数学思维训练教材六年级上册.pdf

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1、在平时数学学习，尤其是数学竞赛中，我们经常遇到一些题目：（1）比较这几个分数的大小：52、73、2310、2912、3715（2）试比较77755和7777555，那个分数大？如果我们不去研究其中的规律，相信大家一定会很难解决这样的题目。本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。例 1：已知 A321=B43 =C109=D54=E511(ABCDE 都不等于 0)，将 A、B、C、D、E按从大倒小的顺序排叠起来。分析与解 为了方便比较，我们首先将这五个算式统一写成乘法形式，这样原来的算式就变成 A321=B311=C109=D54=E65。下面我们可以运用倒数的知识来解决这一问题。

2、首先我们可以假设所有算式的运算结果等于 1。那么，A就是321的倒数，即53；同理，B应是43，C 是911，D是411，E是511。这样，我们很容易就能比较出这五个数的大小。因为4115119114353,所以 DECBA.随堂练习一：如果 a=b521=65c=d54(a、b、c、d 均不等于 0)，a、b、c、d 四个数中，谁最大?谁最小？例 2：将下列分数从小到大排列起来：52、73、2310、2912、3715。分析与解 比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。就本题而言，如果用通分再比较，太麻烦，我们可以根据“同分子的分数，分母大的分数反而小”这一性质，把这几

3、个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。因为2、3、10、12、15、的最小公倍数是 60，根据分数的基本性质，可以把它们分别化为：15060、14060、13860、14560、14860。由 150148 145 140 138，可以得到：1506014860145601406013860，即5237152912732310。方法点评 如果几个分数的公分母比较大时，采用先通分、再比较的方法比较复杂。我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数，再比较大小。随堂练习二：把下列分数按从小到大的顺序排列起来。175、196、4615、3310、3730 例 3：已知 A=555555555

4、55553，B=666663666661。试比较 A与 B的大小。分析与解 这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用“先同分、再比较”，还是“先化成同分子的分数，再比较”的方法，都不容易。但仔细观察，可以发现：这两个分数的分子都比分母小 2。我们可以根据这一特点，先比较这两个分数与1的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为“间接比较法”。因为比A比 1少55555552，B 比 1少6666632，而555555526666632，所以 AB。方法点评 如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法，即先比较这两个分数与 1 的差，再确定这两个数的大小。随堂练习三：试

5、比较下列两个分数的大小。445443和559557 例 4：比较77755和7777555，那个分数大？分析与解 这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分子的 14倍多 7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。想一想，这是为什么？77755的倒数是55714，7777555的倒数是555714，因为55714555714，所以777557777555。方法点评 从本题可以看出，如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而且余数相同，采用比较倒数的方

6、法比较简便。随堂练习四：试比较19219和17217的大小。例 5：试比较下面两个分数的大小。10061207和20062207 分析与解 观察这两个分数，你会发现用上面的几种方法无法解答。但分析其中的数据，你会发现，第二个分数的分子 2207=1207+1000，分母 2006=1006+1000，即第一个分数10061207的分子与分母都加上同一个数：1000，就正好等于第二个分数20062207。方法点评 当 ab 时，bakbka,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，得到的新分数比原分数小，所以1006120720062207。同理，一个真分数的分子和分母都加上同一个数，得到的分数比

7、原分数大。随堂练习五：比较2329与123129的大小 拓展训练 1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。1918、3736、3231、4847、1615 2、比较下面两个分数的大小。999499和1001501 3、比较332221和665443的大小。4、比较123456789987654321与20091234567892009654321987的大小。5、比较83837171与838383717171的大小。第 2 讲 速算与巧算 专题简析：学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。本讲就介绍

8、一些速算与巧算的技巧。例 1：计算下面各题。（1）171649 （2）2003200420032003 分析与解 同学们都会计算带分数除法，但相信同学们看了这两道题目后，都会感到计算太麻烦，如果我们开动脑筋想一想，就会发现：可以把（1）17164分成一个9 的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；把例（2）中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以 2003后，计算就很简便了。（1）171649 （2）2003200420032003=（63+1711）9=（20032003）（2004200320032003）=63 9+17119=1（20032003+200420032

9、003）=7+911718=1200411=1727=20052004 方法点评：有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有容易出错，这时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往往可以达到事半功倍的效果。随堂练习一：计算：（1）555655 （2）167168167167 例 2：计算：（1+61514131）（1+5141）（1+5141）（61514131）分析与解 这道题虽然算式很长，但仔细分析其中的数据，可以发现组成这个算式的数并不多，我们可以把重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方便简算。设61514131=A 1+5141=B，原来的算式可以转化成：

10、（1+A）B-BA=B+AB-AB=B 所以本题的结果为：1+5141=2091 方法点评：用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律。随堂练习二：计算：（1+978573）（52+978573）-（1+52+978573）（978573）例 3：计算.313233323121222111501502.50485049505050495048.503502501 分析与解 这组分数的特点是：分母为 1的分数有 1个，分母为 2的分数有 3个，分母为 3的分数有 5 个且同分母的分数的和依次为 1，2，3，4，5这是一个扥差数列，可以直接利用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项）项数

11、2=数列的和。原式=1+2+3+4+49+50=（1+50）502=1275 方法点评：在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。随堂练习三：计算：.313233323121222111+201.202.201920202019.203202201 例 4：计算：（1）（1321111213）（135115）（2）032003200320200320032003022002200220200220022002 分析与解（1）被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发现：1321111213=1314511145=145(

12、131111),135115=5(131111).所以，原式=（1314511145）（135115）=145(131111)5(131111)=1455=29（2）我们注意到，这个分数的分子与分母尽管数据很长，但每个数据分别是由 2002 和 2003组成。因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便计算。因为 2002=20021 20022002=200210001 200220022002=20021000110001 所以 2002+20022002+200220022002=2002（1+10001+100010001）同理 2003+20032003+20032003

13、2003=2003（1+10001+100010001）原式=)100010001100011(2003)100010001100011(2002=20032002 随堂练习四：计算：（1）（91111119）（94114）（2）2323232323232323232317171717171717171717 例 5：计算20191.431321211 分析与解 这道题的加数很多，如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。下面我们来分析一下：211=1-21，321=3121，.20191=201191 20191.431321211=1-21+3121+201191=1-201=2

14、019 方法点评：这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。当 ab 时,ba1=(ba11)ab 1 随堂练习五：计算100991.321211 拓展训练 1.、计算（1+5141 ）（5141+61）-（1+5141+61）（5141）2、计算（34398.343634343432）-（68699.68656863）3、计算232323232323232323232323232323191919191919191919191919191919 4、计算1

15、6131131011071741411 5、计算（1+21）（1-21）（1+31）（1-31）（1+501）（1501-）第 3 讲 比的意义和应用 比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中，如果恰当运用比的知识，你会真正理解什么是“事半功倍”。在这一讲，我们一起研究这方面的知识。例 1：两只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是12,另一只杯子中盐与比是15。若把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少？分析与解 要求混合液中的盐与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了，因为两只杯子相同，所以设每只杯子中的盐水为1，则第一支杯子中的盐占211，水占212；第二只杯子中

16、的盐占511，水占515。两只杯子中的盐水混合后，盐为211+511=21，水为212+515=23。所以，混合液中的盐与水的比为：（211+511）（212+515）=2123=13。答：混合后，盐与水 的比为 13。方法点评：求两个量的比时，首先要能正确分析与计算每个量所占的份数或分率，然后再进行解答。随堂练习一：六年（1）班男、女人数的比是 54，六年（2）班男、女人数的比是 21，两班人数相等。求六年（1）班男男生与六年（2）班男生的人数比。例 2：如右图，原形中的阴影部分面积占圆面积的41，占正方形面积的31，三角形中阴影部分的面积占三角形面积的51，占正方形面积的41。圆，正方形、

17、三角形面积的最简整数比是多少?分析与解 要求圆、正方形、三角形面积的最简整数比是多少，只需知道这三个图形的面积各是多少就行了，因为圆和三角形都与正方形的面积有关，我们就设正方形的面积为12，那么圆的面积就是:123141=16；三角形的面积为：124151=15。所以这三个图形的面积比就是：（123141）12（124151）=161215 方法点评在求几个量的比时，我们可以先假设其中一个量等于几，然后根据条件计算出其他量，再求比，这样解决问题比较容易。随堂练习二：如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的71，相当于小长方形面积的41。这两个长方形的面积比是多少？例 3：有大小两个长

18、方形，大长方形的长比小长方形的长多41，而小长方形的宽比大长方形的宽多.101。求这两个长方形的面积比。分析与解 大长方形的长比小长方形的长多41，可以把小长方形的长看做 4份，大长方形的长就是 1+4=5 份；小长方形的宽比大长方形的宽多.101。可以理解成八大长方形的宽看做 10份，小长方形的宽是1+10=11 份。所以，这两个长方形的面积比为：(510)(411)=5544=2522 答：大小两个长方形的面积比为 2522 。随堂练习三：有大小两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长多41。求两个正方形的周长比。例 4：六年（1）班男人数的32与女生人数的54相等，已知男生比女生多 5

19、 人，这个班男、女生各有多少人？分析与解 根据男人数的32与女生人数的54相等，可以列出数量关系：男生人数32=女生人数54。假设男人数的32与女生人数的54都是 1，则男生人数为 132=23；女生人数为 154=45。所以，男、女生人数的比为：（132）（154）=2345=65 每一份的人数就是：5（6-5）=5（人）男生人数就是：56=30（人）女生人数就是：55=25（人）答：男生有 30 人，女生有 25 人。随堂练习四：拔一根绳子按 53 截成甲、乙两段，已知乙比甲短。这根绳子原来全长多少米？例 5：小丽读一本书，已读的页数和未读的页数 的比是 15 ，若再读 45 页，则已读的

20、页数和未读的页数的比是 3 5。这本书共有多少页？分析与解 根据“已读的页数和未读的页数的比 15”可知，把未读的页数看做 1 份，未读的页数看 5 份，总页数就是 1+5=6 份，已读的页数占总页数的511。若再读 45 页，则已读的页数和未读的页数的比是 3 5.即把这时已读的页数看做 3 份，未读的页数看做 5 份，总页数就是3+5=8 份，这时已读的页数占总数的533。45 页占总页数的533-511=245，这本书共有的页数是：45（533-511）=45245=216（页）答：这本书共有216 页。随堂练习五：一条路，已修的米数和未修的米数比为 23，后来又修了 2000 米，这时

21、已修的米数与未修的米数比为 32。这条路全长多少米？拓展训练 1、两个西服厂，一个月内生产的西服数量比是65，两个厂西服价格比是 1110.求两个厂这个月生产西服总产值的比。2、如图，求图中阴影部分与圆环的面积比。3、把 100 克纯酒精装在一个玻璃瓶里，正好装满。用去 20 克后，加满蒸流水；又用去 20 克 后，再加满蒸馏水。求这时瓶里蒸馏水与纯酒精的比。4、一个长方形长与宽的为 73，如果把长减少 12 厘米，宽增加16 厘米，正好变成一个正方形。这个长方形的面积是多少平方厘米？5、水池里直立着两根木桩，露出水面部分的长度比为101，当水面下降 20 厘米后，露出水面那部分的长度之比为

22、52。求木桩原来露出的部分是多少厘米？第 4 讲 按比例分配 例 1：有一块长方形的土地，测得周长为 60 米，.长与宽的比是 32.求这块地的面积。分析与解 求长方形的面积必须知道长与宽，已知长方形的周长为60米，那么，长与宽的和就是：602=30(m)；它的长就是：30323=18（米）；它的宽就是：30322=12（米。）至此，长方形的面积很容易求出。602=30(m)30323=18（米）30323=18（米）1812=216（平方米）答：这块长方形土地的面积是 216 平方米。方法点评：此题的解题关键是先求出长与宽的和，然后在按比例分配球出长与宽，进而求出它的面积。随堂练习一：长方体

23、的棱长总和为 220 厘米，已知长、宽、高的比为 542.这个长方体的体积是多少立方厘米？例 2：西园村挖一条水渠，全长 420 米，第一、二两队所挖米数比是 34，第二、三两队所挖米数比是 67。三个队各挖了多少米？分析与解我们注意到，这题给出两个比，两个比中都含有第二队，但第二队在这两个比中所占的份数却不同。因此，要解决问题，必须首先把这两个比进行统一，转化成连比。这里利用比的基本性质，把两个比中的第二队所占的份数转化为相同。第一队第二队第三队 34=（33）（43）=912 67=（62）（72）=1214 这样，我们可以得到第一、二、三队所挖的米数比为91214，下面只需将 420 米

24、按比例分配就行了。9+12+14=35 420359=108（米）4203512=144（米）4203514=168（米）答：第一队挖了108 米，第二队挖了144 米，第三队挖了168 米。方法点评：这道题的解题关键是：应用比的基本性质，把三个队的米数之间的联系有两个独立的比转化成一个连比。随堂练习二：人民路小学六年级的学生分三批去幼儿园参观海狮表演，第一批与第二批的人数比为54，第二批与第三批的人数比为 32.已知六年级共有学生 210 人，第二批有多少人？例 3：工厂把 10000 元奖金分给三个车间，第一车间与第二车间所得奖金的比是32，第三车间比第二车间多 200 元。三个车间各得多

25、少元？分析与解 根据题意，把第一车间所得奖金看做 3 份，第二车间所得奖金数是 2 份，第三车间所得将金属应为 2 份多 200 元。从 10000 元奖金中先拿出 200 元给第三车间，那么剩下的 9800元中，三个车间应得奖金的比是 322，再按比例进行分配。最后第三车间的奖金加上先分得的 200元就行了。3+2+2=7 10000-200=9800（元）980073=4200（元）980072=2800（元）2800+200=3000（元）答：第一车间分得 4200 元，第二车间分得 2800 元，第三车间分得 3000 元。随堂练习三：甲、乙、丙三堆煤共 450吨，甲堆煤与乙堆煤的重量

26、比为 54，丙堆煤的重量是乙堆煤的 1.5倍。三堆煤各重多少吨?例 4：A、B两桶油共重 90 千克，若把 A桶中油的41倒入 B桶，则两桶油的重量比是 12.A、B两桶油原来各多少千克？分析与解 把 A桶油的41倒入 B桶，两桶油的总重量没有变，还是 90千克。因此可以按比例分配求出现在 A桶油的重量：90211=30（千克）。A桶倒出41后是 30千克，即 30千克占 A桶油原有油的43，这样可以倒推 A桶原有油的重量。则就可求出 B桶油的重量。90211=30（千克）3043=40（千克）9040=50（千克）答：A桶原有油 40 千克，B桶原有油 50 千克。方法点评 解决这道题的关键

27、是抓住两桶油的总重量不变，先求出A桶油现在的重量，再倒推出原有油的重量。随堂练习四：两个书架一共放书 360本，如果从第一个书架取出41放入第二个书架，则第一个书架上的书与第二个书架上的书的本数比是 911.两个书架上原来各有多少本书？例 5：水果批发部运来苹果、橘子、和香蕉三种水果。出售时，苹果、橘子、和香蕉每千克的价格比为 45324，又知苹果共卖得 2160 元，这个批发部上周出售水果的收入是多少元？分析与解 根据这三种水果的单价比为 456.，以及数量比为 324，可以先计算出这三种水果的总价比（43）（52）（64）=121024=6512 由此可知，苹果的总价占售出水果总价的236

28、12566。因此售出水果的总价很容易求出。（43）（52）（64）=6512 2160236=8280（元）答：这个批发部上周售出水果的总价为8280元。方法点评 解答这个题的关键是根据三种水果的单价比和数量比，先求出总价比，进而求出总价。随堂练习五：甲乙两个三角形，他们的底边之比为 23，高之比为 35.已知甲三角形的面积比乙三角形的面积小 30 平方厘米，求这两个三角形的面积。拓展训练 1、56 厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？2、甲数和乙数的比是 23，乙数和丙数的比是 45，甲数和丙数的比是多少？3、大、小两筐苹果共 60 千克，把大筐苹果重量的73放入小筐后，大、小两筐苹果的重

29、量比为23。大、小两筐原来各装多少千克苹果？4、商店现有梨、苹果、橘子若干千克，重量比为495.两天后，三种水果工卖出 780 千克，这时苹果还余 50 千克，梨还余 20 千克，橘子余下的是卖出的41。原来三种水果各有多少千克？5、学校田径队和游泳队共有 32 个男生、18 个女生。已知田径队中男生人数与女生人数的比为 53，游泳队中男生人数与女生人数的比是 21，那么，田径队中女生有多少人？6、商店购进奶糖和酥糖这两种糖果所用钱数之比是21，已知奶糖每千克 6 元，酥糖每千克2 元。如果把这两中堂混在一起成为什锦糖，那么，什锦糖的成本为每千克多少元？第五讲 分数第应用题（一）例 1：一池水

30、，第一天放出 60 吨，第二天放出 65 吨，剩下的水比原来这池水的41少 5 吨。原来水池有多少吨？分析与解 这道题把原来这池水的吨数看作单位“1”，但具体数量与分率之间的关系却不容易看出，关键是剩下的水不是正好占单位“1”的41。我们可以假设第二天少放出 5 吨水，那么剩下的水 就正好占单位“1”的41，两天共用去（60+65-5）吨的水，的对应分率就是（141）。（60+65-5）（141）=12043=160（吨）答：原来水池有水 160 吨。随堂练习一：一批稻谷放在两个粮库中，甲库所存稻谷的数量是乙库的83，后来向甲库运进 45吨，向乙库运进 36吨，这时两库稻谷重量相等。甲库原有稻

31、谷多少吨？例 2：五年级的图书窗内有文艺书、科技书、故事书共 96本。已知科技书是故事书的31，是文艺术的41，三种图书各有多少本？分析与解 这道题出现了两个不同的单位“1”，因而，我们需要将他转化成同一个单位“1”。把故事书看作单位“1”，科技书的对应分率就是31，文艺书的对应分率是3141=34 故事书的本数：96（1+31+3141）=96322=36（本）科技书的本数：3631=12（本）文艺书的本数：1241=48（本）答：故事书有 36 本，科技书有 12 本，文艺书有 48 本 方法二：这道题也可以把科技书的本数看作单位“1”，故事书的对应分率就是 131=3文艺书的对应分率就是

32、 141=4 96（1+131+141）=968=12（本）科技书的本数 1231=36（本）故事书的本数 1241=48（本）文艺书的本数 答：(略)方法点评：在分数应用题中，如果遇到单位“1”不同时，就要注意将各分率进行转化，将这些分率转化成同一个单位“1”的几分之几或几倍，然后再去寻找分率与具体数量之间的对应关系。随堂练习二：某校四、五、六年级共有学生 580人，四年级的学生人数是五年级的98，五年级的人数是六年级的43。三个年级各有多少人？拓展训练 1、小明和小虎都是小集邮迷，他们两人共有邮票 285 张，现在小明拿出自已邮票的51，现在小虎拿出 15 张，送到少年宫参加邮票展，两人剩

33、下的邮票张数正好相等。两人原来有多少张邮票？2、某厂男职工比全厂职工总数的53还多 60 人，女职工的人数是男职工的31。这个厂公有制共多少人？3、东方小学六年级有 23 人、五年级有 18人参加数学竞赛，结果五、六年级的获奖人数相等，五年级未获奖人数比六年级少31。两个年级共有多少人获奖？4、甲乙丙三人合作一批机器零件，甲做零件的歌数是乙丙的21，乙做零件的个数是甲丙的31，丙做了 450 个，这批零件有多少个？5、国庆节前，两位工人给某个城市装彩灯，他们工作了 5 天后，还剩下需装彩灯数量的91，这时若再增加 200只彩灯的装饰任务，才正好够两人一天的工作量。原来准备装彩灯多少只?第 6

34、讲 分数应用题（二）例一：人民商场运来空调和冰箱共 240 台，其中空调占52。后来有几台空调因质量问题要退回厂家，这时空调台数占总数的135。退回空调多少台？分析与解 根据题意题目中空调的数量在变化，而并向的数量是不变量。我们可以先求出冰箱的台数;240(1-52)=24053=144(台)根据“这时空调台数占总数的135”，我们把现在空调与冰箱的总数看作单位“1”，冰箱占总数的（1-135），这样我们可以求出现在空调与冰箱的总数：144（1-135）=234（台）最后用原来空调与冰箱的总数减去现在空调与冰箱的总数，就是退回的空调台数；240-234=6（台）答：退回空调 6 台。随堂练习一

35、：幼儿班图书角共有连环画与漫画书 216本，其中连环画占31。后来又卖来一些连环画，这时连环画占图书总数的5923。后来又买来多少本连环画？例 2：由甲乙两个车间，驾车简单公认的人数是乙车间的75。如果从乙车间调12人到甲车间，甲车间的人数是乙车间的54。原来甲乙两个车间各有人多少人？分析与解根据题意，原来甲车间公认的人数是乙车间的75，从乙车间调 12人到甲车间，甲车间的人数是乙车间的54，说明甲乙两个车间的人数都发生了变化，甲乙两个车间的总人数是不变的。因此可以把甲乙两个车间的总人数看作单位“1”，则原来甲车间人数占两个车间总数的755，同时把甲车间的人数是乙车间的54转化成现在甲车间的人

36、数占两个车间总数的544。根据题目中所说“从乙车间调 12人到甲车间”，可知甲车间现在的人数比原来的人数多12人，它的对应分率应是（544-755）就可以求出辆车间的总人数，再求两车间的人数就简单了。12（544-755）=12361=432（人）两车间人数 432755=180（人）甲车间人数 432-180=252（人）乙车间人数 答：原来甲车间人数有 180人，乙车间的人数有 252人。方法点评;在一些分数应用题中，题目中会出现一些变化量，造成单位“1”的量无法确定，未结题增加了难度，这种情况下，我们要善于抓住其中的“不变量”，抓住“不变量”进行分析。通常分两种情况：（1）先求出不变量，

37、然后利用这个不变量作为“桥梁”进行解答；（2）、一步变量作为单位“1”，把题目得分率全部转化成以不变量作单位1”然后在寻找对应关系进行解答。随堂练习二：修一条水渠，已修的米数是剩下的21，如果再修 50米，那么已修的米数就是剩下的43。这条渠去长多少米？拓展训练 1、水果店运来苹果和梨共 360箱，其中苹果占127。后来由有运来几箱 苹果，这时苹果占两种水果总箱数的53。又运来苹果有多少箱？2、师徒两人合作280个零件，徒弟做了自己人物的43，师傅做了自己任务的54，这时还剩下64个零件没有做。师徒两人原来各需做多少个零件？3、甲、乙两校共有 60 人参加小学生数学竞赛，甲校参加人数的31比乙

38、校参加人数的41多 6人，甲、乙两校各有多少人参加竞赛?4、某次会议，昨天参加会议的代表共2100人，今天男代表减少101，女代表增加了201。今天共 2016人出席会议，那么昨天参加会议的男代表共有多少人？5、兄弟两人各有邮票若干张，现在爸爸又买回18张邮票。如果全部给哥哥，那么哥哥的邮票张数是弟弟的2倍；如果全部给弟弟，则弟弟的邮票张数是哥哥的87。两人原来各有多少张邮票？第 7 讲 列方程解分数应用题 专题简析：用算术方法解应用题，虽然有利于提高思维的灵活性，但使用算术方法解应用题时，总是把未知数置于特殊的位置，使解题思路和方法受到很大限制，有时解题很困难。这时，我们可以选择用方程解答应

39、用题，用字母表示未知数，未知数直接参加列式和运算，思维直接，解法灵活。用列方程的解题方法，往往能获得事半功倍的效果，这样取得成功的机会会更多一些。例 1：某工厂有职工 980人，其中女职工的人数比男职工的52多 28 人。这个工厂的男、女职工各多少人？分析与解这题中有两个等量关系，男职工人数+女职工人数=980人，女职工人数=男职工人数52+28 人。在解答分数应用题时,通常设单位“1”的量为 x，这里可以设男职工人数为 x，那么女职工人数就可以根据第二个数量关系表示为（52x+28）,再分别把男职工人数和女职工人数带入第一个等量关系，列出方程，求出结果。解：设这个工厂有男职工 x 人，则女职

40、工有（52x+28）人。X+52x+28=980 152X+28=980 X=680 980680=300（人）答：这个工厂有男职工 680 人，女职工 300 人。方法点评：在用方程解答应用题时，我们应注意以下几点：（1）一般设单位“1”的量为X；（2）找准等量关系列方程。随堂练习一：师徒两人合作一批零件，完工时，徒弟做的零件个数比师父的43少 10个。已知师傅比徒弟多做了 50个零件，师徒两人个做了多少个零件?例 2：商场运来空调与彩电共 152 台，卖出彩电的111和 5台空调空调后，剩下的空调与彩电台数正好相等。商场运来空调与彩电各多少台？分析与解 由于题目中彩电台数是单位“1”那么可

41、以设彩电台数为 x，则空调台数为（152x）台。根据“剩下的空调与彩电台数正好相等”，我们可以列方程来解答 解：设商场运来彩电 x台，则空调台数为（152x）台。X111x=152x5 1110=147x x1121=147 X=77 15277=55(台)答：商场运来彩电 77台，空调 75台。随堂练习二：甲乙两桶油共重 44千克，甲桶用去它的51，乙桶又倒入 10千克后，先在两桶油的重量相等，甲桶原有油多少千克？拓展训练 1、两筐橘子，甲筐比乙筐多 21千克，若从甲筐取出 18千克橘子给乙筐，则甲筐重量是乙筐的74。乙筐原有橘子多少筐？2、甲乙两人共储蓄 1000元，甲取出 240元乙又存

42、入 80元，这时乙储蓄的钱数正好是甲的31。原来乙储蓄了多少元钱？3、学校田径队中，女队员人数的31等于男队员人数的51。已知男队员比女队员多 6人，田径队中男、女队员各有多少人？4、六（1）班有学生 50人，当男生的31和 5个女生离开后，剩下的男、女生人数相等，那么这个班原有多少个男生？5、某校上学期男、女生共有 500人，本学期有81的男生转学，而女生又增加了61。这学期共有学生 490人。求这学期男、女生的人数。第 8 讲 百分数应用题 百分数应用题与分数应用题一样，其中的百分数表示的是两个量之间的倍数关系，它的具体大小也取决于单位“1”的大小。因此，解答白分数应用题也需要首先弄清谁是

43、单位“1”，这同样是解决百分数应用题的关键。例 1：六（1）班男生人数比女生人数多 25，女生数比男生人数少百分之几？分析与解 男生比女生多 25%，就是男生比女生多女生的 25%。把女生看做单位“1”男生就是女生的 1+25%=125%。求女生人数比男生少百分之几，就是求女生比男生少的人数占男生恩数的百分之几，应该用女生比男生少的人数除以男生人数。25%（1+25%）=20%方法点评：解决求一个数是另一个数百分之几的应用题时，关键是要区分清谁是谁的百分之几。随堂练习一：果园里的苹果树的棵树比桃树多32，桃树比苹果树的棵数少百分之几？例 2：某商店同时卖出两件商品，售价都是 60 元，但其中一

44、件赚 20%，另一件亏本 20%。这个商店卖出这两件商品是赚钱，还是亏本？分析与解 要知道商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本，必须要求这两件商品的成本是多少钱。一件商品赚了 20%，是 60元，是把这件商品的原价看作单位“1”，60元的对应分率是（1+20%）可以求出原价。另一件商品亏本 20%以后，是 60元，是把这件商品的原价看作单位“1”，60元的对应分率是（120%）可以求出原价。所以：60（1+20%）=50（元）60（120%）=75（元）75+5060+60 答：这个商店卖出这两件商品是亏本了。随堂练习二：某商店同时卖出两件商品，售价都是 100元，但其中一件赚 25%，另一件亏本

45、 25%。这个商店卖出这两件商品是亏本了，还是赚钱了？拓展训练 1、商店卖出甲乙两种电脑的价格不同，如果甲种 电脑的价格提高 20%，乙种电脑的价格降低10%，那么两种电脑的价格相同。原来甲种电脑的价格是乙种电脑的百分之几？2、国家规定，个人存款应缴 20%的利息税。张叔叔今天从银行取出一年前的存款，缴纳了18元的利息税，已知银行一年定期存储的年历率为2.25%。那么，张叔叔一年前存入银行多少钱?3、商场购进一件商品，加上15%的利润作为定价。可是一直无人购买，只好降低定价的20%出售。结果亏了 200元，商场购进这件件商品花了多少钱？4、某商店进了一批茶叶，分一级品和二级品，二级品的进价比一

46、极品便宜20%。按优质优价的原则，一级品按 20%的利润定价，二级品按15%的利润定价，一级品茶叶比二极品茶叶每500克贵 70元。一级品茶叶的进价是每500克多少元？5、甲公司有 600人，其中技术人员占 5%；乙公司有 400人，技术人员占 20%。为了支援甲公司进行技术革新，现决定从乙公司派遣若干名技术员到甲公司传授技术，同时甲公司派出同样的人数到乙公司学习技术。巧的是，这样调遣以后，现在两个公司技术人员所占百分比相同。乙公司派遣了多少名技术人员到甲公司传授技术/0020 第 9 讲 单位“1”的妙用 专题简析：在分数、百分数应用题中，常常碰到“1”，例如：一本书读了31，又读了余下的3

47、1，还剩下300页，问这本书共有多少页？像这样的题目出现了不同的两个单位“1”，对于同学们来说非常熟悉的，但“1”在应用题中的作用，可能同学们还不太了解，在一些复杂的分数应用题中，往往出现大小不同的单位的几个“1”，由于单位“1”的大小不同，所代表的几分之几的数量也就不同，在解题时要特别注意，下面请同学看看单位“1”在各种题目中的妙用。例 1 一组割草的人要把两片草地的草割掉，大的一片比小的一片大一倍，全体组员先用半天的时间割大的一片草地，到下午他们对半分开，一半仍留在大草地上，到傍晚时正好把大草地割完，另一半就到小草地上去割，到傍晚时还剩下一小块，这一小块由一人去割，正好一天割完，问这个组共

48、有多少人？分析与解：这道题实际上暗含着每个的工作效率这个条件，要求共有多少人，关键就是要求出一个人的工作效率，也就是一个人一天的工作量，还要求出全组人一天的工作量，而这些仿照工程问题是不难求出的。解：设大片草地的面积为单位“1”，则小片草地的面积为21，根据条件可以知道，一半组员半天割了31，一天割了32，全组组员一天割了34，由此还可以知道，所剩下的一小块面积是2131=61，也就是一人一天的工作量为61，全组的人数就是3461=8（人）。随堂练习一：饲养员把桃子的31分给小猴，把比余下的51少 3 个的桃子分给猩猩，再把余下的分给狒狒，这样狒狒分的桃子比猴子多 21个，问共有多少个桃子？例

49、 2 姐妹两个人养兔 100只，姐姐养的31比妹妹养的101多 16只，求姐姐妹妹各养兔多少只？分析与解：为了简化数量关系，我们假设姐姐养的31等于妹妹养的101，那么姐姐比实际养的只数少了多少只呢？这两个人样的总只数该是多少呢？按照假设的数量分析：如果姐姐的31与妹妹的101相等，则两人养的总只数应是：100163=52(只)。根据上面的假设，题目就转化为“姐妹两人共养兔52 只，姐姐养的31等于妹妹养的101，两人各养兔多少只？”这个问题就解决了。解：设妹妹养兔的只数为“1”。（100163）（1+10131）=521103=40（只）10040=60（只）答：妹妹养兔 40 只，姐姐养兔

50、 60 只。想一想：如果以姐姐养兔的只数为“1”，如何解答？随堂练习二：把一根竹竿直插入水底，枝竿湿了 40厘米，然后将竹竿倒过来再插入水底，这时竹竿湿的部分比它的21少 13厘米，求竹竿全长？拓展训练 1、有甲、乙、丙三堆煤，共重 4500吨，当从甲堆取出 20吨放入乙堆，从丙堆取出 30吨放入乙堆后，甲堆煤的重量则比乙队少81，丙堆煤的重量比甲队多72。问甲、乙、丙三堆煤原来共有多少吨？2、甲乙两班共有 84人，甲班人数的85与乙班人数的43共 58人，问两班各有多少人？3、果品公司运进一批橘子，第一天卖出全部的52，第二天卖出剩下的21，第三天比第一天少卖31，这时还剩 50千克，果品公