为 （）（A）56 （B）58 （C）62 （D）60 11、已知数列 na的通项公式5 nan为,从 na中依次取出第 3，9，27，3n,项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为 （）（A）2)133(nn （B）53 n （C）23103nn （D）231031nn 12、下列命题中是真命题的是 ()A数列 na是等

14、差数列的充要条件是qpnan(0p)B已知一个数列 na的前项和为abnanSn2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列 C数列 na是等比数列的充要条件1nnaba D如果一个数列 na的前项和cabSnn)1,0,0(bba,则此数列是等比数列的充要条件是0ca 二、填空题 13、各项都是正数的等比数列 na，公比1q875,aaa,成等差数列，则公比=14、已知等差数列 na，公差0d,1751,aaa成等比数列，则18621751aaaaaa=15、已知数列 na满足nnaS411,则=16、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的

15、这两个数的等比中项为 三、解答题 17、已知数列 na是公差不为零的等差数列，数列 nba是公比为的等比数列，46,10,1321bbb，求公比及。18、已知等差数列 na的公差与等比数列 nb的公比相等，且都等于)1,0(dd,11ba ，333ba,555ba,求nnba,。19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为 216，后三个数成等差数列，其和为 36，求这四个数。20、已知 na为等比数列，324202,3aaa，求 na的通项式。21、数列 na的前项和记为11,1,211nnnS aaSn（）求 na的通项公式；（）等差数列 nb的各项为正，其前项和为，且315T，又112

16、233,ab ab ab成等比数列，求 22、已知数列 na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列 na的通项公式；（II）若数列 nb满足121114.4.4(1)()nnbbbbnanN，证明：nb是等差数列；数列部分参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A A A C A D D D D 二、填空题 13.251 14.2926 15.n)31(34 16.6 三、解答题 17.a=a1,a=a10=a1+9d,a=a46=a1+45d 由abn为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即a

17、b1=3d,ab2=12d,ab3=48d.q=4 又由abn是an中的第bna项，及abn=ab14n-1=3d4n-1,a1+(bn-1)d=3d4n-1 bn=34n-1-2 18.a3=3b3,a1+2d=3a1d2 ,a1(1-3d2)=-2d a5=5b5,a1+4d=5a1d4,a1(1-5d4)=-4d ,得243151dd=2，d2=1 或d2=51,由题意，d=55,a1=-。an=a1+(n-1)d=55(n-6)bn=a1dn-1=-(55)n-1 aaqaqaqa2,则36)3(216aaqaqaaqaqa 由，得a3=216,a=6 代入，得 3aq=36,q=2

18、这四个数为 3，6，12，18 20.解:设等比数列an的公比为q,则q0,a2=a3q=2q,a4=a3q=2q 所以 2q+2q=203,解得q1=13,q2=3,当q1=13,a1=18.所以 an=18(13)n1=183n1=233n.当q=3 时,a1=29,所以an=29 3n1=23n3.21.解：(I)由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得 112,32nnnnnaaa aan 又21213aS 213aa 故 na是首项为，公比为得等比数列 13nna（）设 nb的公差为 由315T 得，可得12315bbb，可得25b 故可设135,5bd bd 又1231,

19、3,9aaa 由题意可得 251 5953dd 解得122,10dd 等差数列 nb的各项为正，0d 2d 213222nn nTnnn 22（I）：*121(),nnaanN 112(1),nnaa 1na是以112a 为首项，2 为公比的等比数列。12.nna 即 2*21().nanN （II）证法一：1211144.4(1).nnbbbbna 12(.)42.nnbbbnnb 122(.),nnbbbnnb 12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb，得112(1)(1),nnnbnbnb 即1(1)20,nnnbnb21(1)20.nnnbnb，得 2120,nnnnbnbnb即 2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbb nN nb是等差数列。