第9章《振动》习题解答.pdf

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1、第 9 章振动习题解答第第 9 9 章振动习题解答章振动习题解答9.2.19.2.1一刚体可绕水平轴摆动.已知刚体质量为 m，其重心 C 和轴 O 间的距离为 h，刚体对转动轴线的转动惯量为 I.问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐运动？如果是，求固有频率，不计一切阻力.【解】刚体受力如图所示，规定逆时针为转动正方向，为与OC铅垂线（为平衡位置）的夹角，由对O的转动定理；I M mghsin因很小故sind2I2mgh 0dtd2mgh 02dtI02mgh/29.2.29.2.2轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为 m，轻弹簧的劲度系数为k1和k2，支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频

2、率.【解】以物体 m 为隔离体,水平方向受k1,k2的k1mk2弹性力F1,F2,以平衡位置为原点建立坐标系O x，水平向右为 x 轴正方向。设 m处于O点对两弹簧的伸长量为 0，即两个弹簧都处于原长状态。m 发生一小位移x 之后，弹簧k1的伸长量为 x，弹簧k2被压缩长也为 x。故物体受力为：Fx-k1x-k2x -(k1 k2)x（线性恢复力）m 相当于受到刚度系数为k k1k2的单一弹簧的作用由牛顿第二定律：d2xm2(k1k2)xdt2d xm2(k1k2)x 0dt9-1第 9 章振动习题解答02k1k2m9.2.39.2.3一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为k1.

3、若在振子和弹簧k1之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半.串联上的弹簧的劲度系数k2应是k1的多少倍？【解】未串时：平衡位置mg k1mg k1(x)md2xdt2d2mxdt2k1x 00k1m串联另一刚度系数为k2的弹簧：此时弹簧组的劲度系数为k?k1l1 mg k mg;2l2l2mg1 lk1k2kmg/(k1k2k1k21k2)l mg/kk k1k2/(k1k2)k1k20(k,前k1m0m1k2)已知：0 2k1k20,前k1m(k01k2)mk1mk 21k2m(k1k2)9-2第 9 章振动习题解答1解得：k2k139.2.49.2.4单摆周期的研究.（1）单摆悬挂于以加速度

4、 a 沿水平方向直线行驶的车厢内.（2）单摆悬挂于以加速度a 上升的电梯内.（3）单摆悬挂于以加速度a(g)下降的电梯内.求此三种情况下单摆的周期.摆长为.【解】（1）以车为参照系，摆锤为隔离体，受重力W，摆线张力T，惯性力f ma。平衡位置处有：T mg f 0由此可得平衡位置时摆线铅直夹角tga (1)g由平衡位置发生小角位移由牛顿第二定律:在切线方向的分量式mgsin()macos()ma即g(sincoscossin)a(coscossinsin)a角很小,故sin,cos1.于是得:g(sincos)a(cossin)a利用(1)式,gsin acos,d2则(gcosasin)a2

5、dtd2gcosasin即2 0dt因为sinag a22,cosgg a22所以0T 2gcosasing2a2g a229-3第 9 章振动习题解答(2)以电梯为参照系,惯性力与重力沿铅垂方向,同于的分析摆线为铅垂位置时为平衡态.T 2g a(3)同(2)的分析得:T 2g a9.2.59.2.5在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为103/s.设想各原子之间彼此以弹簧连结.一摩尔银的质量为108g且包含6.02?1023个原子.现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数.【解】由 9.2.2 知0k1k2m这里k1 k2 k0k 2

6、km12m0 354(N/m)29.2.69.2.6一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k=9.8N/m，物体质量为 20g 现将弹簧自平衡位置拉长2 2cm并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为 7.0m/s，求该振子的运动学方程(SI).【解】以平衡位置为原点建立坐标系 O-x,水平向右为正方向。弹簧振子的运动方程为:x Acos(0t),k 9.8(N/m),m 200g故09.8 7(rad/s)2001039-4第 9 章振动习题解答t 0时，x x 2 2(cm),7.0(cm/s)0002A x 2 3102(m)020 x0 Acost 0时，0.34(rad)0 A0sin弹簧振子的

7、运动方程：x 3102cos(7t 0.34)9.2.79.2.7质量为1.0 103g的物体悬挂在劲度系数为1.0 106dyn/cm的弹簧下面.（1）求其振动的周期.（2）在t=0时，物体距平衡位置的位移为+0.5cm，速度为+15cm/s，求其运动学方程.【解】以平衡位置为原点，建立坐标系 O-x，竖直向下为正方向。（1）T 2 2m 0.199(s)k0（2）设运动方程为：x Acos(0t)0k 31.6mx0Acost 0时，0 A0sinx0cos 0.726A即sin 0 0.688A0故 0.759(rad)43.49所以运动学方程为：x 6.89103cos(31.6t 0

8、.759)9.2.89.2.8（1）一简谐振动的运动规律为x=5cos(8t+)，若计时起点提前49-5第 9 章振动习题解答0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？（2）一简谐振动的运动学方程为x=8sin(3t-).若计时起点推迟 1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？（3）画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后t=0时旋转矢量的位置.【解】（1）x 5cos(8t)（1）4计时起点提前 0.5，则tt 0.5，代入（1）式，运动方程为：x 5cos8(t0.5)5cos8t4)44设计时起点提前t0秒，可使初相为零，即t t t0，代

9、入（1）式得：x 5cos(8t8t0)5cos(8t)4有8t04 0,即t032，即提前32秒时计时可使其初相为零。（2）x 8sin(3t)8cos(3t 3)（2）23计时起点提前t0秒时t t t0代入x 8cos(3t3t0)2若计时起点推迟一秒，则t0 1，此时初相为 3t0 33若要 3t0 0，需t0，即推迟秒计时时，可使初相为零。222（3）见图 a,bt 0 x 8cos(3t 3)23232x 5cos(8t)4t 0)45184xt 0 x 5cos(8t4)432x983)2t 0 x 8cos(3t3(a)(b)9-6第 9 章振动习题解答9.2.99.2.9画

10、出 某 简 谐 振 动 的 位 移 时 间 曲 线，其 运 动 规 律 为1x=2cos2(t+)（SI 制）4【解】1x 2cos 2(t)（SI制）41令t t 则有x 2cos2t为周期引的余弦曲线。411画出xt曲线，再根据t t的关系。将ox轴右移周期。44x(cm)21O041412t(s)9.2.109.2.10半径为R的薄圆环静止于刀口O上，令其在自身平面内作微小摆动.（1）求其振动的周期.（2）求与其振动周期相等的单摆的长度.（3）将圆环去2掉而刀口支于剩余圆弧的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比.3【解】（1）该装置为物理摆，利用 9.2.1 对一般刚体得到的公式0mghI

11、,T 2.m为薄圆球质量。h RImgh根据平行轴定理：moo2 mR2mR2 2mR2I I0 I02mR22RT 2 2mgRg（2）根据单摆公式T0 2g由T T0,可得 2R9-7第 9 章振动习题解答（3）该装置为物理摆，仍利用公式T 2Im gh由对称性可知，质心位于oo上。m为剩余圆弧的质量，hoc。根据平衡轴定理。I0 mR2 IC moc2 IC m(R h)2 IC mn mR2m(R h)2 mh2 2mRhI0故T 2即T T2mRh2R T 2,1.mghgT可知不管圆环去掉多少，只要刀口高于剩余圆弧中央，其振动周期均不变。9.2.11 1m 长的杆绕过其一端的水平轴

12、作微小摆动而成为物理摆.另一线度极小的物体与杆的质量相等.固定于杆上离转轴为 h 的地方.用T0表示未加小物体时杆子的周期，用T表示加上小物体以后的周期.（1）求当h=50cm和h=100cm时的比值T.（2）是否存在某一 h 值，可令T=T0，若有可能，求出T0h 值并解释为什么 h 取此值时周期不变.【解】（1）利用 9.2.1 得到的物理摆公式T 2Imghc设m0为杆质量，为杆长，未加小物体时，加小物体后，1I m02,m m0,hc321m03T0 2m0g2 2223g1I m032 m0h,m 2m0,hc2m0m0hh22m0421m02m0h2T 23h2m0g()429-8

13、第 9 章振动习题解答T3ghT02g()242132h23h222 h2T7100,h 50,即h 时，0.9352T08T4100,h 100,即h 时，1.155T03（2）由T1，即T023h22 2 h可得：h1讨论：由T0 22,h2 03222，此物理摆的等效单摆长度为。在h1处加另一物体，333g相当于使等效单摆的摆锤质量增加而摆长不变，故周期不变。h2 0，即小物体置于转动轴上，对运动无影响。故周期不变。9.2.12天花板下以0.9m长的轻线悬挂一个质量为0.9kg的小球.最初小球静止，后另有一质量为 0.1kg 的小球沿水平方向以 1.0m/s 的速度与它发生完全非弹性碰撞

14、。求两小球碰撞后的运动学方程.【解】以小球m1,m2为物体系。碰撞前后的过程始末，在过程中认为m1,m2仍在原小球m2静止处。水平方向动量守恒：m22x(m1m2)xm22xx 0.1(m/s)m1m2碰撞后成为一个单摆作简谐运动，设其运动方程为 Acos(0t)以碰后小球m1,m2获得速度 0.1(m/s)，而 0时为计时起点，即9-9第 9 章振动习题解答t 0时0 0,t0 x0.1(角速度）0.90g9.8 3.39A 02(020)0.033700由cos0，sin 0 1,A02故运动方程 0.0337cos(3.3t)在很小的条件下，x，所以用线量2描述的运动方程为x 0.03c

15、os(3.3t)。29.2.13求第四章习题 4.6.5 题中铅块落入框架后的运动学方程.【解】以物体m2为隔离体，根据自由落体的运动规律可知：m2落至盘上的速度为0 x2gh,h 0.30m在以框架m1，物体m2为物体系。完全非弹性碰撞前后为过程始末，因外力（弹簧弹性力，重力）内力，故可用动量守恒定律求近似解：m20 x(m1m2)x,m1 m2 0.2kg11所以x0 x2gh22设弹簧自由伸展的位置为 a，挂框架后平衡位置为 b,碰后平衡位置为 O，O即为坐标系 O-x 之原点.依题意因k00 ab0.10m0 m1g,k(0bo)(m1m2)gm1g0故bo 0.10m,而k,碰撞后系

16、统为一数值悬挂的弹簧振子，舍弃运动方程为x Acos(0t)以碰撞之后m1，m2的共同速度x运动，而处于 b 处时为计时起点，即：9-10第 9 章振动习题解答t 0 时 x0 0012gh则20m1gkg9.8 7.0(rad/s)m1m22m10200.202A x02020200h 0.20(m)由cos00 0.5,sin 0.866,4.19(rad)AA0运动方程为：x 0.2cos(7t 4.19)可选择适当的计时起点使初项为零，则运动方程可表示为x 0.2cos7t9.2.14第四章习题 4.6.5 题中的框架若与一个由框架下方沿铅垂方向飞来的小球发生完全弹性碰撞，碰后框架的运

17、动学方程是怎样的？已知小球 20g，碰框架前的速度为 10m/s.【解】以框架m1，小球m2为物体系。以框架平衡位置为原点建立坐标系 O-x，竖直向下为正方向：以完全弹性碰撞前后为过程始末，设小球的碰撞前速度为2x，小球框架碰后速度为2x,x，因外力内力，故可用动量守恒定律近似求解。又因碰撞为完全弹性碰撞，碰撞前后总动能相等。xm22x m1xm22111222mmm22x1x22x222m1 0.20kg,m2 0.020kg,2x 10(m/s)可以求得：x 20(m/s)11在一框架为隔离体。碰撞之后平衡位置不变，仍未 O 点。系统为一竖直悬挂的弹簧振子，设其运动方程为：x Acos(0

18、t)以碰撞后，框架获得速度x，而处于 O 点时为计时起点，即：t 0时，x0 0,0 x 20119-11第 9 章振动习题解答根据题意，弹簧刚性系数k mg0,0 0.1故0km120g09.89.9(rad/s)0.1020A x 2 0.184(m)00由cos知x0 0,sin 0 0AA021.57(rad)所以运动方程为x 0.184cos(9.9t)29.2.159.2.15质量为 m 的物体自倾角为的光滑斜面顶点处由静止而滑下，滑行了 远后与一质量为m 的物体发生完全非弹性碰撞.m 与劲度系数为 k 的弹簧相连.碰撞前m 静止于斜面上，如图所示.问两物体碰撞后作何种运动，并解出

19、其运动方程.已知m=m =5kg,k=490N/m,=30o,l=0.2m.【解】a 为弹簧自由伸展位置,b 为加m后平衡位置，O 为m,m发生完全非弹性碰撞后的平衡位置，以 O 为原点建立坐标系 O-x 如图：abk mgsin mgsinaok (mm)gsin 2mgsin (m m)mma故bo 1mgsin abkbOx以物体 m 为隔离体，物体 m 由斜面顶滑下，做匀加速运动滑行 远后速度为0 x20 x 2g sin,0 x2g sin再以m,m为物体系。以完全非弹性碰撞前后为过程始末，且近似认为碰撞过程中m,m位置不变。m0 x(mm)xm0 x12g sin故x0 xmm22

20、9-12第 9 章振动习题解答当m,m发生完全非弹性碰撞之后，沿 ox 方向的动力学方程为d2x2m2 k(xao)2mgsindtaok 2mgsind2x故2m2 kxdtm,m受线性恢复力，做简谐运动。根据定义0k490 7(rad/s)2m10m,m的运动方程为x Acos(0t)若以碰撞后弹簧压缩最甚时为计时起点，设此时坐标为x0则x x0cos0t x0 x0cos(00),0现在求x0。以弹簧自由伸长位置 a 为重力势能、弹性势能零点。在由碰撞后到达压缩最甚的过程中机械能守恒，有2112(mm)xkab(mm)gab sin221k(x0ao)2(mm)g(x0ao)sin2m2

21、g2sin2mg sinm2g2sin2kx mg sin,x0kkk220代数，x0 0.118(m).运动方程x0 0.118cos 7t9.3.19.3.1 1851 年佛科做证明地球自转的实验，摆长 69m，下悬重球 28kg.设其振幅为5.0o，求其周期和振动的总能量，重球最低处势能为零.【解】根据单摆周期公式T 2g 23.146.916.7(s)9.8以悬线铅直时为势能零点，则振动的总能量即等于摆锤在最高点时的势能E mg(1cos0)72(J)9.3.29.3.2弹簧下面悬挂质量为 50g 的物体，物体沿竖直方向的运动学方程为x=2sin10t，平衡位置为势能零点（单位时间：s

22、，长度单位：cm）.9-13第 9 章振动习题解答（1）求弹簧的劲度系数，（2）求最大动能，（3）总能量.【解】（1）根据弹簧振子02kmk m02 50103102 5.0(N/m)（2）由x 2sin10t 2cos(10t)2则dx 20sin(10t)dt2速度最大值max 20102(m/s)故最大动能Ekmax12mmax1.00103(J)2（3）总能即等于最大动能E Ek max1.00103(J)或E 12kA 1.00103(J)29.3.3若单摆的振幅为0，试证明悬线所受最大拉力等于mg(3-2cos0).【解】设摆锤质量为 m,摆长为，0为最大摆角。以摆锤为隔离体。受重

23、力W，张力T单摆的运动方程为0cos(0t)当摆角为时，沿法向方向的动力学方程为T mgcos m22T mgcosm单摆很小，故cos1T mg m2则Tmax mg mmax2而maxmax,00sin(0t),max009-14第 9 章振动习题解答故Tmax mg m2又0(00)2 mg m020gg mg(102)Tmax mg m0212又由mmax mg(1cos0)机械能守恒212max g(1cos0)212200 g(1cos0)212g0 g(1cos0)21201cos0,02 22cos02故Tmax mg(32cos0)9.4.1在电子示波器中，由于互相垂直的电场

24、的作用，使电子在荧光屏上的位移为x=Acosty=Acos(t+)求出=0,时的轨迹方程并画图表示.3 2【解】由x Acosty Acos(t)当 0时,x y.当3时,x Acosty Acos(t)3由垂直与水平方向简谐振动合成公式9-15第 9 章振动习题解答x2y22xy2cos(21)sin2(a1a2),得2A1A2A1A2x2y22xy2cos sin222AAA33x2y2xy33222,或 x y xyA 0222AAA44令x xcos45 ysin45（坐标轴转动45，x,y与x,y的关系式）y xsin45 ycos45 则上式可得：2x22y22123AA是一个长半

25、轴为32A，短半轴为A的椭圆。22yyxAAxAyAx当2时，x Acosty Acos(t)Asint2则x2 y2 A2是一个半径为A的圆。19.6.1某阻尼振动的振幅经过一周期后减为原来的，问振动频率比振动3系统的固有频率少几分之几？（弱阻尼状态）【解】弱阻尼振动x Aetcos(t)22029-16第 9 章振动习题解答Aet1由题意(tT)Ae1/3Aet取对数ln(tT)T ln3Ae 22Tln3故022(22)1ln3所以00222)1ln3ln31.49%22()1ln3即振动频率比振动系统的固有频率少 1.49%。9.6.29.6.2阻尼振动起初振幅A0=3cm，经过t=1

26、0s后振幅变为A1=1cm，问经过多长时间，振幅将变为A2=0.3cm？（弱阻尼状态）【解】弱阻尼振动x Aetcos(t)已知A0 A3A11 Aet1,t110固lnA0A lnt1t1 ln3AAeln3ln3t110故设t t2时，A2 Aet2 0.3由lnA0A lnt2t2 ln10A2Ae所以t2ln10ln10 2.10(s)(ln3)/109.7.19.7.1某受迫振动与驱动力同相位，求驱动力的频率.【解】受迫振动稳定状态的初位相为9-17第 9 章振动习题解答tg2022由于强迫力初位相为零，所以即为受迫振动稳定状态与强迫力的位相差。固tg2 0,为有限值，故有02209-18