平面向量基本定理及坐标表示.pdf

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1、.-平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e e1，e e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a a，有且只有一对实数1、2，使a a1e e12e e2.其中，不共线的向量e e1，e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b(x1x2，y1y2)，a ab b(x1x2，y1y2)，2a a(x1，y1)，|a a|x21y1.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y

2、1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB|3.平面向量共线的坐标表示设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，其中b b0.a ab bx1y2x2y10.x2x12y2y12.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)在ABC中，向量AB，BC的夹角为ABC.()(3)若a a，b b不共线，且1a a1b b2a a2b b，则12，12.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()(5)若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b的充

3、要条件可表示成.()1(6)已知向量a a(1sin，1)，b b(，1sin)，若a ab b，则等于 45.()2x1y1x2y2-可修编.-2.已知点A(6,2)，B(1,14)，则与AB共线的单位向量为_.512512答案(，)或(，)13131313解析因为点A(6,2)，B(1,14)，所以AB(5,12)，|AB|13，1与AB共线的单位向量为(5,12)13|AB|512(，).13133.已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|22，且AOC，4设OCOAOB(R)，则的值为_.答案23AB解析过C作CEx轴于点E(图略).由AOC，知OECE2

4、，4所以OCOEOBOAOB，即OEOA，2所以(2,0)(3,0)，故.34.在ABCD中，AC为一条对角线，AB(2,4)，AC(1,3)，则向量BD的坐标为_.答案(3，5)解析ABBCAC，BCACAB(1，1)，BDADABBCAB(3，5).21|AC|5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足OCOAOB，则33|AB|_.-可修编.-答案1321解析OCOAOB，33111|AC|11OCOAOAOB(OBOA)，ACAB，.33333|AB|题型一平面向量基本定理的应用21例 1在ABC中，点P是AB上一点，且CPCACB，Q是BC的中点，AQ与CP33的交点为

5、M，又CMtCP，试求t的值.思维启迪根据题意可选择AB，AC为一组基底，将CM，CP线性表示出来，通过CMtCP键立关于t的方程组，从而求出t的值.21解CPCACB，333CP2CACB，即 2CP2CACBCP，2APPB，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示.A，M，Q三点共线，x设CMxCQ(1x)CACB(x1)AC，2xx而CBABAC，CMAB(1)AC.221又CPAPACABAC，3由已知CMtCP可得，2xx1AB(1)ACt(ABAC)，23-可修编.-xt23x21t3，解得t.4思维升华平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中

6、将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解.如图，在ABC中，AN13NC，P是BN上的一点，若APmAB211AC，则实数m的值为_.答案311解析设|BP|y，|PN|x，则APANNP14ACxxyBN，APABBPAByxyBN，yx得APxyxyAB4xyAC，令y4xy211，得y83x，代入得m311.题型二平面向量的坐标运算例 2已知A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(1)求AD2BD3BC；(2)设CM3CA，2BC，求MN及M、N点的坐标.思维启迪(1)直接计算AD、BD、BC的坐标，然后运算；(2)根据向量的坐

7、标相等列方程求点M，N的坐标.解(1)A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，AD(21,32)(3,5)，BD(22,31)(4,2)，BC(32,21)(1,1)，-可修编.-AD2BD3BC(3,5)2(4,2)3(1,1)(383,543)(14,6).(2)CM3CA，2BC，MNCM2BC3CA2BC3AC，由A、B、C、D点坐标可得AC(3,2)(1，2)(2,4).MN2(1,1)3(2,4)(4,10).设M(xM，yM)，N(xN，yN).又CM3CA，OMOC3(OAOC)，(xM，yM)(3,2)3(1，2)(3,2)(6，12).xM3，yM10，M(

8、3，10).又2BC，即ONOC2BC，(xN，yN)(3,2)2(1,1)，xN1，yN0，N(1,0).思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).设ABa a，BCb b，CAc c，且CM3c c，2b b，(1)求 3a ab b3c c；(2)求满足a amb bnc c的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN的坐标.解由已知得a a(5，5)，b b(6，3)，c c(1,8).(1)3a ab b3c c3(5，5)

9、(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).(2)mb bnc c(6mn，3m8n)，6mn5，m1，解得3m8n5，n1.(3)设O为坐标原点，CMOMOC3c c，OM3c cOC(3,24)(3，4)(0,20).-可修编.-M(0,20).又ONOC2b b，ON2b bOC(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2).MN(9，18).题型三向量共线的坐标表示例 3(1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_.(2)已知向量a a(3,1)，b b(1,3)，c c(k,7)，若(a ac

10、c)b b，则k_.思维启迪(1)根据向量共线列式求相关点的坐标；(2)根据向量共线求参数.答案(1)(2,4)(2)5解析(1)在梯形ABCD中，DC2AB，DC2AB.设点D的坐标为(x，y)，则DC(4,2)(x，y)(4x,2y)，AB(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，4x2x2，解得，故点D的坐标为(2,4).2y2y4(2)依题意得a ac c(3,1)(k,7)(3k，6)，又(a ac c)b b，3k6故，k5.13思维升华(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab

11、b的充要条件是x1y2x2y10；若a ab b(a a0)，则b ba a.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(1)已知向量a a(1,2)，b b(1,0)，c c(3,4).若为实数，(a ab b)c c，则_.(2)已知向量OA(3，4)，OB(6，3)，OC(5m，3m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是_.-可修编.-11答案(1)(2)m22解析(1)a a(1,2)，b b(1,0)，a ab b(1,2)(1,0)(1，2)，由于(a ab b)c c，且c c(3,4)

12、，14(1)60，解得.2(2)因为OA(3，4)，OB(6，3)，OC(5m，3m)，所以AB(3,1)，BC(m1，m).由于点A、B、C能构成三角形，所以AB与BC不共线，311而当AB与BC共线时，有，解得m，m1m21故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是m.2方法与技巧1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.2.平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b的充要条件是a ab b，这与x1y2x2y10 在本

13、质上是没有差异的，只是形式上不同.(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.失误与防 X1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.2.若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能x1y1x2y2-可修编.-等于 0，所以应表示为x1y2x2y10.一、填空题1.(2012XX 改编)若向量BA(2,3)，CA(4,7)，则BC_.答案(2，4)解析由于BA(2,3)，CA(4,7)，所以BCBAAC(2,3)(4，7

14、)(2，4).2.在ABC中，点P在BC上，且BP2PC，点Q是AC的中点，若PA(4,3)，PQ(1,5)，则BC_.答案(6,21)解析BC3PC3(2PQPA)6PQ3PA(6,30)(12,9)(6,21).113.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则 的值为_.ab1答案2解析AB(a2，2)，AC(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，1即ab2a2b0，所以 .ab24.如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，OPxOAyOB，且BP2PA，则x_，y_.答案213311222解析由题意知OPOBBP，又BP2PA，所以OPOBBAOB(OAOB

15、)333-可修编.-OAOB，所以x，y.5.已知A(3,0)，B(0，3)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30，OCOAOB，则实数的值为_.答案1解析由题意知OA(3,0)，OB(0,3)，则OC(3，3)，132313由AOC30知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为 150，333tan 150，即，1.3336.已知向量a a(1,2)，b b(x,1)，u ua a2b b，v v2a ab b，且u uv v，则实数x的值为_.答案12解析因为a a(1,2)，b b(x,1)，u ua a2b b，v v2a ab b，所以u u(1,2)2(x,1)(2x1,4

16、)，v v2(1,2)(x,1)(2x,3)，又因为u uv v，所以 3(2x1)4(2x)0，1即 10 x5，解得x.2127.(2013)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若DE1AB232AC(1，2为实数)，则12的值为_.1答案21212解析如图，DEDBBEABBCAB(ACAB)232316ABAC，则1，2，12.8.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p p(ac，b)，q q(ba，23162312ca)，且pqpq，则角C_.答案60解析因为pqpq，则(ac)(ca)b(ba)0，-可修编.-所以a2b2c2ab，a2b

17、2c212ab2，结合余弦定理知，cosC12，又 0C180，C60.二、解答题9.已知A(1,1)、B(3，1)、C(a，b).(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若AC2AB，求点C的坐标.解(1)由已知得AB(2，2)，AC(a1，b1).A、B、C三点共线，ABAC，2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)AC2AB，(a1，b1)2(2，2)，a14b14，解得a5b3，点C的坐标为(5，3).10.如图，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线.(1)设PGPQ，将OG用，OP，OQ表示；(2)设OPxOA，OQyOB，证明：11x

18、y是定值.(1)解OGOPPGOPPQOP(OQOP)(1)OPOQ.(2)证明一方面，由(1)，得OG(1)OPOQ(1)xOAyOB；另一方面，G是OAB的重心，OG23OM2312(OAOB)13OA13OB.-可修编.-1而OA，OB不共线，由，得1y3.1x33，解得1y3.x，1311 3(定值).xy备用题1.设向量a a，b b满足|a a|25，b b(2,1)，且a a与b b的方向相反，则a a的坐标为_.答案(4，2)解析a a与b b方向相反，可设a ab b(0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则 的最小值是_.ab答案8解析据已知得ABAC，又AB(a1

19、,1)，AC(b1,2)，2(a1)(b1)0，2ab1，122ab4a2b 12abab4 b4a42abb4a8，abb4a11当且仅当，即a，b 时取等号，ab4212 的最小值是 8.ab3.已知ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，CDrABsAC，则rs的值是_.-可修编.-答案0解析DBABAD，1CDABDBACABCDAC，2322CDABAC，CDABAC.23322又CDrABsAC，r，s，33rs0.14.已知A(7,1)、B(1,4)，直线yax与线段AB交于C，且AC2CB，则实数a_.2答案2解析设C(x，y)，则AC(x7，y1)，CB(1x,4y)，x72

20、1xAC2CB，y124yx3，解得.y31C(3,3).又C在直线yax上，213a3，a2.25.设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3A1A2(R R)，A1A4A1A2(R R)，且 2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知点C(c,0)，D(d,0)(c，dR R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是_.(填序号)C可能是线段AB的中点；D可能是线段AB的中点；C，D可能同时在线段AB上；C，D不可能同时在线段AB的延长线上.答案11解析依题意，若C，D调和分割点A，B，则有ACAB，ADAB，且 2.若C1111111是线段AB的

21、中点，则有ACAB，此时.又 2，所以 0，不可能成立.因此22不对，同理不对.-可修编.-11当C，D同时在线段AB上时，由ACAB，ADAB知 01,02，11与已知条件 2 矛盾，因此不对.1若C，D同时在线段AB的延长线上，则ACAB时，1，ADAB时，1，此时 1112，与已知 2 矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上.26.给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为.如图所示，3点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若OCxOAyOB，其中x，yR，求xy的最大值.解以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，13B(，)，22

22、2设AOC(0，)，则C(cos，sin)，3由OCxOAyOB，1cosxy2得3siny2所以xcos，323sin，ysin，33所以xycos3sin2sin()，62又0，所以当 时，xy取得最大值 2.337.已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OPOAtAB，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.解(1)OA(1,2)，AB(3,3)，-可修编.-OPOAtAB(13t,23t).若点P在x轴上，则 23t0，解得t23；若点P在y轴上，则 13t0，解得t13；若点P在第三象限，则13t0，23t0.解得t23.(2)若四边形OABP为平行四边形，则OPAB，13t3，23t3.该方程组无解，四边形OABP不能成为平行四边形.-可修编.