《数学分析选论》习题解答.pdf

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1、数学分析选论习题解答 第 二 章 连 续 性 设nyx,，证明：)|(2|2222yxyxyx 证 由向量模的定义，niiiniiiyxyxyxyx121222)()(|niiiyxyx12222)|(2)(2 2 设nnxS点,到集合S的距离定义为),(inf),(yxSxSy 证明：（）若S是闭集，Sx，则0),(Sx；（）若dSSS(称为S的闭包)，则 0),(|SxxSn 证（）倘若0),(Sx，则由),(Sx的定义，Syn，使得,2,1,1),(nnyxn 因 Sx，故xyn，于是x必为S的聚点；又因S是闭集，故Sx，这就导致矛盾所以证得0),(Sx（）Sx若Sx，则0),(Sx显然

2、成立 若Sx，则dSx（即x为S的聚点），由聚点定义，SxU);(,0，因此同样有 0),(),(infSxyxSy 反之，凡是满足0),(Sx的点x，不可能是S的外点（若为外点，则存在正数0，使SxU);(0，这导致0),(inf0yxSy，与0),(Sx相矛盾）从而x只能是S的聚点或孤立点若x为聚点，则SSxd；若x为孤立点，则SSx所以这样的点x必定属于S 综上，证得 0),(|SxxSn 成立 证明：对任何nS，dS必为闭集 证 如图所示，设0 x为dS的任一聚点，欲证0 xdS，即0 x亦为S的聚点 这是因为由聚点定义，y,0，使得 dSxUy);(0 再由y为S的聚点，);();(

3、0 xUyU，有 SyU);(于是又有SxU);(0，所以0 x为S的聚点，即0 xdS，亦即dS为闭集 证明：对任何nS，S必为闭集 证 如图所示，设0 x为S的任一聚点，欲证Sx0，即0 x亦为S的界点 由聚点定义，y,0，使 SxUy);(0 再由y为界点的定义，);();(0 xUyU，在);(yU内既有S的内点，又有S的外点由此证得在);(0 xU内既有S的内点，又有S的外点，所以0 x为S的界点，即S必为闭集 设nS，0 x为S的任一内点，1x为S的任一外点证明：联结0 x与1x的直线段必与S至少有一交点 0 x );(yU);(0 xU S S );(yU);(0 xU S dS

4、 0 x 证 如图所示，把直线段10 xx置于一实轴上，并 为叙述方便起见，约定此实轴上的点与其坐标用同一字 母表示下面用区间套方法来证明 Sxx10 记2,1111011bacxxba若Sc1，则结论成立；若1c为S的内点，则取,1122bcba；若1c为S的外点，则取,1122caba一般地，用逐次二等分法构造区间套：记2nnnbac（不妨设Scn），并取,2,1,11nSccaScbcbannnnnnnn的外点为的内点为 此区间套的特征是：其中每个闭区间的左端点na恒为S的内点，右端点nb恒为S的外点现设ybannnnlimlim，下面证明Sy 由区间套定理的推论，0，当n足够大时，);

5、(,yUbann，因此在);(yU中既含有S的内点（例如na)，又含有S的外点（例如nb），所以10 xx上的点y必是S的界点 证明聚点定理的推论和推论（）推论 n中的无限点集S为有界集的充要条件是：S的任一无限子集必 有聚点 证 必要性 当S为有界集时，S的任一无限子集亦为有界集，由聚点定理直接 推知结论成立 充分性 用反证法来证明倘若S为无界集，则必能求得一个点列 SPk,使得|limkkP 这个 kP作为S的一个无限子集不存在聚点，与条件矛盾 故S为有界集 （）推论 n中的无限点集S为有界闭集的充要条件是：S为列紧集，即S 的任一无限子集必有属于S的聚点 S 0 x 1x S y 证 必

6、要性 因S有界，故S的任一无限子集亦有界，由聚点定理，这种无限子集必有聚点又因子集的聚点也是S的聚点，而S为闭集，故子集的聚点必属于S 充分性 由上面（）的充分性证明，已知S必为有界集下面用反证法再来证明S为闭集 倘若S的某一聚点SP，则由聚点性质，存在各项互异的点列 SPk，使 PPkklim据题设条件，kP的惟一聚点P应属于S，故又导致矛盾所以S的所有聚点都属于S，即S为闭集 设XBAXfXmn,:证明：（）)()()(BfAfBAf；（）)()()(BfAfBAf；（）若f为一一映射，则)()()(BfAfBAf 证（）)(,)(xfyBAxBAfy使若)(,AfyAx则；若)(,Bfy

7、Bx则所以，当)()()(,BfAfxfyBAx时这表示)()()(BfAfBAf 反之，)(,)()(xfyXxBfAfy使若AxAfy则,)(；若BxBfy则,)(，于是BAx这表示)()(BAfxfy，亦即)()()(BfAfBAf 综上，结论)()()(BfAfBAf得证（）yxfBAxBAfy)(,)(使.因Ax且Bx，故)()()()(BfxfAfxf且，即)()()(BfAfxfy,亦即)()()(BfAfBAf 然而此式反过来不一定成立例如2,1,1,2,)(2BAxxf，则有 4,0)()()()(BfAfBfAf；1,0)(,1,1BAfBA 可见在一般情形下，)()()(

8、BAfBfAf （）)()(BfAfy，BxAx21,，使)()(21xfxfy当f为 一一映射时，只能是BAxx21，于是)(BAfy，故得)()()(BAfBfAf 联系（），便证得当f为一一映射时，等式)()()(BAfBfAf成立 设mnmncbagf,:，且 cxgbxfaxax)(lim,)(lim 证明：（）0|,|)(|limbbxfax当且时可逆；（）cbxgxfaxT)()(lim 证 设)(,)()(,)(,)()(11xgxgxgxfxfxfmm，,111mmncccbbbaaa 利用向量函数极限与其分量函数极限的等价形式，知道 micxgbxfiiaxiiax,2,1

9、,)(lim,)(lim（）|)()(lim|)(|lim221221bbbxfxfxfmmaxax 当0|b时，由于|)(|)(|xfbxf，因此由0|)(|limxfax，推知 mixfiax,2,1,0)(lim2，即得0)(limxfax（）类似地有 cbcbcbxgxfxgxfxgxfmmmmaxax1111)()()()(lim)()(lim.设mnDfD:,试证：若存在证数rk,，对任何Dyx,满足 ryxkyfxf|)()(|，则f在D上连续，且一致连续 证 这里只需直接证明f在D上一致连续即可 0,01 rk，对任何Dyx,，只要满足|yx，便有 ryxkyfxf|)()(|

10、由于这里的只与有关，故由一致连续的柯西准则（充分性），证得f在D上一致连续 设mnDfD:,试证：若f在点Dx 0连续，则f在0 x近旁局部有界 证 由f在点0 x连续的定义，对于1，0，当)(0;xUx时，满足|)(|1|)(|1|)()(|)(|)(|000 xfxfxfxfxfxf，所以f在0 x近旁局部有界 设mnf:为连续函数，nA为任一开集，nB为任一闭集试问)(Af是否必为开集？)(Bf是否必为闭集？为什么？解)(Af不一定为开集例如),(,sin)(xxxf 这里),(A为开集，但1,1)(Af却为闭集 当B为有界闭集时，由连续函数的性质知道)(Bf必为闭集且有界但当B为无界

11、闭集时，)(Bf就不一定为闭集，例如),(,arctan)(xxxf 这里),(B可看作一闭集，而2,2)(Bf却为一开集 设nnDD:,试举例说明：（）仅有DD)(，不一定为一压缩映射；（）仅有存在)10(qq，使对任何Dxx,，满足|)()(|xxqxx ，此时也不一定为一压缩映射 解（）例如),0,1)(xxx这里),0D为一闭域，它虽然满足DD),1)(，但因|)()(|xxxx ，所以不是压缩映射（注：这也可根据压缩映射原理来说明，由xx1无解，即没有不动点，故不是压缩映射）（）例如1,1,12)(Dxxx它虽然满足)50(|21|)()(|.qxxxx，但因DD23,21)(，故此

12、仍不是一个压缩映射 讨论ba,取怎样的值时，能使下列函数在指定的区间上成为一个压缩映射：（）,)(1baxxx；（）,)(22aaxxx；（）,)(3baxxx；（）,0,)(4axbaxx 解（）由|)()(|11xxxx ，可知对任何ba,，1在,ba上都不可能是压缩映射 （）首先，只有当10 a时，才能使,0),(22aaaaa 其次，由于对任何,aaxx 都有|2|)()(|22xxaxxxxxx ，因此只要取120aq，即210 a，就能保证2在,aa上为一压缩映射（）由,),(3bababa，可知ba10再由|21|xxaxxxxxx ，又可求得21a，即41a所以，当取ba141

13、时，就能保证3在,ba上为一压缩映射（）由于0a，因此可由 ababaxb20，解出aa 2（即10 a），0b 再由|xxabxabxa ，可见只要0,10ba，就能保证4在,0a上为一压缩映射 试用不动点方法证明方程0lnxx在区间3/2,2/1上有惟一解；并用迭代法求出这个解（精确到四位有效数字）解 若直接取xxxxxln)ln()(，则因 xxx,1231|)(|3/2,2/1，可知在3/2,2/1上不是压缩映射为此把方程改写成xx e，并设 xxxxxee)()(由于在3/2,2/1上 11|)(|eexx，且 3/2,2/1,)3/2,2/1(2/13/2ee，所以xxe)(在3/

14、2,2/1上为一压缩映射，且在3/2,2/1上有惟一不动点 取2/10 x，按kxkx e1迭代计算如下：k kx k kx k kx 所以，方程xx e即0lnxx的解（精确到四位有效数字）为 17650.x 0.5 0.6065 0.5452 0.5797 4 5 6 7 0.5601 0.5712 0.5649 0.5684 15 16 17 0.5672 0.5671 0.5671 设 nBf:，其中rxxxBn),(|0为一个n维闭球（球心为0 x）试证：若存在正数)10(qq，使对一切Bxx,，都有|)()(|xxqxfxf ，rqxxf)1(|)(|00，则f在B中有惟一的不动点 证 显然，只需证得了BBf)(，连同条件便知f在B上为一压缩映射，从而有惟一的不动点现证明如下：)(,xfyBx由rxx|0，以及题设条件的两个不等式，得到.rrqrqrqxxqxxfxfxfxy)1()1(|)(|)()(|00000 这表示Bxfy)(，即BBf)(