直线与方程知识点总结与例题.pdf

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1、直线与方程知识点总结直线与方程知识点总结1、直线的斜率与倾斜角(1)斜率两点的斜率公式：P(x1,y1),Q(x2,y2)，则kPQ斜率的范围：kR(2)直线的倾斜角范围：0，）（3）斜率与倾斜角的关系：k tan(90)注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；（2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。例题 1：设直线 l 过坐标原点,它的倾斜角为 a,如果将直线 L 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45得到直线 L1,求直线 L1 的倾斜角解：（1）当 0a135时,L1 的倾斜角为 a+45（2）135a180,则 a+45180,此时倾斜角为 a+4

2、5-180=a-1352、直线方程(1)点斜式：y y0 k(x x0)；适用于斜率存在的直线（2）斜截式：y kxb；适用于斜率存在的直线注：b为直线在y轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零y2 y1(x2 x1)x2 x1（3）两点式：x x1y y1(x1 x2,y1 y2)；适用于斜率存在且不为零的直线x2 x1y2 y1（4）截距式：xy1；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线ab（5）一般式：Ax ByC 0（A,B不同时为0）（6）特殊直线方程斜率不存在的直线（与y轴垂直）：x x0；特别地，y轴：x 0斜率为0的直线（与x轴垂直）：y y0；特别地，x轴：y 0

3、在两轴上截距相等的直线：（）y xb；（）y kx在两轴上截距相反的直线：（）y xb；（）y kx在两轴上截距的绝对值相等的直线：（）y xb；（）y xb；（）y kx例题 2：过点（1，2）的直线 l 与 x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线 l 的方程是_1解：3、平面上两直线的位置关系及判断方法（1）l1:y k1xb1;l2:y k2xb2平行：k1 k2且b1 b2（注意验证b1 b2）重合：k1 k2且b1 b2相交：k1 k2特别地，垂直：k1k2 1（2）l1:A1x B1y C1 0;l2:A2x B2y C2

4、 0平行：A1B2 A2B1且A1C2 A2C1（验证）重合：A1B2 A2B1且A1C2 A2C1相交：A1B2 A2B1特别地，垂直：A1A2 B1B2 0（3）与直线Ax ByC 0平行的直线可设为：Ax Bym 0与直线Ax ByC 0垂直的直线可设为：Bx Ay n 0例题 3：若两条直线与互相平行，则 等于_.解：两直线互相平行，.4、其他公式（1）平面上两点间的距离公式：A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB(x21 x2)(y21 y2)1（2）线段中点坐标公式：A(x1,y1),B(x2,y2)，则A,B中点的坐标为(x1 x2y1 y2,)22（3）三 角 形 重 心

5、坐 标 公 式：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则 三 角 形ABC的 重 心 坐 标 公 式 为：(x1 x2 x3y1 y2 y3,)33（4）点P(x0,y0)到直线l:Ax ByC 0的距离公式：d Ax0 By0CA B22（5）两平行线l1:Ax By C1 0;l2:Ax By C2 0(C1 C2)间的距离：d 直线中x,y的系数统一）例题 4：直线与直线的距离为_C2C1A B22（用此公式前要将两解：由两平行直线的距离公式可得(注意两直线的系数必须化为相同)，.（6）点A关于点P的对称点B的求法：点P为A,B中点（7）点A关于直线l的对称点B的求法：利

6、用直线AB与直线l垂直以及AB的中点在直线l上，列出方程组，求出点B的坐标。例题 5：已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为_.解：因为点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,所以直线 l 是线段 PQ 的垂直平分线；由线段PQ 的中点坐标为（2，3），例题 6：已知直线的坐标为.解：如图，作关于直线，由直线方程的点斜式得：即和两点，若直线 上存在点使得最小，则点的对称点，连结交直线于，则点即为使最小的.，设，则即，1（二）、圆1、圆的方程（1）圆的标准方程：(xa)(y b)r，其中(a,b)为圆心，r为半径（2）圆 的 一 般 方 程：

7、x y Dx Ey F 0(D E 4F 0)，其 中 圆 心 为(2222222DE,)，半 径 为221D2 E24F(只有当x2,y2的系数化为 1 时才能用上述公式)2注意：已知圆上两点求圆方程时，注意运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。2、直线与圆的位置关系(1)直线l:Ax ByC 0，圆C:(xa)(y b)r，记圆心C(a,b)到直线l的距离d 直线与圆相交,则0 d r或方程组的 0直线与圆相切，则d r或方程组的 0直线与圆相离，则d r或方程组的 0（2）直线与圆相交时，半径r，圆心到弦的距离d，弦长l，满足：l 2 r2d2（3）直线与圆相切时，切线的求法

8、：（）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直；（）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为y kxb，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b的值；（）已知过圆外的点P(x0,y0)求圆C:(xa)(y b)r的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：y y0 k(x x0)，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为x x0，验证圆心到切线距离是否等于半径。由圆外点P(x0,y0)向圆C:(xa)(y b)r引切线，记P,C两点的距离为d，则切线长l d2r2（4）直线与圆相离时，圆心到直线距离

9、记为d，则圆上点到直线的最近距离为d r，最远距离为d r3、两圆的位置关系22222222圆C1:(xa1)(y b1)r1，圆C2:(xa2)(y b2)r2，两圆圆心距离d(a1a2)(b1b2)222Aa BbCA B22222222(1)两圆相离，则d r1r2（2）两圆相外切，则d r1r21（3）两圆相交，则r1r2 d r1r22222注：圆C1:x y D1x E1y F1 0，圆C2:x y D2x E2y F2 0相交，则两圆相交弦方程为：(D1 D2)x(E1 E2)y(F1 F2)0（4）两圆相内切，则d r1r2（5）两圆内含，则0 d r1r2特别地，当d 0时，两圆为同心圆1