高中数学必修5_第一章_解三角形复习知识点总结与练习(老师版).pdf

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1、.专业.专注.高中数学必修高中数学必修 5 5第一章第一章 解三角形复习解三角形复习一一、知识点总结知识点总结【正弦定理正弦定理】1正弦定理:abc2R(R为三角形外接圆的半径).sin Asin BsinC2.正弦定理的一些变式：abc；,sin B,sin C2R2R2Ra a b b c c 2 2R Riiia 2Rsin A,b 2RsinB,b 2RsinC；（iv）sinsin A A sinsinB B sinsinC Ciabc sin AsinBsinC；iisin A 3两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对

2、角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）【余弦定理余弦定理】b2c2a2cos A 2bca2 b2c22bccos A2a2c2b2221余弦定理：b a c 2accosB2.推论：cosB.2acc2 b2a22bacosCb2a2c2cosC 2ab3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.【面积公式面积公式】已知三角形的三边为 a,b,c,abc1.S 1aha1absinC 1r(a bc)=2R2sinAsinBsinC（其中r为三角形内切圆半径）2224R2.2.设设p p 1 1(a a b b c c),S S

3、2 2p p(p p a a)()(p p b b)()(p p c c)(海伦公式)【三角形中的常见结论三角形中的常见结论】（1 1）A A B B C C (2)sin(A B)sinC,cos(A B)cosC,tan(A B)tanC,sinsinA A B BC CA A B BC C coscos,coscos sinsin;2 22 22 22 2.word 完美格式.专业.专注.（3）若A A B B C C a a b b c csinsin A A sinsinB B sinsinC C若sinsin A A sinsinB B sinsinC Ca a b b c cA

4、A B B C C（大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(5)锐角三角形锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值（6）C中，A,B,C 成等差数列的充要条件是B B 6060.(7)C为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且 a,b,c 成等比数列.二二、题型汇总题型汇总题型题型 1 1【判定三角形形状判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.a2b2

5、c2A是直角 ABC是直角三角形（2）在ABC中，由余弦定理可知:a2b2c2A是钝角 ABC是钝角三角形a2b2c2A是锐角ABC是锐角三角形（注意：A是锐角ABC是锐角三角形）(3)若sin2A sin2B，则 A=B 或A B 2.例 1.在 ABCABC中，c c 2 2b bcoscosA A，且(a a b b c c)()(a a b b c c)3 3abab，试判断 ABCABC形状.题型题型 2 2【解三角形及求面积解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形解三角形.例 2.在

6、 ABCABC中，a a 1 1，b b 3 3，A A 30300 0，求的值.word 完美格式.专业.专注.例 3.在 ABCABC中，内角A A,B B,C C对边的边长分别是a a,b b,c c，已知c c 2 2，C C （）若 ABCABC的面积等于3 3，求a a,b b；（）若sinsinC C sinsin(B B A A)2 2sinsin2 2A A，求 ABCABC的面积题型题型 3 3【证明等式成立证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左右，（2）右左，（3）左右互相推.例 4.已知 ABCABC中，角A A,B B,C C的对边分别为a a,b b,c c，求

7、证：a a b bcoscosC C c ccoscosB B.word 完美格式.3 3.专业.专注.题型题型 4 4【解三角形在实际中的应用解三角形在实际中的应用】实际问题中的有关概念：仰角俯角方位角方向角(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图 1)(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图 2)(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图 3)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向 北 偏 西 即 由 指 北 方 向 逆 时 针 旋 转 到 达 目 标 方 向 南 偏 西 等 其 他 方 向

8、 角 类似例 5如图所示，货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为 140的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？.word 完美格式.专业.专注.解三角形高考题精选解三角形高考题精选1ABC的三个内角为A、B、C，求当 A 为何值时，cosA2cos大值。BC取得最大值，并求出这个最2B CA解：由A B C,得B CA,所以有cos sin.22222cos A 2cos当sinA123B CAAA cos A 2sin1 2sin2

9、2sin 2(sin).2222222A1B C3,即A 时,cos A 2cos取得最大值.223222.。设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a=2bsinA。（）求 B 的大小；（）求cosAsinC的取值范围。解：（）由 a=2bsinA，根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA，所以sin B 由ABC为锐角三角形得B 1，2。6 A cos Asin A6（）cos AsinCcos Asin13 cos Acos Asin A 3sinA。223.word 完美格式.专业.专注.由ABC为锐角三角形知，2 A B，B。A，222263336所以

10、1333。由此有sinA3sinA 3，2322323 32，。23c5所以，cosA+sinC 的取值范围为3设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosBbcos A（）求tanAcotB的值；（）求tan(A B)的最大值abc解：由正弦定理得：=2R,sinAsinBsinca=2RsinA,b=2RsinB,c=2rsin C33acosBbcosA c，2RsinAcosB2RsinBcosA=2RsinC553sinAcosB sinBcosA=sin(A+B)533sinAcosB sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB55282 sinAcos

11、B=sinBcosA,两边同除以 sinBcosA555tanAcotB=4.由第知，tanA=4tanB,tanA=4tanB,而tan(AB)=tanAtanB3tanB=1+tanAtanB1+4tan2B31+4tanBtanB34当且仅且11=4tanB,tanB=时“”成立。tanB2224.在ABC中，内 角A、B、C的 对 边 长 分 别 为a、b、c，已 知a c 2b，且sin AcosC 3cos AsinC,求 b解解 法法 一一：在在ABC中中sin AcosC 3cos AsinC,则则 由由 正正 弦弦 定定 理理 及及 余余 弦弦 定定 理理a2b2c2b2c2

12、a2 3c,化化 简简 并并 整整 理理 得得：2(a2c2)b2.又又 由由 已已 知知有有:a2ab2bca2c2 2b4b b2.解得解得b 4或b 0(舍）.解法二解法二:.word 完美格式.专业.专注.由余弦定理得由余弦定理得:a2c2 b22bccos A.又又a c 2b,b 0。所以所以b 2ccos A2又又sin AcosC 3cos AsinC，22sin AcosC cos AsinC 4cos AsinCsin(AC)4cos AsinC，即即sinB 4cos AsinC由正弦定理得由正弦定理得sin B bsinC，c故故b 4ccos A由由，解得解得b 4。

13、5.已知VABC的内角A，B及其对边a，b满足ab acot AbcotB，求内角C解：由ab acot AbcotB及正弦定理得sin Asin B cos AcosBsin Acos A cosBsin B从而sin Acos4cos Asin4 cosBsin4sin Bcos4sin(A)sin(B)44又0 A B 故A44BA B 所以C 226.（12）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos(AC)cosB 1，a 2c，求C。.word 完美格式.专业.专注.7如图，在ABC中，ABC90，AB3，BC1，P为ABC内一点，BPC90.(1)若PB1，求PA；

14、2(2)若APB150，求 tanPBA.解：(1)由已知得PBC60，所以PBA30.在PBA中，由余弦定理得PA23故PA1172 3cos 30.4247.2(2)设PBA，由已知得PBsin.在PBA中，由正弦定理得化简得3cos4sin.所以 tan8.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2cosC(acosB bcos A)c.（）求C；（）若c 3sin，sin150sin(30)33，即 tanPBA.447，ABC的面积为3 3.求ABC的周长.2解解：（I）由已知及正弦定理的，2cosC(sin AcosB sin Bcos A)sinC，即2cosCsin(

15、A B)sinC，故2sinCcosC sinC，可得cosC（II）1，C 3213 3absinC，22由已知，又C 3，ab 6，.word 完美格式.专业.专注.由已知及余弦定理得，a2b2 2abcosC 7，故a2b213，从而(a b)25，ABC的周长为59.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D现测得27BCD，BDC，CD s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB解：在BCD中，CBD 由正弦定理得所以BC BCCDsinBDCsinCBDCDsinBDCs sinsinCBDsin()s tansinsin()在ABC中AB BC t

16、anACB 10如图,甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105的方向B1处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距10 2海里,问乙船每小时航行多少海里?解：如图，连结A1B2，A2B210 2，A1A22030 2 10 2，60A1A2B2是等边三角形，B1A1B210560 45，在A1B2B1中，由余弦定理得.word 完美格式.专业.专注.22B1B2 A1B12 A1B22A1B1 A1B2cos4522，2 20(10 2)22010 2 2002B1B210 2.因此乙船的速度的大小为10 260 30 2.20答：乙船每小时航行30 2海里.word 完美格式.