普陀区高三数学二模理科.pdf

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1、数学（理科）试卷 1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有 23 道题，满分 150 分.考试时间 120 分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据.一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得 4 分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1若复数iiiz1（是虚数单位），则.2若集合40,tan|xxyyA，02|2xxxB，则BA.3【理科】方程1)4(log)1(log42xx的解x.4【理科】若向量),1(xa，)

2、1,2(b，且ba，则|ba.5【理科】若0a，在极坐标系中，直线2)3cos(与曲线a相切，则实数a.6【理科】若偶函数)(xfy(Rx)满足条件：)1()(xfxf，则函数)(xf的一个周期为.7【理科】若为曲线tansecyx（为参数）上的动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是.8【理科】某质量监测中心在一届学生中随机抽取 39 人，对本届学生成绩进行抽样分析.统计分析的一部分结果，见下表:统计组 人数 平均分 标准差 组 组 根据上述表中的数据，可得本届学生方差的估计值为(结果精确到).9【理科】等比数列na的前项和为，若对于任意的正整数，均有)(limknnkSSa成立，则

3、公比q.10【理科】在一个质地均匀的小正方体六个面中，三个面标 0，两个面标 1，一个面标 2，将这个小正方 体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则E.11【理科】如图所示，在一个)12()12(nn(Nn且2n)(nf表示涂白色网格的个数与涂黑色网格的个数的比值，则)(nf的最小值为.12【理科】若三棱锥ABCS 的底面是边长为的正三角形，且AS平面SBC，则三棱锥ABCS 的体积的最大值为.13若表示nn阶矩阵nna25191410181396128537421中第行、第列的元素（、nj,3,2,1），【理科】则nna（结果用含有的代数式表示）.14【理科】已知函数0,ln0,2)(2

4、xxxxxxf，若不等式1|)(|axxf恒成立，则实数的取值范围是.二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中.每题选对得 5 分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15.下列命题中，是假命题的为（）)(A平行于同一直线的两个平面平行.)(B平行于同一平面的两个平面平行.)(C垂直于同一平面的两条直线平行.)(D垂直于同一直线的两个平面平行.16.【理科】已知曲线:122 ymx（1m）和:122 ynx（0n）有相同的焦点，分别为、,点 是和

5、的一个交点,则21FMF的形状是（）)(A锐角三角形.)(B 直角三角形.)(C钝角三角形.)(D随、的值的变化而变化.17.若函数axxxf2)(，则使得“函数)(xfy 在区间)1,1(内有零点”成立的一个必要非充分条件是（）)(A241a.)(B241a.)(C20 a.)(D041a.18.对于向量iPA（ni,2,1），把能够使得|21nPAPAPA取到最小值的点称为（ni,2,1）的“平衡点”.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点,延长至,使得CEBC，联结AE,分别交BD、于、两点.下列结论中，正确的是（）)(A、的“平衡点”必为.)(B、的“平衡点”为、的中点.)(C、的“平

6、衡点”存在且唯一.)(D、的“平衡点”必为.三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19、(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分 如图，在xoy平面上，点)0,1(A，点在单位圆上，AOB（0）第 18题图 第 11题图（1）【理科】若点)54,53(B，求)42tan(的值；（2）若OCOBOA，四边形OACB的面积用表示，求OCOAS的取值范围.20、(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 如图，已知AB是圆柱1O

7、O底面圆的直径，底面半径1R，圆柱的表面积为；点在底面圆 上，且直线CA1与下底面所成的角的大小为.（1）【理科】求点到平面CBA1的距离；（2）【理科】求二面角CBAA1的大小（结果用反三角函数值表示）.21、(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 已知函数12)(xxf的反函数为)(1xfy，记)1()(1xfxg.（1）求函数)()(21xgxfy的最小值；（2）【理科】若函数)()(2)(1xgmxfxF在区间),1 上是单调递增函数，求实数的取值范围.22、（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第（1）小题 4 分，第（2

8、）小题 6 分，第（3）小题 6 分 已知曲线:xy42，直线经过点)2,0(且其一个方向向量为),1(kd.（1）若曲线的焦点在直线上，求实数的值；（2）当1k时，直线与曲线相交于、两点，求|AB的值；（3）当（0k）变化且直线与曲线有公共点时，是否存在这样的实数,使得点)0,(aP关于直线的对称点),(00yxQ落在曲线的准线上.若存在,求出的值；若不存在，请说明理由.23、（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8 分.用记号niia0表示naaaaa3210，niinab02，其中Ni，*Nn.（1）设nnnnnkkxaxa

9、xaxaax221212221021)1(（Rx），求的值；（2）若，成等差数列，求证：niiniCa0102)(nnaa；（3）【理科】在条件（1）下，记niiniinCbd1)1(1，且不等式nnbdt)1(恒成立，求实数的取值范围.普陀区高三数学质量调研卷（理）参考答案 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得 4 分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1.i1；2.1,0(；3.【理科】；4.【理科】10；5.【理科】；6.【理科】1 等；7.【理科】4122 yx；8.【理科】；9.【理科】21；10.【理科】8

10、3；11.【理科】54；12.【理科】21；13.【理科】1222 nn；二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中.每题选对得 5 分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.题号 15 16 17 18 答案 A B A D 三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19、(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分【解】（1）【理科】由于)54,53(B

11、，AOB，所以53cos，54sin 253154cos1sin2tan 于是)42tan(321212tan12tan1（2）sinsin11 由于)0,1(OA,)sin,(cosOB7 分，所以)sin,cos1(OBOAOC cos1sin0)cos1(1OCOA9 分 OCOAS1)4sin(21cossin（0）由于4544，所以1)4sin(22，所以120OCOAS 20、(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分【解】（1）【理科】设圆柱的母线长为，则根据已知条件可得，8222RlRS全，1R，解得3l 因为AA1底面ACB

12、，所以AC是CA1在底面ACB上的射影，所以CAA1是直线CA1与下底面ACB所成的角，即CAA1 第 19题图 第 22题图 第 20 题图 第 19题图 第 20题图 在直角三角形ACA1中，31AA，CAA160，3AC.AB是底面直径，所以6CAB.以为坐标原点，以AB、1AA分别为、轴建立空间直角坐标系如图所示：则)0,0,0(A、)0,23,23(C、)3,0,0(1A、)0,2,0(B,于是)0,23,23(AC,)3,2,0(1BA,)0,21,23(CB 设平面CBA1的一个法向量为),(zyxn，则03202123001zyyxBAnCBn，不妨令1z，则)1,23,23(

13、n，所以到平面CBA1的距离232|4943|nACnd 所以点到平面CBA1的距离为23。（2）【理科】平面ABA1的一个法向量为)0,0,1(1n 由（1）知平面CBA1的一个法向量)1,23,23(2n 二面角CBAA1的大小为，则43223|cos|2121nnnn 由于二面角CBAA1为锐角，所以二面角CBAA1的大小为43arccos 21、(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分【解】（1）由12 xy得)1(log2yx，即)1(log)(21xxf（1x）)1()(1xfxgx2log（0 x）)()(21xgxfyxx2

14、2log)1(log2)21(log12log222xxxxx 由于0 x，所以21xx（当且仅当1x时，等号成立）所以当1x时，函数24log2miny（2）【理科】由)1(log)(21xxf（1x）得，xmxxgmxfxF221log)1(log2)()(2)(8分)(xFxmx22)1(log)1(2)1(log22mxmx在区间),1 上是单调递增函数需满足：当1x时，01 mx，即2m10 分),1)|,1|m12分，即021|1|mm，13 分，所以02m14 分 22、（本题满分 16 分）第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 6 分【解】（1）由xy42得

15、，2p，即12p，所以)0,1(F，20120k，所以2k3分（2）当1k时，),1(kd)1,1(，直线：1210yx4分 将直线与曲线的方程联立得，xyxy422，5分 消去并整理得，0482 xx，其中06分 设),(11yxA、),(22yxB，则482121xxxx7 分 于是)1(4)()1()(|2212212221kxxxxkxxAB642)1664(9 分（3）假设存在这样的实数,使得点)0,(aP关于直线的对称点),(00yxQ落在曲线的准线上,根据题意可得0k，所以直线：kyx21，即：2 kxy，由于0k，方程组xykxy422消去得方程04)1(422xkxk，直线与

16、曲线有公共点，故016)1(1622kk，解得21k，所以210 k11分 点)0,(aP与),(00yxQ关于直线：2 kxy对称，则kaxyaxky1222000012 分 得22014)1(kkkax（210 k）13 分，当点落在曲线的准线1x上时，2214)1(kkka1，所以1)21(41114222kkkkka，即121412kka14 分 当21k时，1a；当210 k时，212143)21(211142kkkka，解得11a 第 21题所以11a，所以存在这样的实数，满足题设条件。16分 23、（本题满分 18 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8

17、 分）【解】（1）将2n代入nnnnnkkxaxaxaxaax221212221021)1(中得，4433221041)1(xaxaxaxaaxkk，1分 其中301684243210aaaaa，2分 043210aaaaa3 分，所以4202aaab154分（2）设等差数列的通项公式为ndaan0，其中为公差5分 则niiniCa0nnnnnCaCaCaa22110)2()(21100nnnnnnnnnCCCdCCCa6 分 因为11knknnCkC7 分，所以nnnnnCCC212)(111101nnnnCCCn8分 所以niiniCa01022nnnda102)2(nnda102)(nn

18、aa10 分（3）【理科】令1x，则2421)41(2222223220nnnniia11分 1x，则0)1(20niiia12 分，所以niinab0214)242(21nn13 分 根据已知条件可知，nnnnnnnnnCCCCCd)14()1()14()14()14(332210)1()4()4()4()4(43210332210nnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCCnnn)3()11()41(，所以1)3(nnd14分 将14 nnb、1)3(nnd代入不等式nnbdt)1(得，14)3(1 nnt15 分 当为偶数时，nnt)31()34(，所以35)31()34(22t；16分；当为奇数，)31()34(nnt，所以1)31()34(11t；17分，综上所述，所以实数的取值范围是35,1。