(精品构造函数法在高考解导数和数列问题.pdf

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1、 构造函数法在高考解导数和数列问题 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 用构造函数法给出两个结论的证明（1）构造函数()sinf xxx，则()1 cos0fxx，所以函数()f x在(0,)上单调递增，()(0)0f xf所以sin0 xx，即sin xx（2）构造函数()ln(1)f xxx，则1()1011xfxxx 所以函数()f x在(0,)上单调递增，()(0)0f xf，所以ln(1)xx，即ln(1)xx 要证111,nen两边取对数，即证11ln 1,1nn 事实上：设11,tn则1(1),1ntt 因此得不等式1ln1(1)ttt 构

2、造函数1()ln1(1),g tttt下面证明()g t在(1,)上恒大于 0 211()0,g ttt()g t在(1,)上单调递增，()(1)0,g tg 即1ln1,tt 11ln 1,1nn 111,nen 以上两个重要结论在高考中解答与导数有关的命题有着广泛的应用例如：2009 年广东 21，2008 年山东理科 21，2007 年山东理科 22 1【09 天津文】10设函数()f x在 R 上的导函数为()fx，且22()()f xxfxx，下面的不等式在 R 上恒成立的是 A0)(xf B0)(xf Cxxf)(Dxxf)(【答案】A【解析】由已知，首先令0 x得0)(xf，排除

3、 B，D 令2()()g xx f x，则()2()()g xxf xxfx，最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 当0 x 时，有2()2()()()0g xf xxfxxg xx，所以函数()g x单调递增，所以当0 x 时，()(0)0g xg，从而0)(xf 当0 x 时，有2()2()()()0g xf xxfxxg xx，所以函数()g x单调递减，所以当0 x 时，()(0)0g xg，从而0)(xf综上0)(xf故选 A【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力 2【09 辽宁理】

4、21（本小题满分 12分）已知函数21()(1)ln2f xxaxax，1a （）讨论函数()f x的单调性；（）证明：若5a，则对任意12,(0,)x x，12xx，有1212()()1f xf xxx 解：（）()f x的定义域为(0,)211(1)(1)()axaxaxxafxxaxxx 2 分（i）若1 1a 即2a，则2(1)()xfxx，故()f x在(0,)单调增加（ii）若1 1a，而1a，故12a，则当(1,1)xa时，()0fx；当(0,1)xa及(1,)x时，()0fx 故()f x在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加（iii）若1 1a，即2a，同理

5、可得()f x在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加（II）考虑函数()()g xf xx21(1)ln2xaxaxx 则 211()(1)2(1)1(1 1)aag xxaxaaxx 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 由于15,a故()0g x，即()g x在(0,)单调增加，从而当120 xx时有 12()()0g xg x，即1212()()0f xf xxx，故1212()()1f xf xxx，当120 xx时，有12211221()()()()1f xf xf xf xxxxx 12 分 3【09 全国理】22（本小题满分

6、 12 分）设函数 21f xxalnx有两个极值点12xx，且12xx（I）求a的取值范围，并讨论 f x的单调性；（II）证明：21224lnf x【解】（I）由题设知，函数 f x的定义域是1,x 222,1xxafxx 且 0fx有两个不同的根12xx、，故2220 xxa的判别式 480a，即 1,2a 且 12112112,.22aaxx 又11,x 故0a 因此a的取值范围是1(0,)2 当x变化时，()f x与()fx的变化情况如下表：因此()f x在区间1(1,)x和2(,)x 是增函数，在区间12(,)x x是减函数 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有

7、侵权请联系网站删除（II）由题设和知 22210,2(1),2xaxx 于是 2222222(1)1f xxxx lnx 设函数 22(1)1,g tttt lnt 则 2(1 2)1g ttt lnt 当12t 时，()0g t；当1(,0)2t 时，0,g t故 g t在区间1,0)2是增函数 于是，当1(,0)2t 时，11 2 2().24lng tg 因此 221 2 2()4lnf xg x 52009 届山东省德州市高三第一次练兵（理数）21（本小题满分 12 分）已知函数xaxxfln)(2在2,1(是增函数,xaxxg)(在（0,1）为减函数（1）求)(xf、)(xg的表达式

8、；（2）求证：当0 x时,方程2)()(xgxf有唯一解；（3）当1b时,若212)(xbxxf在x 1,0(内恒成立,求b的取值范围 解：（1）,2)(xaxxf依题意2,1(,0)(xxf,即22xa,2,1(x 上式恒成立,2a 1 分 又xaxg21)(,依题意)1,0(,0)(xxg,即xa2,)1,0(x 上式恒成立,.2a 2 分 由得2a 3分 .2)(,ln2)(2xxxgxxxf 4 分（2）由（1）可知,方程2)()(xgxf,.022ln22xxxx即 设22ln2)(2xxxxxh,1122)(xxxxh则 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权

9、请联系网站删除 令0)(xh,并由,0 x得,0)222)(1(xxxxx解知.1x5 分 令,0)(xh由.10,0 xx解得 6分 列表分析：x（0,1）1（1,+）)(xh-0+)(xh 递减 0 递增 可知)(xh在1x处有一个最小值 0,7 分 当10 xx且时,)(xh0,0)(xh在（0,+）上只有一个解 即当 x0 时,方程2)()(xgxf有唯一解 8 分（3）设223122()2ln2()220 xxxbxxxbxxx则,9 分()x在(0,1为减函数min()(1)1210 xb 又1b 11 分 所以：11b为所求范围 12分 7山东省滨州市 2009 年 5 月高考模

10、拟试题（理数）20（本题满分 12）已知函数2()ln.f xaxx（）求()f x的单调区间；（）当0a 时，设斜率为k的直线与函数()yf x相交于两点1122(,)(,)A x yB xy、21()xx，求证：121xxk 解：（）略（）当0a 时，()ln.f xx 以下先证11xk，21212121lnln0,yyxxkxxxx 所以只需证21211lnln1xxxxx，即 2212111ln1.xxxxxxx 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 设()ln1(1)tttt ，则1()10(1)ttt 所以在(1,)t时，()t为减函数，()(

11、1)0(1)tt 即ln1(1)ttt 又211xx，2211ln1xxxx成立，即11xk 同理可证21xk 121xxk 9山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地 2009 届高三 5 月联考 22（本题满分 14分）已知函数1()lnsing xxx在1,上为增函数，且(0,)，1()lnmf xmxxx，mR（1）求的取值范围；（2）若()()f xg x在1,上为单调函数，求m的取值范围；（3）设2()eh xx，若在 1,e上至少存在一个0 x，使得000()()()f xg xh x成立，求m的取值范围 解：（1）由题意，211()0sing xxx 在1,上恒成立，即2sin10si

12、nxx (0,),sin0故sin10 x 在1,上恒成立，2 分 只须sin1 10 ，即sin1，只有sin1结合(0,),得24 分（2）由（1），得()()2ln.mf xg xmxxx222()().mxxmf xg xx()()f xg x在1,上为单调函数，220mxxm或者220mxxm在1,恒成立 6 分 220mxxm等价于2(1)2,mxx即22,1xmx 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 而2222,max11111xmxxxxx 8 分 220mxxm等价于2(1)2,mxx即221xmx在1,恒成立，而220,1,01xmx 综上，m的取值范围是,01,10分（3）构造函数2()()()(),()2ln.meF xf xg xh x F xmxxxx 当0m 时，1,0mxe mxx，22ln0exx，所以在 1,e上不存在一个0 x，使得000()()()f xg xh x成立 当0m 时，22222222().memxxmeF xmxxxx 12 分 因为 1,xe所以220ex，20mxm，所以()0F x在 1,e恒成立 故()F x在 1,e上单调递增，max4()4F xmee，只要440mee，解得24.1eme 故m的取值范围是24,.1ee 14 分