例析探索规律型问题.pdf

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1、例析探索规律型问题例析探索规律型问题江苏省泰兴市蒋华一中张国华近年来，中考试题中频频出现探索规律型问题，即在一定的条件状态下，探索有关数学对象所具有的规律性或不变性。这类题主要考查学生的合情推理能力和探索能力。一般来说，规律性问题有下列几类。一、数字中找规律一、数字中找规律例例 1 1（2007 年重庆市中考题）将正整数按如图所示的规律排列下去。若用有序实数对表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数 9，则（7，2）表示的实数是1第一排23第二排456第三排78910第四排分析：观察数字排列可知：每排数字是连续的自然数，每排数字的个数等于排数，而每排第一个数字比前面各排数字的个数之和

2、多1。故求（7，2）表示的数只需求出第7 排的第一个数，即1+2+3+4+5+6+1=22，所以（7，2）表示的实数为23。推而广之，第n 排的第一n2n 2n2n 2个数为 1+2+3+(n1)+1=，（n，m）表示的实数为（+m1）22二、图形中找规律二、图形中找规律例例 2 2（2007 年淮安市中考题）如图，由等圆组成的一组图中，第 1 个图由 1 个圆组成，第 2 个图由 7 个圆组成，第3 个图由 19 个圆组成，按照这样的规律排列下去，则第9 个图形由_个圆组成分析：观察图形的摆放和排列可知：第 n 个图形的中间一层有（2n1）个圆，最外层有 n 个圆，最外层到中间一层圆的个数逐

3、层增加1 个，且整个图形成轴对称分布，所以第n个图共有圆 2(n+n+1+n+2+2n2)+2n1=(3n23n+1)个。第 9 个图形有 217 个圆。三、数字与图形相结合中找规律三、数字与图形相结合中找规律例例 3 3、（2007 年苏州市中考题）如图，小明作出了边长为 1 的第 1 个正A1B1C1，算出了正A1B1C1的面积。然后分别取A1B1C1的三边中点 A2、B2、C2，作出了第 2 个正A2B2C2，算出了正A2B2C2的面积。用同样的方法，作出了第3 个正A3B3C3，算出了正A3B3C3的面积，由此可得，第10 个正A10B10C10的面积是（）AB1C2B3A2A3B2C

4、3C1A13193110313110()B()C()9D()44444242分析：依次所作的等边三角形与前一个等边三角形相似，且相似比是11，面积比为。24第一个三角形的面积为331，所以第 n 个三角形的面积为（）n1，故选 A444四、动态中找不变的规律四、动态中找不变的规律例例 4 4 如图，一等腰三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起，现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O（点 O 也是 BD 中点），按顺时针方向旋转。（1）如图，当 EF 与 AB 相交于点 M，GF 与 BD 相交于点 N 时，通过观察或测量BM、F

5、N 的长度，猜想 BM、FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺 GEF 旋转到如图所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 相交于点 M，线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。D（F）OGB（E）A图MEEBAG图BCDNONFCFOEMDCA（G）图分析：图是三角尺 GEF 与正方形 ABCD 的特殊位置，此时 BM=NF=0。在三角尺 GEF绕 O 点旋转过程中，保持保持不变的量有 OF=OB、F=OBA=450等，保持不变的关系是FON 和BOM 是对顶角，所以FNOBMO，所以 NF=BM。解题过程略.解答探索规律型问题，必须在认真审题的基础上，通过归纳、想象、猜想来进行规律的探索。在探索和递推时，往往是从少到多，从简单到复杂，或从特殊、简单的情况入手，通过比较和分析，找出每次变化过程中具有的规律性的东西，找到解题方法。