(全国通用)高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆第1课时学案.pdf

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1、9.51 1/19 9.5 椭 圆 最新考纲 考情考向分析 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac

2、，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ab0)y2a2x2b21(ab0)图形 性质 范围 axa byb aya bxb 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点坐标 A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)9.51 2/19 轴 长轴A1A2的长为 2a；短轴B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|2c 离心率 eca(0,1)a，b，c的关系 a2b2c2 知识拓展 点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内x20a2y20b21.题组一 思考辨析 1判断下列结论是

3、否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为 2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(5)y2a2x2b21(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()(6)x2a2y2b21(ab0)与y2a2x2b21(ab0)的焦距相等()题组二 教材改编 2P80A 组 T3(1)椭圆x210my2m21 的焦距为 4，则m等于()A4 B8 C4 或 8 D12 答案 C 解

4、析 当焦点在x轴上时，10mm20，10m(m2)4，m4.当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8.9.51 3/19 m4 或 8.3P49A 组 T5过点A(3，2)且与椭圆x29y241 有相同焦点的椭圆的方程为()A.x215y2101 B.x225y2201 C.x210y2151 D.x220y2151 答案 A 解析 由题意知c25，可设椭圆方程为x25y21(0)，则9541，解得10 或2(舍去)，所求椭圆的方程为x215y2101.4P49A 组 T6已知点P是椭圆x25y241 上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于 1，则点P

5、的坐标为_ 答案 152，1 或152，1 解析 设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0)由题意可得点P到x轴的距离为 1，所以y1，把y1 代入x25y241，得x152，又x0，所以x152，所以P点坐标为152，1 或152，1.题组三 易错自纠 5若方程x25my2m31 表示椭圆，则m的取值范围是()A(3,5)B(5,3)C(3,1)(1,5)D(5,1)(1,3)答案 C 解析 由方程表示椭圆知 5m0，m30，5mm3，解得3mb0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为 4

6、3，则C的方程为()A.x23y221 B.x23y21 C.x212y281 D.x212y241 答案 A 解析 AF1B的周长为 4 3，4a4 3，a 3，离心率为33，c1，ba2c2 2，椭圆C的方程为x23y221.故选 A.第 1 课时 椭圆及其性质 题型一 椭圆的定义及应用 1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线 9.51 5/19 C抛物线 D圆 答案 A 解析 由条件知|PM|PF|，|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P点的轨

7、迹是以O，F为焦点的椭圆 2过椭圆 4x2y21 的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长为()A2 B4 C8 D2 2 答案 B 解析 椭圆方程变形为y21x2141，椭圆长轴长 2a2，ABF2的周长为 4a4.3(2017承德模拟)椭圆x24y21 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()A.72 B.32 C.3 D4 答案 A 解析 F1(3，0)，PF1x轴，P 3，12，|PF1|12，|PF2|41272.4(2017呼和浩特模拟)已知F是椭圆 5x29y245 的

8、左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|PF|的最大值为_，最小值为_ 答案 6 2 6 2 解析 椭圆方程化为x29y251，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，|AF1|2，|PA|PF|PA|PF1|6，又|AF1|PA|PF1|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，|PA|PF|6 2，|PA|PF|6 2.思维升华 椭圆定义的应用技巧 9.51 6/19(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题 9.51 7/19 题型二 椭圆的标准方程

9、命题点 1 利用定义法求椭圆的标准方程 典例(1)(2018济南调研)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264y2481 B.x248y2641 C.x248y2641 D.x264y2481 答案 D 解析 设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为x264y2481.(2)在ABC中，A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长是 18，则顶点C的轨迹方程是()A.x225

10、y291(y0)B.y225x291(y0)C.x216y291(y0)D.y216x291(y0)答案 A 解析 由|AC|BC|188108 知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)设其方程为x2a2y2b21(ab0)，则a5，c4，从而b3.由A，B，C不共线知y0.故顶点C的轨迹方程是x225y291(y0)命题点 2 利用待定系数法求椭圆方程 典例(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点32，52，(3，5)，则椭圆方程为_ 答案 y210 x261 解析 设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)9.51 8/19 由 322m522n1，3m

11、5n1，解得m16，n110.椭圆方程为y210 x261.(2)过 点(3，5)，且 与 椭 圆y225x29 1 有 相 同 焦 点 的 椭 圆 的 标 准 方 程 为_ 答案 y220 x241 解析 方法一 椭圆y225x291 的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a 302 542 302 542，解得a2 5.由c2a2b2可得b24，所求椭圆的标准方程为y220 x241.方法二 所求椭圆与椭圆y225x291 的焦点相同，其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(3，5)在

12、所求椭圆上，52a232b21，即5a23b21.由得b24，a220，所求椭圆的标准方程为y220 x241.思维升华(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件 2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式 9.51 9/19 跟踪训练 设F1，F2分别是椭圆E：x2y2b21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_ 答案 x232y21 解析 设点B的坐标为(x0，y0)x2y2b21，F1(1b2，

13、0)，F2(1b2，0)AF2x轴，设点A在x轴上方，则A(1b2，b2)|AF1|3|F1B|，AF13F1B，(2 1b2，b2)3(x0 1b2，y0)x0531b2，y0b23.点B的坐标为531b2，b23.将B531b2，b23代入x2y2b21，得b223.椭圆E的方程为x232y21.题型三 椭圆的几何性质 典例(1)(2017安庆模拟)P为椭圆x216y2151 上任意一点，EF为圆N：(x1)2y24 的任意一条直径，则PEPF的取值范围是()A0,15 B5,15 C5,21 D(5,21)答案 C 解析 PEPF(PNNE)(PNNF)(PNNE)(PNNE)PN2NE

14、2|PN|24，因为ac|PN|ac，即 3|PN|5，所以PEPF的取值范围是5,21(2)(2016全国)已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.13 B.12 C.23 D.34 9.51 10/19 答案 A 解析 由题意知，A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)设M(c，m)，则E0，amac，OE的中点为D，则D0，am2ac，又B，D，M三点共线，所以m2acmac，即a3c，即e13.思维升华(1)

15、利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系(2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围 跟踪训练(1)(2017德阳模拟)已知椭圆x24y2b21(0bbc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于32

16、(ac)，则椭圆的离心率e的取值范围是_ 答案 35，22 解析 因为|PT|PF2|2bc2(bc)，而|PF2|的最小值为ac，所以|PT|的最小值为 ac2bc2.依题意，有 ac2bc232(ac)，9.51 11/19 所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以 5c22ac3a20，所以 5e22e30.又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以 2e21.联立，得35e22.9.51 12/19 1设F1，F2分别是椭圆x225y2161 的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为

17、()A4 B3 C2 D5 答案 A 解析 由题意知|OM|12|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064.2(2018开封模拟)曲线C1：x225y291 与曲线C2：x225ky29k1(kb0)的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为()A.12 B.2 C2 D.22 答案 D 解析 由题意得，椭圆的右焦点F为(c,0)，上顶点B为(0，b)因为圆(x1)2(y1)22 经过右焦点F和上顶点B，所以 c1212，1b122，解得bc2，则a2b2c28，解得a2 2，所以椭圆C的离心率eca22 222，故选 D.4(2017西宁模拟)设F1，F2分别为椭圆x24y2

18、1 的左、右焦点，点P在椭圆上，且|PF1PF2|2 3，则F1PF2等于()9.51 13/19 A.6 B.4 C.3 D.2 答案 D 解析 因为PF1PF22PO，O为坐标原点，|PF1PF2|23，所以|PO|3，又|OF1|OF2|3，所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以F1PF22.5(2017河北衡水中学二调)设椭圆x216y2121 的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足PF1PF29，则|PF1|PF2|的值为()A8 B10 C12 D15 答案 D 解析 由椭圆方程x216y2121，可得c24，所以|F1F2|2c4，而F1F2-

19、PF2PF1，所以|F1F2-|PF2PF1|，两边同时平方，得|F1F2-|2|PF1|22PF1PF2|PF2|2，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2-|22PF1PF2161834，根据椭圆定义，得|PF1|PF2|2a8，(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|64，所以 342|PF1|PF2|64，所以|PF1|PF2|15.故选 D.6(2018昆明调研)2016 年 1 月 14 日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进

20、入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；c1a1a1c2.其中正确式子的序号是()9.51 14/19 A B C D 答案 D 解析 观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|PF|，即式正确；由a1c1a2c20，c1c20 知，a1c1c1a2c2c2，即a1c1a1c2，c1a1c2a2，即式正确，式不正确故选 D.7焦距是 8，离心率等于 0.8 的椭圆的标准

21、方程为_ 答案 x225y291 或y225x291 解析 由题意知 2c8，ca0.8，解得 a5，c4，又b2a2c2，b29，当焦点在x轴上时，椭圆方程为x225y291，当焦点在y轴上时，椭圆方程为y225x291.8若椭圆x2a2y2b21(a0，b0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2y24 的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为_ 答案 x220y2161 解析 设切点坐标为(m，n)，则n1m2nm1，即m2n2n2m0.m2n24，2mn40，即直线AB的方程为 2xy40.直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，2c40，b40，解得

22、c2，b4，9.51 15/19 a2b2c220，椭圆方程为x220y2161.9(2017湖北重点中学联考)已知椭圆C1：x2a2y2b21(ab0)与椭圆C2：y2a2x2b21(ab0)相交于A，B，C，D四点，若椭圆C1的一个焦点F(2，0)，且四边形ABCD的面积为163，则椭圆C1的离心率e为_ 答案 22 解析 联立 x2a2y2b21，y2a2x2b21，两式相减得x2y2a2x2y2b2，又ab，所以x2y2a2b2a2b2，故四边形ABCD为正方形，4a2b2a2b2163，(*)又由题意知a2b22，将其代入(*)式整理得 3b42b280，所以b22，则a24，所以椭

23、圆C的离心率e22.10(2017湖南东部六校联考)设P，Q分别是圆x2(y1)23 和椭圆x24y21 上的点，则P，Q两点间的最大距离是_ 答案 7 33 解析 由圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径 3，设Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为 d x2y12 3y22y53y132163，1y1，当y13时，d取最大值4 33，P，Q两点间的最大距离为dmax 37 33.11(2017陕西西北大学附中期末)已知椭圆的长轴长为 10，两焦点F1，F2的坐标分别为9.51 16/19(3,0)和(3,0)(1)求椭圆的标准方程；

24、(2)若P为短轴的一个端点，求F1PF2的面积 解(1)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，依题意得 2a10，c3，因此a5，b4，所以椭圆的标准方程为x225y2161.(2)易知|yP|4，又c3，所以12|yP|2c124612.12已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标 解 椭圆方程可化为x2my2mm31，m0.mmm3mm2m30，mmm3，a2m，b2mm3，ca2b2mm2m3.由e32，得m2m332，m1.椭圆的标准方程为x2y2141，a1，b12，c32.椭圆的长轴长和短轴长分别为 2a2 和

25、2b1，焦点坐标为F132，0，F232，0，四个顶点的坐标分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B10，12，B20，12.13已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为()A.31 B2 3 9.51 17/19 C.22 D.32 答案 A 解析 过F1的直线MF1是圆F2的切线，F1MF290，|MF2|c，|F1F2|2c，|MF1|3c，由椭圆定义可得|MF1|MF2|c 3c2a，椭圆离心率e21 3 31.14已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率等于13，其焦点分

26、别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，sin Asin Bsin C_.答案 3 解析 在ABC中，由正弦定理得sin Asin Bsin C|CB|CA|AB|，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|CB|2a，而|AB|2c，所以sin Asin Bsin C2a2c1e3.15已知椭圆C1：x2a2y2b21(ab0)与圆C2：x2y2b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.12，1 B.22，32 C.22，1 D.32，1 答案 C 解析 从椭圆上长轴端点P向圆引两条切线PA，PB，则两切

27、线形成的APB最小 若椭圆C1上存在点P，所作圆C2的两条切线互相垂直，则只需APB90，即APO45，sin basin 4522.又b2a2c2，a22c2，e212，即e22.又 0e1，22eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2 2，|PF2|2 2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|PF1|，且3443，试确定椭圆离心率e的取值范围 解(1)由椭圆的定义知，2a|PF1|PF2|(2 2)(2 2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知得PF1PF2，因此 2c|F1F2|PF1|2|PF2|2 2 222 222 3

28、，即c 3，从而ba2c21.故所求椭圆的标准方程为x24y21.(2)如图，由PF1PQ，|PQ|PF1|，得|QF1|PF1|2|PQ|2 12|PF1|.由椭圆的定义知，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，所以|PF1|PQ|QF1|4a.于是(1 12)|PF1|4a，解得|PF1|4a1 12，故|PF2|2a|PF1|2a 1211 12.9.51 19/19 由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)24c2，从而4a1 1222a 1211 1224c2，两边除以 4a2，得 41 122 12121 122e2.若记t1 12，则上式变成e24t22t281t14212.由3443及 1 12关于的单调性，得 3t4，即141t13，进而12e259，即220，c0，且 a，c为常数：(1)若 ac，则集合 P 为椭圆