2021届天津市和平区高三下学期数学一模试卷及答案.pdf

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1、高三下学期数学一模试卷高三下学期数学一模试卷一、单项选择题一、单项选择题1.集合 C.2.设C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.某校高三年级的全体学生参加体育测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，.假设低于 60 分的人数是 90，那么该校高三年级的学生人数是，那么“是“的A.充分不必要条件B.必要不充分条件 D.，那么A.0 B.A.270B.300C.330D.3604.函数在的图象大致为A.B.C.D.5.设A.6.正方体的棱长为 2，那么三棱锥的体积为，那么，的大小关系为C.D.B.A.B.C.4 D.67.抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂

2、直，那么双曲线的方程为A.C.8.设函数移，给出以下结论：在区间的图象.内单调递增；将函数的图象向左平D.B.的最小正周期为；个单位长度，可得到函数其中所有正确结论的序号是A.B.C.D.9.，设函数，假设关于的方程恰有两个互异的实数解，那么实数的取值范围是A.C.D.B.二、填空题10.设 i 是虚数单位，复数11.在12.直线的展开式中，与圆的虚部等于_的系数是_.相交于，两点，那么线段的长度为_.13.甲乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，那么甲乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是_.14.，那么的最小值为

3、_.15.如图，四边形分别是线段，中，上的点，且，那么，的最大值为_.，三、解答题16.在中，内角，所对的边分别为，.1求的值；2求3求17.如图，在四棱柱交于点，；的值.中，侧棱，底面，侧面.是正方形，与1求证：2求直线3假设点18.椭圆1求椭圆2 设经过点经过坐标原点19.等比数列1求和平面与平面在线段；所成角的正弦值；上，且的右焦点为，求二面角，离心率为的正弦值.的方程；的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆作射线与椭圆，交于点相交于点，且线段的中点为，假设四边形，为平行四边形，求直线的方程.，.的前项和为是等差数列，的通项公式；2设的前项和为，.当是奇数时，求的最大值；求证：.20.函数，.

4、1当时，直线与相切于点，求的极值，并写出直线的方程；假设对任意的都有，求的最大值；2假设函数有且只有两个不同的零点，求证：.答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】由所以故答案为：C【分析】利用绝对值不等式求解集的方法求出集合B，再利用交集和并集的运算法那么，进而求出集合。2.【解析】【解答】由那么故答案为：A.【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出要条件。3.【解析】【解答】根据频率分布直方图可得低于60 分的频率为：故高三年级的总人数为故答案为：B.【分析】利用条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，进而结合频数等于频率乘以样本容量，进而求出高

5、三年级的总人数。4.【解析】【解答】由于正切函数有意义，故需由于故答案为：D.【分析】利用正切函数的定义域结合分式函数求定义域的方法，再结合交集的运算法那么求出函数的定义域，再利用奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用奇函数的图象对称性，进而结合排除法找出函数的大致图象。5.【解析】【解答】因为因为故答案为：C.【分析】利用条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合特殊值对应的指数与对数与a,b,c大小关系比较，进而比较出a,b,c 的大小。，故，故.，即可排除 A，B；。，是的充分不必是可得的充分不必要条件，即，那么，又。，为奇函数，其图象应关于原点对称，即可排除C，6.【解析】【解答

6、】如图三棱锥是由正方体截去四个小三棱锥又因为，所以故答案为：B【分析】因为三棱锥。是由正方体的体积。截去四个小三棱锥再利用正方体的体积公式结合三棱锥的体积公式，再结合等体积法和作差法，进而求出三棱锥7.【解析】【解答】抛物线而双曲线的渐近线方程为故的准线方程为，故。，故双曲线的一个焦点坐标为即，故，故双曲线标准方程为：故答案为：D.【分析】利用抛物线的标准方程求出准线方程，进而求出焦点的坐标，再结合抛物线双曲线得出双曲线的一个焦点坐标为的一个焦点，的准线经过，进而求出 c 的值，再利用双曲线的渐近线方程求解方法求出双曲线渐近线方程，再结合双曲线的两条渐近线相互垂直，利用两直线垂直斜率之积等于-

7、1，进而求出 a,b 的关系式，再利用双曲线中a,b,c 三者的关系式，进而求出a,b的值，从而求出双曲线的标准方程。8.【解析】【解答】由正确；要求的单调增区间，即，而故正确；，所以的最小正周期为，故将的图象向左平移个单位长度，得到，故错误故答案为：A【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式求出正弦型函数的最小正周期，再利用换元法将正弦型函数的转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数在给定区间的单调性，再利用正弦型函数的图像变换结合条件得不出函数论正确的选项。9.【解析】【解答】因为关于的方程故或或假设那么因为故假设先考虑恰有两个互异的实数解，无

8、实根各有一个实数根有两个实数根.的图象，进而找出结有两个不同的实数根且、无实根且有两个不同的实数根，有两个不同的实数根，为增函数，有两个不同的实数根不成立.、有一个实数根即有一个实数根，各有一个实数根，因为故再考虑令因为故时，.为增函数，故，有一个实数根即，故、有一个实数根.有一个实数根.各有一个实数根.假设因为因为有两个不同的实数根且无实根，那么由前述讨论可得有两个不同的实数根，无实根，故，解得，综上所述，故答案为：D.【分析】因为关于的方程，恰有两个互异的实数解，故有两个不同的实数根且、无实根且各有一个实数根或有两个实数根。再利用分类讨论的无实根或方法结合根与系数的关系和二次函数的图像，再

9、利用函数的单调性，进而求出实数a 的取值范围。二、填空题10.【解析】【解答】解：复数故答案为：=的虚部为【分析】利用复数的运算法那么、虚部的定义即可得出11.【解析】【解答】令，那么的展开式的通项公式为，故的系数为。，故答案为：-15。【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出12.【解析】【解答】因为的圆心为，半径的系数。，圆心到直线的距离，所以线段 AB 的长为。故答案为：。【分析】利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式求出圆心的距离，再利用弦长公式求出线段AB 的长。13.【解析】【解答】两个都不命中的概率为故至少有一人命中的概率是故答案为

10、：。，到直线【分析】利用独立事件乘法求概率公式结合对立事件求概率公式，进而求出甲 乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率。14.【解析】【解答】因为，所以，当且仅当时等号成立，所以最小值为 2。故答案为：2。【分析】利用条件结合均值不等式求最值的方法得出的最小值。15.【解析】【解答】设那么那么，进而变形求出即得过 C 作，即过作，那么那么，那么，那么由得，函数当故答案为：【分析】设定理求出数量积的定义，进而求出那么再利用三角形法那么和共线定理，再结合平面向量根本时，。开口向下，对称轴，再利用两向量垂直数量积为0 的等价关系，再利用数量积的运算法那么结合，过 C 作过作那么，再利用正弦函数的定

11、义、余弦函数的定义和正切函数的定义得出AD 的长，再利用得的最大值。三、解答题16.【解析】【分析】1利用条件结合余弦定理，进而求出a 的值。2利用条件结合正弦定理，进而求出角A 的正弦值。3利用余弦定理求出角A 的余弦值，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式，进而求出角2A 的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式，进而求出17.分别取线段【解析】【分析】1，的中点，连接，那么，的值。再利用数量积的定义结合二次函数图象求最值的方法，进而求出，可知四边形和四边形均为平行四边形，再利用平行四边形的结构特征，进而推出线线平行，所以面平行，即证出2 依题意，以平面。，再利用线线平行证出线为原点，分别以的

12、方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合诱导公式求出直线3 依题意，以与平面，所成角的正弦值。，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间为原点，分别以直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合同角三角函数根本关系式，从而求出二面角18.【解析】【分析】1利用椭圆再利用条件椭圆的离心率为的右焦点为，进而求出 c 的值，的正弦值。，进而求出 a,c 的关系式，再利用椭圆中a,b,c 三者的关系式，从而求出a,b 的值，进而求出椭圆的标准方程。2利用两种

13、方法求解，方法一：由题意，设直线的方程为，且，再利用直线 l与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理，进而求出点 M 的坐标，再利用两点求斜率公式求出直线OM 的斜率，再利用斜截式设出直线 OM 的方程，再利用直线 OM 与椭圆相交，联立二者方程求出点N 的横坐标，再利用平行四边形的性质结合中点的性质，进而求出k 的值，从而求出直线的方程；方法二：求得的过程同方法一，再利用平行四边形法那么结合共线定理求出点N 的坐标，再利用点在椭圆上结合代入法求出 k 的值，进而求出直线的方程。19.【解析】【分析】1利用条件结合等比数列前n 项和公式和等差数列通项公式以及等比数列通项公式，进而求出等差数列的首项

14、和公差、等比数列的首项和公比，再结合等差数列和等比数列的通项公式，进而求出数列和的通项公式。和1中等比数列的通项公式，2 利用条件结合等差数列前n 项和公式，再结合进而求出且是奇数时，知，当是奇数时，再利用数列的单调性得出 当的最大值。由。随增大而减小，再利用函数的单调性，进而求出，再利用裂项相消的的方法，进而结合放缩法证出20.【解析】【分析】1 利用 a 的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，再结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出切线 的方程。对任意的，即性，进而求出函数的最值，从而求出2利用函数关系，得出，是方程都有恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法结合函数的单调的最大值。，再结合函数零点与方程的根的等价有且只有两个不同的零点的两个不等实根，再利用代入法结合，再结合分析法的证明方法，再利用 相加和相减得出结合增函数的单调性，进而证出。