(完整版)初二动点问题(含答案).pdf

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1、 图3GFBCADLE动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 一、单动点问题 小菜一碟：如图 2，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则 DN+MN 的最小值为 例 （10 年房山二模压轴）25.（1）如图 1，已知矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点 E作 EFBD 于点 F，EGAC 于点 G，CHBD 于点 H，试证明 C

2、H=EF+EG;(2)若点 E 在的延长线上，如图 2，过点 E 作 EFBD 于点 F，EGAC 的延长线于点 G，CHBD于点 H，则 EF、EG、H 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL，点E是CL上任一点,EFBD于点 F，EGBC 于点 G，猜想 EF、EG、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(4)观察图 1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有 EF、EG、H 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.图2图1GFHDHGFDA

3、BBACECE 1.(2009 临沂 25)数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点90AEF，且 EF 交正方形外角DCG的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证AMEECF，所以AEEF 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不

4、正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 解：（1）正确 证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME BMBE45BME，135AME CF是外角平分线，45DCF，135ECF AMEECF 90AEBBAE，90AEBCEF，BAECEF AMEBCF（ASA）AEEF（2）正确 证明：在BA的延长线上取一点N使ANCE，连接NE BNBE 45NPCE 四边形ABCD是正方形，ADBE DAEBEA NAECEF AN

5、EECF（ASA）AEEF 2.（2009 年江西中考题 25）如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF/BC交 CD 于点 F，AB4，BC6，B60（1）求点 E 到 BC 的距离；（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过点 P 作 PMEF 交 BC 于 M，过 M 作 MN/AB 交折线 ADC于 N，连结 PN，设 EPx 当点 N 在线段 AD 上时（如图 2），PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出PMN 的周长；若改变，请说明理由；当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P，使PMN 为等腰三角形？若存在，请求

6、出所有满足条件的 x 的值；若不存在，请说明理由 图 1 图 2 图 3 A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 3 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B M A D F C G E B N 思路点拨 1先解读这个题目的背景图，等腰梯形 ABCD 的中位线 EF4，这是 x 的变化范围平行线间的距离处处相等，AD 与 EF、EF 与 BC 间的距离相等 2当点 N 在线段 AD 上时，PMN 中 PM 和 MN 的长保持不变是显然的，求证 PN 的长是关键图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要 3分三种情况讨论等腰三角形 P

7、MN，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题 满分解答（1）如图 4，过点 E 作 EGBC 于 G 在 RtBEG 中，221ABBE，B60，所以160cos BEBG，360sin BEEG 所以点 E 到 BC 的距离为3（2）因为 AD/EF/BC，E 是 AB 的中点，所以 F 是 DC 的中点 因此 EF 是梯形 ABCD 的中位线，EF4 如图 4，当点 N 在线段 AD 上时，PMN 的形状不是否发生改变 过点 N 作 NHEF 于 H，设 PH 与 NM 交于点 Q 在矩形 EGMP 中，EPGMx，PMEG3 在平行四边形 BMQE 中，BMEQ1x 所以 BGPQ1

8、因为 PM 与 NH 平行且相等，所以 PH 与 NM 互相平分，PH2PQ2 在 RtPNH 中，NH3，PH2，所以 PN7 在平行四边形 ABMN 中，MNAB4 因此PMN 的周长为374 图 4 图 5 当点 N 在线段 DC 上时，CMN 恒为等边三角形 如图 5，当 PMPN 时，PMC 与PNC 关于直线 PC 对称，点 P 在DCB 的平分线上 在 RtPCM 中，PM3，PCM30，所以 MC3 此时 M、P 分别为 BC、EF 的中点，x2 如图 6，当 MPMN 时，MPMNMC3，xGMGCMC53 如图 7，当 NPNM 时，NMPNPM30，所以PNM120 又因

9、为FNM120，所以 P 与 F 重合 此时 x4 综上所述，当 x2 或 4 或 53时，PMN 为等腰三角形 图 6 图 7 图 8 考点伸展 第（2）题求等腰三角形 PMN 可以这样解：如图 8，以 B 为原点，直线 BC 为 x 轴建立坐标系，设点 M 的坐标为（m，0），那么点 P 的坐标为（m，3），MNMC6m，点 N 的坐标为（26m，2)6(3m）由两点间的距离公式，得21922mmPN 当 PMPN 时，92192 mm，解得3m或6m此时2x 当 MPMN 时，36 m，解得36 m，此时35x 当 NPNM 时，22)6(219mmm，解得5m，此时4x 二、双动点问题

10、 例：如图 1，梯形 ABCD 中，AD BC，B=90，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P从 A 开始沿 AD 边以 1cm/秒的速度移动，点 Q 从 C 开始沿 CB 向点 B 以 2 cm/秒的速度移动，如果 P，Q 分别从 A，C 同时出发，设移动时间为 t 秒。当 t=时，四边形是平行四边形；6 当 t=时，四边形是等腰梯形.8 1、（2012 贵州遵义 12 分）如图，ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合），Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（Q

11、 不与 B 重合），过 P 作 PEAB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D（1）当BQD=30时，求 AP 的长；（2）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由 2、如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC 厘米，点D为AB的中点(1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少

12、时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点Q 以中的运动速度从点 C出发，点P 以原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？解：（1）1t 秒，3 13BPCQ 厘米，10AB 厘米，点D为AB的中点，5BD 厘米 又8PCBCBPBC，厘米，835PC 厘米，PCBD 又ABAC，BC，BPDCQP PQvv，BPCQ，又BPDCQP，BC，则45BPPCCQBD，点P，点Q运动的时间433BPt 秒，515443QCQvt厘米/秒。A Q C D B P （2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532

13、104xx，解得803x 秒 点P共运动了803803 厘米 802 2824，点P、点Q在AB边上相遇，经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇 三、线动问题 例：如图，在RtABC中，9060ACBB，2BC 点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转角为 （1）当 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ；当 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ；（2）当90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由 解：（1）30，1；60，1.5；（2）当=900时，四边形 EDBC

14、 是菱形.=ACB=900，BC/ED.CE/AB,四边形 EDBC 是平行四边形 在 RtABC 中，ACB=900，B=600,BC=2,A=300.AB=4,AC=23.AO=12AC=3.在 RtAOD 中，A=300，AD=2.BD=2.BD=BC.又四边形 EDBC 是平行四边形，四边形 EDBC 是菱形 4、在ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E.(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB；DE=ADBE；(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD-BE；O

15、E C B D A l O C B A（备用图）C B A E D 图 1 N M A B C D E M N 图 2 A C B E D N M 图 3 (3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：（1）ACD=ACB=90 CAD+ACD=90 BCE+ACD=90 CAD=BCE AC=BC ADCCEB ADCCEB CE=AD，CD=BE DE=CE+CD=AD+BE (2)ADC=CEB=ACB=90 ACD=CBE 又AC=BC ACDCBE CE=AD，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3)当 MN 旋转到图 3 的位置时，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE，BE=AD+DE 等)ADC=CEB=ACB=90 ACD=CBE，又AC=BC，ACDCBE，AD=CE，CD=BE，DE=CD-CE=BE-AD.