(新高考)2022版高考数学二轮复习第三部分讲重点解答题专练第2讲数列教学案理.pdf

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1、新高考新高考 20222022 版高考数学二轮版高考数学二轮复习第三局部讲重点解答题专复习第三局部讲重点解答题专练第练第 2 2 讲数列教学案理讲数列教学案理第第 2 2 讲讲数列数列真真题题调调研研【例【例1 1】2022全国卷2022全国卷 数列数列 a an n 和和 b bn n 满足满足a a1 11 1，b b1 10,40,4a an n1 13 3a an nb bn n4,44,4b bn n1 13 3b bn na an n4.4.(1)(1)证明：证明：a an nb bn n 是等比数列，是等比数列，a an nb bn n 是是等差数列；等差数列；(2)(2)求求

2、a an n 和和 b bn n 的通项公式的通项公式解：解：(1)(1)由题设得由题设得 4(4(a an n1 1b bn n1 1)2(2(a an nb bn n)，1 1即即a an n1 1b bn n1 1(a an nb bn n)2 2又因为又因为a a1 1b b1 11 1，所以所以 a an nb bn n 是首项为是首项为 1 1，1 1公比为公比为 的等比数列的等比数列2 2由题设得由题设得 4(4(a an n1 1b bn n1 1)4(4(a an nb bn n)8,8,即即a an n1 1b bn n1 1a an nb bn n2.2.又因为又因为a

3、a1 1b b1 11 1，所以所以 a an nb bn n 是首项为是首项为 1 1，公差为公差为 2 2 的等差数列的等差数列2 2(2)(2)由由(1)(1)知，知，a an nb bn n1 12 2n n1 1，a an nb bn n2 2n n1.1.1 11 11 1所以所以a an n(a an nb bn n)(a an nb bn n)n nn n，2 22 22 21 11 11 1b bn n(a an nb bn n)(a an nb bn n)n nn n.2 22 22 2【例【例 2 2】2022江苏卷2022江苏卷 定义首项为定义首项为 1 1 且且公比为

4、正数的等比数列为“M数列公比为正数的等比数列为“M数列(1)(1)等比数列等比数列 a an n(n nN N*)满足：满足：a a2 2a a4 4a a5 5，a a3 34 4a a2 24 4a a1 10 0，求证：数列，求证：数列 a an n 为“M数列；为“M数列；(2)(2)数列数列 b bn n(n nN N)满足：满足：b b1 11 1，*1 12 2S Sn nb bn n2 2b bn n1 1，其中，其中S Sn n为数列为数列 b bn n 的前的前n n项和项和求数列求数列 b bn n 的通项公式；的通项公式；设设m m为正整数假设存在“M数列为正整数假设存

5、在“M数列 c cn n(n nN N)，对任意正整数，对任意正整数k k，当，当k km m时，都时，都有有c ck kb bk kc ck k1 1成立，求成立，求m m的最大值的最大值解：解：(1)(1)设等比数列设等比数列 a an n 的公比为的公比为q q，3 3*所以所以a a1 10，0，q q0.0.由由 a a2 2a a4 4a a5 5，a a3 34 4a a2 24 4a a1 10 0，得得4 44 4 a a2 2q qa a q q，1 11 1 2 2 a a1 1q q4 4a a1 1q q4 4a a1 10 0，a a1 11 1，解得解得 q q2

6、.2.2 2因此数列因此数列 a an n 为“M数列为“M数列(2)(2)因为因为 1 12 2S Sn nb bn nb bn n1 1，所以，所以b bn n0.0.1 12 22 2由由b b1 11 1，S S1 1b b1 1，得，得 ，那么，那么b b2 22.2.1 11 1b b2 2b bn nb bn n1 1由由 ，得，得S Sn n，S Sn nb bn nb bn n1 12 2 b bn n1 1b bn n 1 12 22 2当当n n22 时，由时，由b bn nS Sn nS Sn n1 1，b bn nb bn n1 1b bn n1 1b bn n得得b

7、 bn n，2 2 b bn n1 1b bn n 2 2 b bn nb bn n1 1 整理得整理得b bn n1 1b bn n1 12 2b bn n.所以数列所以数列 b bn n 是首项和公差均为是首项和公差均为 1 1 的等差数的等差数4 4列列因此，因此，数列数列 b bn n 的通项公式为的通项公式为b bn nn n(n nN N)由知，由知，b bk kk k，k kN N.因为数列因为数列 c cn n 为“M数列，为“M数列，设公比为设公比为q q，所以，所以c c1 11 1，q q0.0.因为因为c ck kb bk kc ck k1 1，所以所以q q1,2,3

8、1,2,3，m m.当当k k1 1 时，有时，有q q1；1；lnlnk k当当k k2,32,3，m m时，有时，有lnlnq q.k kk k1 1lnlnx x1 1lnlnx x设设f f(x x)(x x1)1)，那么那么f f(x x).2 2lnlnk kk k1 1*k kq q，其中其中k kk kx xx x令令f f(x x)0 0，得，得x xe.e.列表如下：列表如下：x xf f(x x)f f(x x)(1(1，e)e)e e0 0极大值极大值(e(e，)，)ln2ln2ln8ln8 ln9ln9ln3ln3因为因为，2 26 66 63 35 5ln3ln3所

9、以所以f f(k k)maxmaxf f(3)(3).3 3lnlnk k取取q q3 3，当当k k1,2,3,4,51,2,3,4,5 时，时，lnlnq q，3 3k k即即k kq q，经检验知，经检验知q qk kk k1 1k k也成立也成立因此所求因此所求m m的最大值不小于的最大值不小于 5.5.假设假设m m6，分别取6，分别取k k3,63,6，得，得 33q q3 3，且，且q q6，从而6，从而q q243，且243，且q q216，所以216，所以q q不存不存在因此所求在因此所求m m的最大值小于的最大值小于 6.6.综上，所求综上，所求m m的最大值为的最大值为

10、5.5.【例【例 3 3】2022天津卷2022天津卷 设设 a an n 是等差数是等差数列，列，b bn n 是等比数列是等比数列a a1 14 4，b b1 16 6，b b2 22 2a a2 22 2，5 515151515b b3 32 2a a3 34.4.(1)(1)求求 a an n 和和 b bn n 的通项公式；的通项公式；(2)(2)设设 数数 列列 c cn n 满满 足足c c1 1 1 1，c cn n 1 1，2 2k k n n22k k1 1，k k b bk k，n n2 2，*其中其中k kN N.6 6求数列求数列求求的通项公式；的通项公式；解：解：(

11、1)(1)设等差数列设等差数列 a an n 的公差为的公差为d d，等比数等比数 6 6q q6 62 2d d，列列 b bn n 的公比为的公比为q q.依题意得依题意得 2 2 6 6q q12124 4d d，d d3 3，解得解得 q q2 2，n n1 1故故a an n4 4(n n1)31)33 3n n1 1，n nb bn n62623232.所以，所以，a an n 的通项公式为的通项公式为a an n3 3n n1 1，b bn n 的通项公式为的通项公式为b bn n3232.(2)(2)1)1)9494 1.1.所以，数列所以，数列 n nn nn n(32(32

12、 1)(321)(32n nn n 的通项公式为的通项公式为9494 1.1.n nn n n n 2 2 2 2 1 1 i in n33 (94(94 1)1)2 2 442 2 i i1 17 7(32(322722722 2n n1 152525252n n1 14 4 1 14 4 )99n n1 14 4n n12(12(n nN N)*n n2 2n n1 1n n1 1【例【例 4 4】2022浙江卷2022浙江卷 设等差数列设等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，a a3 34 4，a a4 4S S3 3.数列数列 b bn n 满足：满足：对每个

13、对每个n nN N，S Sn nb bn n，S Sn n1 1b bn n，S Sn n2 2b bn n成等比成等比数列数列(1)(1)求数列求数列 a an n，b bn n 的通项公式；的通项公式；(2)(2)记记c cn n*a an n，n nN N*，证明：，证明：c c1 1c c2 22 2b bn nc cn n22n n，n nN N.解：解：(1)(1)设数列设数列 a an n 的公差为的公差为d d，由题意得，由题意得a a1 12 2d d4 4，a a1 13 3d d3 3a a1 13 3d d，解得解得a a1 10 0，d d2.2.从而从而a an n

14、2 2n n2 2，n nN N.所以所以S Sn nn nn n，n nN N.由由S Sn nb bn n，S Sn n1 1b bn n，S Sn n2 2b bn n成等比数列得成等比数列得(S Sn n1 1b bn n)(S Sn nb bn n)()(S Sn n2 2b bn n)8 8*2 2*2 2解得解得b bn n(S S2 2n n1 1S Sn nS Sn n2 2)1 1d d所以所以b bn nn nn n，n nN N.(2)(2)c cn n2 2*a an n2 2b bn n2 2n n2 22 2n n n n1 1 n n1 1，n n n n1 1

15、 n nN N.我们用数学归纳法证明我们用数学归纳法证明(1)(1)当当n n1 1 时，时，c c1 10202，不等式成立；，不等式成立；(2)(2)假设当假设当n nk k(k kN N)时不等式成立，即时不等式成立，即*c c1 1c c2 2c ck k22k k，那么，当那么，当n nk k1 1 时，时，c c1 1c c2 2 c ck kc ck kk k k k1 1 k k2 2 221 122k kk kk k1 122k k1 12 22 2k k2(2(k k1 1k k)2 2k k1 1，k k1 1k k即当即当n nk k1 1 时不等式也成立时不等式也成立

16、根据根据(1)(1)和和(2)(2)，不等式，不等式c c1 1c c2 2c cn n200，q q00，解得，解得 a a1 12.2.a an n2 2.(2)(2)由得，由得，n nS Sn nloglog2 2a a1 1loglog2 2a a2 2loglog2 2a an n 1 11 1 2 2，2 2 S Sn nn n n n1 1 n nn n1 1 n n n n1 1 2 2，1 1 1 1 的前的前n n项和项和 S Sn n 1 11 1 1 11 1 1 1 T Tn n2 2 1 1 2 2 2 23 3 n nn n1 1 2 2n n.n n1 116161717