(新高考)2022版高考数学二轮复习第三部分讲重点解答题专练第7讲选修4-4坐标系与参数方程教学案理.pdf

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1、新高考新高考 20222022 版高考数学二轮版高考数学二轮复习第三局部讲重点解答题专复习第三局部讲重点解答题专练第练第 7 7 讲选修讲选修 4-44-4 坐标系与参数坐标系与参数方程教学案理方程教学案理第第 7 7 讲讲选修选修 4 44 4坐标系与参数方程坐标系与参数方程真真题题调调研研【例【例 1 1】2022全国卷2022全国卷 在直角坐标系在直角坐标系 x x1 1t t2 2，1 1t txOyxOy中，中，曲线曲线C C的参数方程为的参数方程为 4 4t t y y2 21 1t t 2 2(t t为参数为参数)以坐标原点以坐标原点O O为极点，为极点，x x轴的非负轴的非负半

2、轴为极轴建立极坐标系，半轴为极轴建立极坐标系，直线直线l l的极坐标方程的极坐标方程为为 2 2coscos 3 3sinsin11110.0.(1)(1)求求C C和和l l的直角坐标方程；的直角坐标方程；(2)(2)求求C C上的点到上的点到l l距离的最小值距离的最小值 y y 2 21 1t t2 2解：解：(1)(1)因为因为1 12 21，且1，且x x 1 1t t 2 2 2 22 2 1 1t t2 2 2 24 4t t 所以所以C C的直角坐标方程为的直角坐标方程为2 2 2 2 2 21 1，1 1t t 1 1t t x x 1(1(x x1)1)4 42 2y y2

3、 22 2l l的直角坐标方程为的直角坐标方程为 2 2x x 3 3y y11110.0.(2)(2)由由(1)(1)可可 设设C C的的 参参 数数 方方 程程 为为 x xcoscos，y y2sin2sin(为参数，为参数，)C C上的点到上的点到l l的距离为的距离为|2cos|2cos2 2 3sin3sin11|11|7 7 4cos4cos 11113 3 7 7.22当当时，时，4cos4cos 1111 取得最取得最3 3 3 3 小值小值 7 7，故，故C C上的点到上的点到l l距离的最小值为距离的最小值为 7.7.【例【例2 2】2022全国卷2022全国卷 在极坐标

4、系中，在极坐标系中，O O为极点，点为极点，点M M(0 0，0 0)()(0 00)0)在曲线在曲线C C：4sin4sin上，直线上，直线l l过点过点A A(4,0)(4,0)且与且与OMOM垂直，垂直，垂足为垂足为P P.(1)(1)当当0 0时，时，求求0 0及及l l的极坐标方程；的极坐标方程；3 33 3(2)(2)当当M M在在C C上运动且上运动且P P在线段在线段OMOM上时，上时，求求P P点轨迹的极坐标方程点轨迹的极坐标方程解：解：(1)(1)因为因为M M(0 0，0 0)在在C C上，上，当当0 03 3时，时，0 04sin4sin2 2 3.3.3 3由得由得|

5、OPOP|OAOA|cos|cos2.2.3 3设设Q Q(，)为为l l上除上除P P的任意一点连接的任意一点连接 OQOQ，在，在 RtRtOPQOPQ中，中，coscos|OPOP|2.2.3 3 经检验，经检验，点点P P 2 2，在曲线在曲线coscos 3 3 3 3 2 2 上上 所以，所以，l l的极坐标方程为的极坐标方程为coscos 3 3 2.2.(2)(2)设设P P(，)，在，在 RtRtOAPOAP中，中，|OPOP|OAOA|cos|cos4cos4cos，即即4cos4cos.4 4因为因为P P在线段在线段OMOM上，且上，且APAPOMOM，故，故的的 取值

6、范围是取值范围是，.2 2 4 4所所以以，P P点点轨轨迹迹的的极极坐坐标标方方程程为为 4cos4cos，.2 2 4 4【例【例 3 3】2022全国卷2022全国卷 如图，在极坐如图，在极坐 33 ，标系标系OxOx中，中，A A(2,0)(2,0)，B B 2 2，C C 2 2，4 4 4 4 D D(2(2，)，)，弧弧，所在圆的圆心分别是所在圆的圆心分别是(1,0)(1,0)，1 1，(1(1，)，曲线，)，曲线M M1 1是弧是弧，曲线，曲线M M2 2是弧是弧2 2 ，曲线，曲线M M3 3是弧是弧.(1)(1)分别写出分别写出M M1 1，M M2 2，M M3 3的极坐

7、标方程；的极坐标方程；(2)(2)曲线曲线M M由由M M1 1，M M2 2，M M3 3构成，假设点构成，假设点P P在在M M上，且上，且|OPOP|3 3，求，求P P的极坐标的极坐标解：解：(1)(1)由题设可得，弧由题设可得，弧，所在圆的所在圆的5 5极坐标方程分别为极坐标方程分别为2cos2cos，2sin2sin，2cos2cos.所以所以M M1 1的极坐标方程为的极坐标方程为 2cos2cos 00，M M2 2的极坐标方程为的极坐标方程为4 4 33 ，M M3 3的极坐标方程为的极坐标方程为2sin2sin 4 4 4 4 33 .2cos2cos 4 4(2)(2)设

8、设P P(，)，由题设及，由题设及(1)(1)知，知，假设假设 00，那么，那么 2cos2cos 3 3，解得，解得4 4；6 633假设假设，那么那么 2sin2sin 3 3，解得解得4 44 422或或；3 33 333假设假设，那么，那么2cos2cos 3 3，解，解4 455得得.6 66 6 综上，综上，P P的极坐标为的极坐标为 3 3，或或 3 3，或或6 6 3 3 22 55 3 3，或或 3 3，.3 3 6 6 【例【例 4 4】2022江苏卷2022江苏卷 在极坐标系中，在极坐标系中，两点两点A A 3 3，B B 2 2，直线，直线l l的方程为的方程为4 4

9、2 2 sinsin 3.3.4 4 (1)(1)求求A A，B B两点间的距离；两点间的距离；(2)(2)求点求点B B到直线到直线l l的距离的距离 解：解：(1)(1)设极点为设极点为O O.在在OABOAB中，中，A A 3 3，4 4 B B 2 2，由余弦定理，得，由余弦定理，得2 2 ABAB2 22 2 3 3 2 2 2323 2 2cocos s 5.5.4 4 2 2 (2)(2)因为直线因为直线l l的方程为的方程为sinsin 3 3，4 4 7 7 33那么直线那么直线l l过点过点 3 3 2 2，倾斜角为，倾斜角为.2 2 4 4 又又B B 2 2，所以点，所

10、以点B B到直线到直线l l的距离为的距离为2 2 33 2.2.(3(3 2 2 2 2)sin)sin 2 2 4 4模模拟拟演演练练1 1 2022南昌二模2022南昌二模 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy x x1 1t t，2 2中，中，直线直线l l的参数方程为的参数方程为 y y3 3t t2 2(t t为参为参数数)，以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x x轴非负半轴为极轴轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线建立极坐标系，曲线C C的极坐标方程为的极坐标方程为 2 2 151522 .2 2coscos2 20 0，点点P P的极坐标是的极坐标是，3 3 3 32

11、2(1)(1)求直线求直线l l的极坐标方程及点的极坐标方程及点P P到直线到直线l l的距离；的距离；8 8(2)(2)假设直线假设直线l l与曲线与曲线C C交于交于M M，N N两点，两点，求求PMNPMN的面积的面积 x x1 1t t，2 2解：解：(1)(1)由由 y y3 3t t，2 2 消去消去t t，得，得y y3 3x x，那么那么sinsin 3 3coscos，所以所以，3 3所以直线所以直线l l的极坐标方程为的极坐标方程为(3 3R)R)2 2 151522 到直线到直线l l的距离为的距离为点点P P，3 3 3 3 22 2 2 15152 2 15153 3

12、d dsinsin 3 3 3 33 32 2 3 35.5.2 2coscos2 20 0，(2)(2)由由，3 3 2 2得得2 29 92 20 0，设设M M，N N两点对应的极径分别为两点对应的极径分别为1 1，2 2，那么那么1 12 21 1，1 12 22 2，所所以以2 2|MNMN|1 12 2|1 12 2 4 41 12 23 3，1 11 1所所以以PMNPMN的的面面积积S SPMNPMN|MNMN|d d2 22 23 3 5 533 5 5.2 22 22022广州综合测试二2022广州综合测试二 在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，倾斜角为中，倾斜角为的直

13、线的直线l l的参数方程为的参数方程为 x x2 2t tcoscos，y y 3 3t tsinsin(t t为参数为参数)在以坐标原点在以坐标原点为极点，为极点，x x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线线C C的极坐标方程为的极坐标方程为2 2coscos8.8.(1)(1)求直线求直线l l的普通方程与曲线的普通方程与曲线C C的直角坐的直角坐标方程；标方程；(2)(2)假设直线假设直线l l与曲线与曲线C C交于交于A A，B B两点，两点，且且10102 2|ABAB|4 4 2 2，求直线，求直线l l的倾斜角的倾斜角解：解：(1)(1)解法一：因为

14、直线解法一：因为直线l l的参数方程为的参数方程为 x x2 2t tcoscos，y y 3 3t tsinsin(t t为参数为参数)，所以当所以当2 2时，直线时，直线l l的普通方程为的普通方程为x x2.2.当当时，时，直线直线l l的普通方程为的普通方程为y y 3 32 2tantan(x x2)2)将将x xy y，coscosx x代入代入2 2coscos8 8，得得x xy y2 2x x8.8.所以曲线所以曲线C C的直角坐标方程为的直角坐标方程为x xy y2 2x x8 80.0.解解 法法 二二：直直 线线l l的的 参参 数数 方方 程程 为为 x x2 2t

15、tcoscos，y y 3 3t tsinsin2 22 22 22 22 22 22 22 2(t t为参数为参数)，么么有有那那1111 x xsinsin2sin2sint tsinsincoscos，y ycoscos 3cos3cost tsinsincoscos，所以直线所以直线l l的普通方程为的普通方程为x xsinsiny ycoscos(2sin(2sin3cos3cos)0.0.将将2 2x x2 2y y2 2，coscosx x代入代入2 22 2coscos8 8，得得x xy y2 2x x8.8.所以曲线所以曲线C C的直角坐标方程为的直角坐标方程为x x2 2

16、y y2 22 2x x8 80.0.(2)(2)解法一：曲线解法一：曲线C C的直角坐标方程为的直角坐标方程为x x2 22 22 2y y2 2x x8 80 0，将直线将直线l l的参数方程代入曲线的参数方程代入曲线C C的直角坐标的直角坐标方程整理，得方程整理，得t t(2(2 3sin3sin2cos2cos)t t5 50.0.因为因为(2(2 3sin3sin2cos2cos)200200，所，所以可设该方程的两个根分别为以可设该方程的两个根分别为t t1 1，t t2 2，那么那么t t1 1t t2 2(2(2 3sin3sin2cos2cos)，t t1 1t t2 212

17、122 22 22 25.5.所以所以|ABAB|t t1 1t t2 2|t t1 1t t2 2 2 24 4t t1 1t t2 2 2 2 3sin3sin2cos2cos 20204 4 2 2，整理得整理得(3sin3sincoscos)2 23 3，故故 2sin2sin 3.3.6 6 2 2 77因为因为 00，所以，所以，6 66 66 622所以所以或或，解得，解得6 63 36 63 3或或.6 62 2所以直线所以直线l l的倾斜角为的倾斜角为或或.6 62 2解法二：解法二：由由(1)(1)得曲线得曲线C C是以是以C C(1,0)(1,0)为圆心，为圆心，3 3

18、为半径的圆直线为半径的圆直线l l与圆与圆C C交于交于A A，B B两点，两点，且且|ABAB|4 4 2 2，故圆心故圆心C C(1,0)(1,0)到直线到直线l l的距离的距离1313d d 4 4 2 2 2 2 1.1.3 3 2 2 2 2当当时，时，直线直线l l的普通方程为的普通方程为x x2 2，2 2符合题意符合题意 当当 0 0，时，时，直线直线l l的普的普2 2 2 2 通方程为通方程为x xtantany y 3 32tan2tan0 0，所以，所以d d|tan|tan0 0 3 32tan2tan|1 1，2 21 1tantan整理得整理得|3 3tantan

19、|1 1tantan，解得解得.6 6综上所述，直线综上所述，直线l l的倾斜角为的倾斜角为或或.6 62 23 3 2022太原一模2022太原一模 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy x xt tcoscos，中，中，曲线曲线C C1 1的参数方程为的参数方程为 y y1 1t tsinsin，2 2以以原点原点O O为极点，为极点，x x轴的非负半轴为极轴建立极坐轴的非负半轴为极轴建立极坐1414标系，曲线标系，曲线C C2 2的极坐标方程为的极坐标方程为2cos2cos.(1)(1)假设曲线假设曲线C C1 1的参数方程中的参数是的参数方程中的参数是，且且C C1 1与与C

20、C2 2有且只有一个公共点，求有且只有一个公共点，求C C1 1的普通方的普通方程；程；(2)(2)点点A A(0,1)(0,1)，假设曲线假设曲线C C1 1的参数方程中的的参数方程中的参数是参数是t t，00，且040，16161 1|APAP|1 1|AQAQ|的最大值为的最大值为 2 2 2.2.4 4 2022福建质检2022福建质检 在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，中，x x1 13 3t t，5 5直线直线l l的参数方程为的参数方程为 4 4 y y1 1t t5 5(t t为参为参数数)，以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x x轴的非负半轴为极轴的非负半轴为极轴建立

21、极坐标系，曲线轴建立极坐标系，曲线C C的极坐标方程为的极坐标方程为 2 2，点，点P P的极坐标为的极坐标为 2 2，.2 24 4 1 1sinsin 2 2(1)(1)求求C C的直角坐标方程和的直角坐标方程和P P的直角坐标；的直角坐标；(2)(2)设设l l与与C C交于交于A A，B B两点，线段两点，线段ABAB的中的中点为点为M M，求，求|PMPM|.|.2 22 22 22 2解：解：(1)(1)由由得得sinsin2 21 1sinsin2 22 2，将将x xy y，y ysinsin代入并整理代入并整理得，得，17172 22 22 2曲线曲线C C的直角坐标方程为的

22、直角坐标方程为 y y2 21.1.2 2设点设点P P的直角坐标为的直角坐标为(x x，y y)，因为点因为点P P的极的极 坐标为坐标为 2 2，4 4 x x2 2所所以以x xcoscos2 2coscos1 1，y y4 4sinsin 2sin2sin1.1.4 4所以点所以点P P的直角坐标为的直角坐标为(1,1)(1,1)x x1 13 3t t，5 5(2)(2)解法一：将解法一：将 4 4 y y1 1t t5 5 代入代入 2 2x x2 2y y2 21 1，并整理得，并整理得 4141t t2 2110110t t25250.0.110110 44125441258

23、0008 0000 0，故可设方程的两根为故可设方程的两根为t t1 1，t t2 2，那么那么t t1 1，t t2 2为为A A，B B对应的参数，且对应的参数，且t t1 1t t2 2110110.414118182 2依题意，点依题意，点M M对应的参数为对应的参数为所以所以|PMPM|t t1 1t t2 22 2，t t1 1t t2 255552 2.4141解法二：解法二：设设A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)，M M(x x0 0，y y0 0)，那么那么x x0 0 x x1 1x x2 22 2，y y0 0y y1 1y y2

24、22 2.x x1 13 3t t，5 5由由 4 4 y y1 1t t5 5 2 24 41 1消去消去t t，得得y yx x.3 33 34 41 1x x将将y yx x 代入代入 y y2 21 1，3 33 32 2并整理得并整理得 4141x x1616x x16160 0，因因为为(16)16)2 2441(441(16)16)2 288008800，16161616所以所以x x1 1x x2 2，x x1 1x x2 2.414141418 84 41 14 48 81 13 3所以所以x x0 0，y y0 0 x x0 0 ，41413 33 33 341413 3414119192 2 8 83 3 即即M M，.4141 4141所以所以|PMPM|8 8 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 4141 4141 3333 2 2 4444 2 25555 .4141 4141 41412020