人教版高中数学选修2-2推理与证明全章复习与巩固教学讲义学生版.pdf

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1、 第 1 页 共 15 页 励 学 国 际 学 科 学 生 讲 义 年 级：上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：宋冰洁 课 题 推理与证明全章复习与巩固 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 推理与证明全章复习与巩固【知识网络】【考点梳理】要点一：归纳与类比 数学推理是由一个或几个已知的判断(或前提)，推导出一个未知结论的思维过程一般包括合情推理和演绎推理，而归纳和类比是合情推理的两种主要形式.第 2 页 共 15 页 1.归纳推理 概念 根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个

2、别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，一般分为完全归纳推理与不完全归纳推理.一般步骤 2.类比推理 概念 两类不同的对象具有某些共同的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程叫类比推理 一般步骤（1）找出两类事物之间可以确切表述的相似性或一致性（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）（3）检验猜想 要点诠释：（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；而类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性

3、.（2）归纳推理的前提是特殊的情况，所以归纳推理是立足于观察、实验和经验的基础上的；类比是根据已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识为基础，类比出新的结果.（3）归纳和类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能（4）注意合情推理和演绎推理的区别演绎推理是从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，是由一般到特殊的推理演绎推理的特征是前提为真，结论必为真 要点二：综合法与分析法 1.综合法 定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是这样一种思维方法：从命题的已知条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，一步步地接

4、近要证明的结论，直到完成命题的证明综合法是一种执因索果的证明方法，又叫顺推法 观察特例发现相似性 推广为明确表述的一般命题（猜想）检 验 第 3 页 共 15 页 思维框图：用P表示已知条件，Q表示要证明的结论，1 2 3.iQin（，）为已知的定义、定理、公理等，则综合法可用框图表示为：11223.nPQQQQQQQ（已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论）2.分析法 定义 一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析

5、法.，分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法 思维框图：用12 3iP i（，）表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，Q所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：11223.QPPPPP 得到一个明显成立的条件（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）要点诠释：（1）综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用 分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述

6、，条理清晰，形式简洁 我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程分析法一般用于综合法难以实施的时候（2）有不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P若由 P 可以推出 Q 成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点 第 4 页 共 1

7、5 页 命题“若 P 则 Q”的推演过程可表示为：要点三：反证法 中学阶段反正法是最常见的间接证法.定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法的格式：用反证法证明命题“若 p 则 q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：反证法的一般步骤：（1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、

8、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立 要点诠释：（1）反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果（2）反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.要点四：数学归纳法 数学归纳法证明命题的步骤：（1）证明当n取第一个值0n时结论正确；（2）假设当nk0(*,)kNkn时结论正确，证明1nk时结论也正确，由（1）（2）确定对0*,nNnn时结论都正确。要点诠释：第 5 页 共 15 页（1）数学归

9、纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法：第（1）步是递推的基础，第（2）步是递推的依据.（2）不要弄错起始 n0：n0不一定恒为 1，也可能 n0=2 或 3（即起点问题）（3）项数要估算正确：特别是当寻找 n=k 与 n=k+1 的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）（4）必须利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）（5）切忌关键步骤含糊不清：“假设 n=k 时结论成立，利用此假设证明 n=k+1 时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整

10、，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）【典型例题】类型一：归纳与类比 例 1观察下列等式：cos 22cos21，cos 48cos48cos21；cos 632cos648cos418cos21；cos 8128cos8256cos6160cos432cos21；cos 10mcos101 280cos 81 120cos6ncos4pcos21.可以推测 mnp_.举一反三：【变式 1】观察下来等式：1=1，13=1，1+2=3，13+23=9，1+2+3=6，13+23+33=36，1+2+3+4=10，13+23+33+43=100，1+2+3+4+5=15.13+23+3

11、3+43+53=225.可以推测：13+23+33+n3=_（nN*,用含有 n 的代数式表示）.【变式 2】证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论 第 6 页 共 15 页 例 2.若1a，2a是正数，则有不等式222121222aaaa成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广 【总结升华】类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果，具有由一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性，具有发现的功能。本题中第一类型随着项数的增加，第二类型随着指数 n 的增加，已经超越了高中研究的范畴。举一反三：【变式 1】已知椭圆具有性质：

12、若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM，kPN时，那么 kPM与 kPN之积是与点 P 的位置无关的定值试对双曲线2222=1xyabab 0,0写出具有类似特性的性质，并加以证明 【变式 2】如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A，B 是顶点，第 7 页 共 15 页 当 BFAB 时，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为5-12 类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于（）A.5+12 B.5-12 C.5-1 D.5+1 类型二：综合法与分析法 例 3求证：5321232log 19

13、log 19log 19.举一反三：【变式 1】若tan()2tan,求证：3sinsin(2).【变式 2】已知 a,b,cR,求证：2222222()abbccaabc.类型三：反证法 第 8 页 共 15 页 例 4若,a b c都为实数，且222axz，223byx，226czy，求证：,a b c中至少有一个大于 0.【总结升华】正确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”，另外，需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况，也只有证明了与结论相反的所有情况都不成立，才能保证原来的结论一定成立 举一反三：【变式 1】设二次函数2()(0)f x

14、axbxc a中的a、b、c均为奇数，求证：方程()0f x 无整数根.【变式 2】设函数()f x在xR内都有()0f x，且()()()f xyf xf y恒成立，求证：对任意xR都有()0f x.类型四：数学归纳法 第 9 页 共 15 页 例 5用数学归纳法证明等式：nnnnn212111211214131211.对所有nN均成立.举一反三：【变式】在数列na中，121aa，当*nN时，21nnnaaa且设4nnba，证明：数列 nb的各项均为 3 的倍数.例 6 已知数列na的各项均为正数，其前 n 项和为nS，且对于所有的非零自然数 n,na与 2 的等差中项等于nS与 2 的正的

15、等比中项.（1）写出na的前三项；（2）求na的通项公式；（3）令)(21*11Nnaaaabnnnnn，求12nbbb.举一反三：第 10 页 共 15 页【变式1】已知()2 22f xxx，又数列na的前n项和nS满足1()nnSf S,12a.(1)求数列na的前n项和nS及通项na；(2)若12111lg(),lg4nnnnabcSSSn，试比较1b与1c；2b与2c；3b与3c的大小，猜测nb与nc(*nN)的大小关系并加以证明；【变式2】已知等差数列na的前10项的和10185S，28a （1）求数列na的通项公式；（2）若从数列na中依次取出第 2 项，第 4 项，第 8 项，

16、第2n项，按原来的顺序排成一个新的数列 nb，试求此新数列的前 n 项的和nT；（3）设(9)nnCna，试比较nT与nC的大小并说明理由.第 11 页 共 15 页 励 学 国 际 学 生 课 后 作 业 年 级：上 课 次 数：作业上交时间：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：宋冰洁 作业内容 作业得分 作 业 内 容【巩固练习】一、选择题 1 某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第 36 个圆的颜色应是()A白色 B黑色 C白色可能性大 D黑色可能性大 2 锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等

17、于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半 以上推理运用的推理规则是()A类比推理 B演绎推理 C不完全归纳推理 D完全归纳推理 3 用数学归纳法证明等式*+3+4123(3)2nnnn N时，验证 n1，左边应取的项是()A1 B12 C123 D1234 4 已知 c1，+1acc，1bcc ，则正确的结论是()Aab Bab Cab Da、b 大小不定 5 用反证法证明命题：“a、bN，ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为()Aa，b 都能被 5 整除 第 12 页 共 15 页 Ba，b 都不能被 5 整除 Ca，b 不都能被

18、 5 整除 Da 不能被 5 整除 6 函数 f(x)由下表定义：x 2 5 3 1 4 f(x)1 2 3 4 5 若 a05，an1f(an)，n0,1,2，则 a2 009()A1 B2 C4 D5 二、填空题 7 已知 1111+23f nn(nN*)，用数学归纳法证明 22nnf时，f(2k1)f(2k)_ 8中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等如果集合A中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意aA，都有aa；（2）对称性：对于abA，若ab，则有ba；（3）传递性：对于abcA，若ab，bc，则有ac 则称“”是集合A的一个等价关系例如

19、：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）请你再列出三个等价关系：_ _ 9 如图所示，SA平面 ABC，ABBC，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E，过 E 作 SC 的垂线，垂足为 F.求证：AFSC.证明：要证 AFSC，只需证 SC平面 AEF，只需证 AESC(因为_)，只需证_，只需证 AEBC(因为_)，只需证 BC平面 SAB，只需证 BCSA(因为_)由 SA平面 ABC 可知，上式成立 10现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a类比到空间

20、，有两个棱长均为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_ 三、解答题 第 13 页 共 15 页 11用数学归纳法证明6)12)(1(3212222nnnn，()nN 12 已知abc，求证：114.abbcac 13 我们知道，在ABC 中，若 c2a2b2，则ABC 是直角三角形现在请你研究：若 cnanbn(n2)，问ABC 为何种三角形？为什么？14 求证：质数序列2,3,5,7,11,13,17,19,是无限的 第 14 页 共 15 页 15在数列 na中，1112(2)2()nnnnaaanN，其中0（）求数列 na的通项公式；（）求数列 na的前n项和nS；（）证明存在kN，使得11nknkaaaa对任意nN均成立 第 15 页 共 15 页