第二章章末质量评估二.pdf

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1、 第二章 章末质量评估（二）第 2 页 (时间：100 分钟 满分：120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分)1.已知 a，b，c 都是正数，且 abbcca1，则下列不等式中正确的是()A.(abc)23 B.a2b2c22 C.1a1b1c2 3 D.abc13abc 解析 用 3(abbcca)(abc)23(a2b2c2)易得.答案 A 2.若 x1，则函数 yx1x16xx21的最小值为()A.16 B.8 C.4 D.非上述情况 解析 yx1x16x1x，令 tx1x2(因 x1).yt16t2 16t16t，即 t4 时取等号.答案 B 3.若

2、a，b，c(0，)，且 abc1，则 a b c的最大值是()A.2 B.32 C.3 D.53 解析(1 a1 b1c)2(121212)(abc)3 因此，a b c 3.当且仅当a1b1c1，即 abc13时取等号.答案 C 4.已知 a，b，c(0，)，Aa3b3c3，Ba2bb2cc2a，则 A 与 B 的大小关系为()A.AB B.AB 第 3 页 C.AB D.A 与 B 的大小不确定 解析 取两组数：a，b，c 与 a2，b2，c2，显然 a3b3c3是顺序和，a2bb2cc2a 是乱序和，所以 a3b3c3a2bb2cc2a，即 AB.答案 A 5.用数学归纳法证明“对于足够

3、大的自然数 n，总有 2nn3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值 n0最小应当是()A.1 B.大于 1 且小于 10 的某个自然数 C.10 D.11 答案 C 6.已知函数 f(x)22x，记数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1f(1)，当 n2 时，Sn2f（an）12(n25n2)，则通过计算a1，a2，a3的值，猜想an的通项公式an等于()A.n1 B.n1 C.n2 D.n2 答案 A 7.设 a，b，c，d 为正数，abcd1，则 a2b2c2d2的最小值为()A.12 B.14 C.1 D.34 解析 由柯西不等式(a2b2c2d2)(12121212)(abcd)

4、2，因为 abcd1，于是由上式得 4(a2b2c2d2)1，于是 a2b2c2d214，当且仅当 abcd14时取等号.答案 B 8.设 a1，a2，a3为正数，ma1a2a3a2a3a1a3a1a2，na1a2a3，则 m 与 n 的大小 第 4 页 关系为()A.mn B.mn C.mn D.mn 解析 不妨设 a1a2a30，于是1a11a21a3，a2a3a3a1a1a2.由排序不等式：顺序和乱序和，得：a1a2a3a3a1a2a2a3a11a2a2a31a3a3a11a1a1a2 a1a2a3.故选 B.答案 B 9.用数学归纳法证明“112131412n112n1n11n212n

5、”时，由nk的假设证明nk1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为()A.1k112k12k1 B.1k112k12k112k2 C.1k212k12k1 D.1k212k112k2 答案 D 10.用数学归纳法证明命题“1121312nn2(nN)”时，命题在 nk1时的形式是()A.1121312k1k12 B.1121312k12k1k12 C.1121312k12k112k2k12 第 5 页 D.1121312k12k112k212k1k12 答案 D 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)11.用数学归纳法证明1221321421（n1）2121n2，

6、假设 nk 时，不等式成立，则当 nk1 时，应推证的目标是_.解析 当 nk1 时，1221321421（k1）21（k2）2121k3.答案 1221321421（k2）2121k3 12.设 x22y21 则 u(x，y)x2y 的最小值是_；最大值是_.解析 由柯西不等式，有|u(x，y)|1x 2 2y|12x22y2 3得umin 3，umax 3分别在33，33，33，33时取得.答案 3 3 13.已知 a，b，c(0，)，且 abc1，则a1ab1bc1c的最小值是_.解析 abc1，1a1b1c(abc)1a1b1c3baabcbbccaac，1a1b1c32229，则a1

7、ab1bc1c9110.答案 10 14.设实数 a1，a2，a3满足条件 a1a2a32，则 a1a2a2a3a3a1的最大值为_.解析 由柯西不等式，(a21a22a23)(121212)(a1a2a3)24，于是 a21a22a2343.故 a1a2a2a3a3a112(a1a2a3)2(a21a22a23)122212(a21a22a23)第 6 页 2124343.答案 43 15.函数 ycos2x(1sin x)的最大值为_.解析 y(1sin2x)(1sin x)(1sin x)(1sin x)(1sin x)4(1sin x)1sin x21sin x241sin x1sin

8、 x3348273227 等号成立1sin x1sin x2sin x13.答案 3227 16.已知函数f(x)2xx2，数列an满足a11，anf(an1)(n1，nN)，则数列an的通项公式为_.答案 an2n1 三、解答题(本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分)17.利用柯西不等式解方程：2 1x 2x3 15.解 由柯西不等式(2 1x 2x3)2(2 1x 2 x32)2 22(2)2（1x）2 x322 61xx3265215.等号成立1x2x3221x4x322x23.经检验，x23为原方程的根.18.已知 a，b，c 为正数，求证：b2c2c2a2a2b2abc

9、abc.第 7 页 证明 根据所证明的不等式中 a，b，c 的“地位”的对称性，不妨设abc，则1a1b1c，bccaab，由排序原理：顺序和乱序和，得 bcacababcbcccaaabb，即b2c2c2a2a2b2abcabc，a，b，c 为正数，abc0，abc0.于是b2c2c2a2a2b2abcabc.19.设 a1，a2，an是几个不相同的正整数，用排序不等式证明：112131na1a222a332ann2.证明 设 b1，b2，bn是 a1，a2，an的一个排列，且满足 b1b21221321n2，故由排序不等式；得a1a222a332ann2b1b222b332bnn21121

10、223132n1n2112131n.20.已知集合 X1，2，3，Yn1，2，3，n(nN)，设 Sn(a，b)|a 整除 b 或 b 整除 a，aX，bYn，令 f(n)表示集合 Sn所含元素的个数.(1)写出 f(6)的值；(2)当 n6 时，写出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.解(1)Y61，2，3，4，5，6，S6中的元素(a，b)满足：若 a1，则 b1，2，3，4，5，6；若 a2，则 b1，2，4，6；若 a3，则 b1，3，6.所以 f(6)13.(2)当 n6 时，第 8 页 f(n)n2n2n3，n6t，n2n12n13，n6t1，n2n2n23，n6t2，n2n1

11、2n3，n6t3，n2n2n13，n6t4，n2n12n23，n6t5(tN).下面用数学归纳法证明：当 n6 时，f(6)62626313，结论成立；假设 nk(k6)时结论成立，那么 nk1 时，Sk1在 Sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：a.若 k16t，则 k6(t1)5，此时有 f(k1)f(k)3k2k12k233(k1)2k12k13，结论成立；b.若 k16t1，则 k6t，此时有 f(k1)f(k)1k2k2k31(k1)2（k1）12（k1）13，结论成立；c.若 k16t2，则 k6t1，此时有 f(k1)f(k)2k2k12k132(k1)2k12（k1）23，结论成立；d.若 k16t3，则 k6t2，此时有 f(k1)f(k)2k2k2k232 第 9 页(k1)2（k1）12k13，结论成立；e.若 k16t4，则 k6t3，此时有 f(k1)f(k)2k2k12k32(k1)2k12（k1）13，结论成立；f.若 k16t5，则 k6t4，此时有 f(k1)f(k)1k2k2k131(k1)2（k1）12（k1）23，结论成立.综上所述，结论对满足 n6 的自然数 n 均成立.