数学选修知识点总结.pdf

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1、第一章：命题与逻辑结构 知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”.“若，则”，则它的否命题为“若，则”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原

2、命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”。6、四种命题的真假性：原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 7、若pq，则是的充分条件，是的必要条件 若pq，则是的充要条件（充分必要条件）8、用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作pq 当、都是真命题时，pq是真命题；当、两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题 用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作pq 当、两个命题中有一个

3、命题是真命题时，pq是真命题；当、两个命题都是假命题时，pq是假命题 对一个命题全盘否定，得到一个新命题，记作若是真命题，则必是假命题；若是假命题，则必是真命题 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示 含有全称量词的命题称为全称命题 全称命题“对中任意一个，有 p x成立”，记作“x，p x”短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示含有存在量词的命题称为特称命题 特称命题“存在中的一个，使 p x成立”，记作“x，p x”10、全称命题：x，p x，它的否定：x，p x。全称命题的否定是特称命题。特称命题：x，p x，它的否定：x，

4、p x。特称命题的否定是全称命题。第二章：圆锥曲线 知识点：1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 建立适当的直角坐标系；设动点,M x y及其他的点；找出满足限制条件的等式；将点的坐标代入等式；化简方程，并验证（查漏除杂）。2、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于12F F）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。12222MFMFaac 3、椭圆的几何性质：4、设是椭圆上任一点，点到对应准线的距离为，点到 对应准线的距离为，则1212FFedd。5、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F）的点的轨迹称为双曲线

5、。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。12222MFMFaac 6、双曲线的几何性质：焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 222210 xyabab 222210yxabab 第一定义 到两定点21FF、的距离之和等于常数 2，即21|2MFMFa（212|aFF）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即(01)MFeed 范围 axa 且byb bxb 且aya 顶点 1,0a、2,0a 10,b、20,b 10,a、20,a 1,0b、2,0b 轴长 长轴的长2a 短轴的长2b 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 1,0Fc

6、、2,0F c 10,Fc、20,Fc 焦距 222122()FFccab 离心率 22222221(01)ccabbeeaaaa 准线方程 2axc 2ayc 焦半径 0,0()M x y 左焦半径：10MFaex 右焦半径：20MFaex 下焦半径：10MFaey 上焦半径：20MFaey 焦点三角形面积 1 2212tan()2MF FSbFMF 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHa （焦点）弦长公式 1,12,2(),()A x yB x y，22212121211()4ABkxxkxxx x 7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。8、设是双曲线上任一点，点到对应准线的距

7、离为，点到对应准线的距离为，则1212FFedd。9、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线 10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p 11、焦半径公式：若点00,x y在抛物线220ypx p上，焦点为，则02pFx；、若点00,xy在抛物线220ypx p上，焦点为，则02pFx；若点00,xy在抛物线220 xpy p上，焦点为，则02pFy；若点00,xy在抛物线220 xpy p 上，焦点为，则02pFy 12、抛物线的几何性质：关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB为过抛物线

8、22(0)ypxp焦点的弦，1122(,)(,)A x yB xy、，直线AB的倾斜角为，则 221212,;4px xy yp 22;sinpAB 以AB为直径的圆与准线相切；焦点对A B、在准线上射影的张角为2；112.|FAFBP 第三章：空间向量知识点：1、空间向量的概念：（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量（2）向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向 （3）向量的大小称为向量的模（或长度），记作（4）模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量（5）与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作（6）方向相同且模相等

9、的向量称为相等向量 2、空间向量的加法和减法：（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则 （2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点，作a，b，则ab 3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，与方向相同；当0时，与方向相反；当0时，为零向量，记为的长度是的长度的倍 4、设，为实数，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律 分配律：abab；结合律：aa 5、如果表示空间的有向线段

10、所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线 6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，0b b，/ab的充要条件是存在实数，使ab 7、平行于同一个平面的向量称为共面向量 8、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对，使xyC；或对空间任一定点，有xyC ；或若四点，共面，则1xyz C xyz 9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作a，b，则称为向量，的夹角，记作,a b两个向量夹角的取值范围是：,0,a b 10、对于两个非零向量和，若,2a b，则向量，互相垂直，记作ab 11、已知两个非零向量和，则cos,a b

11、a b称为，的数量积，记作a b即cos,a ba ba b零向量与任何向量的数量积为 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 222210,0 xyabab 222210,0yxabab 第一定义 到两定点21FF、的距离之差的绝对值等于常数，即21|2MFMFa（2102|aFF）第二定义 与 一 定 点 的 距 离 和 到 一 定 直 线 的 距 离 之 比 为 常 数，即(1)MFeed 范围 xa 或xa，yR ya 或ya，xR 顶点 1,0a、2,0a 10,a、20,a 轴长 实轴的长2a 虚轴的长2b 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 1,0Fc、2

12、,0F c 10,Fc、20,Fc 焦距 222122()FFccab 离心率 22222221(1)ccabbeeaaaa 准线方程 2axc 2ayc 渐近线方程 byxa ayxb 焦半径 0,0()M x y 在右支1020MFexaMFexa左焦：右焦：在左支1020MFexaMFexa 左焦：右焦：在上支1020MFeyaMFeya左焦：右焦：在下支1020MFeyaMFeya 左焦：右焦：焦点三角形面积 1 2212cot()2MF FSbFMF 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHa 图形 标准方程 22ypx 0p 22ypx 0p 22xpy 0p 22xpy 0p

13、 定义 与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在定直线上)顶点 0,0 离心率 1e 对称轴 轴 轴 范围 0 x 0 x 0y 0y 焦点,02pF,02pF 0,2pF 0,2pF 准线方程 2px 2px 2py 2py 焦半径 0,0()M x y 02pMFx 02pMFx 02pMFy 02pMFy 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HHp 焦点弦长 公式 12ABxxp 参数的几何意义 参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔 12、a b等于的长度a与在的方向上的投影cos,ba b的乘积 13 若，为非零向量，为单位向量，则有 1cos,e

14、 aa eaa e；20aba b；3a baba ba bab与 同向与 反向，2a aa，aa a；4cos,a ba ba b；5a ba b 14 量数乘积的运算律：1a bb a；2 aba bab；3abca cb c 15、空间向量基本定理：若三个向量，不共面，则对空间任一向量，存在实数组,x y z，使得pxaybzc 16、三个向量，不共面，则所有空间向量组成的集合是,p pxaybzc x y zR这个集合可看作是由向量，生成的，,a b c称为空间的一个基底，称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 17、设，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们

15、为单位正交基底），以，的公共起点为原点，分别以1e，2e，3e的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系xyz则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p 存在有序实数组,x y z，使得123pxeyeze把，称作向量在单位正交基底，下的坐标，记作,px y z此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标,x y z 18、设111,ax y z，222,bxy z，则（1）121212,abxxyyzz（2）121212,abxxyyzz （3）111,axyz（4）1 2121 2a bx xy yz z（5）若、为非零向量，则1 2121 200a

16、ba bx xy yz z （6）若0b，则121212/,ababxxyy zz（7）222111aa axyz（8）12121 2222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyz （9）111,x y z，222,xy z，则222212121dxxyyzz 19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示向量称为点的位置向量 20、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有ta，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点 2

17、1、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，为平面上任意一点，存在有序实数对,x y，使得xayb，这样点与向量，就确定了平面的位置 22、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量 23、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，则/abababR，0ababa b 24、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且a，则/aa0ana n，/aaanan 25、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，则/abab，0aba b 26、设异面直线，的夹角为，方向向量为，其夹角为，则有coscosa ba b 27、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有sincoslnln 28、设1n，2n是二面角l 的两个面，的法向量，则向量1n，2n的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角l 的平面角为，则1212cosnnnn 29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算 30、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为cos,ndnn 31、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为cos,ndnn