椭圆综合专题整理.pdf

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1、椭圆专题总结椭圆专题总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.1.设直线与方程；设直线与方程；（提醒提醒：设直线时分斜率存在与不-存在；设为 y=kx+b 与 x=my+n的区别）2.2.设交点坐标；设交点坐标；（提醒提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.3.联立方程组；联立方程组；4.4.消元韦达定理；消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.5.根据条件重转化；根据条件重转化；常有以下类型：“以弦 AB 为直径的圆过点 0”（提醒：提醒：需讨论 K 是否存在）OAOA OBOBK K1 1 K K2 2 1 1

2、OAOA OBOB 0 0 x x1 1x x2 2 y y1 1y y2 2 0 0“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0 问题”x x1 1x x2 2 y y1 1y y2 2 0 00；“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（K K1 1 K K2 2 0 0或K K1 1 K K2 2）；“共线问题”（如：AQ QB数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O、B 三点共线直线 OA 与 OB 斜率相等）；“点、线对称问题”坐标与斜率关系；“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒提醒：注意两个面积公式 的合理选择）；6

3、.6.化简与计算；化简与计算；7.7.细节问题不忽略；细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：二、基本解题思想：1 1、“常规求值”问题：“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2 2、“是否存在”问题：“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3 3、证明定值问题的方法：、证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4 4、处理定点问题的方法：、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出

4、定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6 6、转化思想：、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：一、常见基本题型：在几何问题在几何问题 中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值过取参数和特

5、殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。角式，证明该式是恒定的。（1 1）直线恒过定点问题）直线恒过定点问题x2 y21上任意一点，直线l的方1、已知点P(x0,y0)是椭圆E:2程为x0 x y0y 1，直线l0过 P 点与直线l垂直，点 M（-1，0）关2于直线l0的对称点为 N，直线 PN 恒过一定点 G，求点 G 的坐标。2、已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为2 2，离心率为2，P是椭圆在第一象2限弧上一点，且PF1PF21，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线

6、 PA、PB分别交椭圆于A、B 两点。求：（1）求 P 点坐标；（2）求证直线 AB 的斜率为定值；x2y21相交于A、B两3 3、已知动直线y k(x1)与椭圆C:553点,已知点M(7,0)，求证：MAMB为定值.3x2 y21.如图所4、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:3示，斜率为k(k0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x 3于点D(3,m).（）求m2 k2的最小值；（）若OG OD2OE求证：直线l过定点；椭圆中的取值范围问题椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题

7、设条件及曲线的几何性质构造参数满足的对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解来解.(1)(1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。225、已知直线l与y轴交于点P(0,m)，与椭圆C:2x y 1交于相异两点A、B，且AP 3PB，求m的取值范围(2)(2)利用题中其他变量的范围，利用题中其他变量的范

8、围，借助于方程产生参变量的函数表达式借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围确定参数的取值范围.6、已知点M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足MNMP 6|PN|（）求动点P的轨迹C的方程；（）设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若斜率的取值范围.(3)(3)利用基本不等式求参数的取值范围利用基本不等式求参数的取值范围x2y27、已知点Q为椭圆E：1上的一动点，点A的坐标为(3,1)，求AP AQ的取值1821812，求直线l的NANB75范围8.已知椭圆的一个顶点为A(0,1)，焦点在x轴上.若右焦点到直线x y 2 2 0的距离为3.求：（1）求椭圆的方程（2）设直线y

9、kx m(k 0)与椭圆相交于不同的两点M,N.当|AM|AN|时，求m的取值范围.9.如图所示，已知圆C:(x 1)y 8,定点A(1,0),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM 2AP,NP AM 0,点N的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程；（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两22点G,H（点G在点F,H之间），且满足FG FH，求的取值范围.10、.已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(1,0)、B(1,0)，一个顶点为H(2,0).求：（1）求椭圆E的标准方程；（2）对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP MH求t的取值范围

10、.2x2y2 11.已知椭圆C:221(a b 0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴2ab长为半径的圆与直线x y2 0相切（）求椭圆C的方程；（）若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于两点A,B，设P为椭圆上一点，且满足OA OB tOP（O为坐标原点），当PA PB2 5时，求实数t取值范围3椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题一、常见基本题型：一、常见基本题型：（1 1）利用基本不等式求最值，）利用基本不等式求最值，12、已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为2 2，离心率为圆于 A、B 两点，求PAB面积的最大值。（2 2）利用函数求最值，）利用函数求最值，2213.如图，DP

11、x轴，点 M 在 DP 的延长线上，且|DM|2|DP|当点 P 在圆x y 1象限弧上一点，且PF1PF21，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交 椭2，P是椭圆在第一2上运动时。（I）求点 M 的轨迹 C 的方程；22（）过点T(0,t)作圆x y 1的切线l交曲线 C 于 A，B 两点，求AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标。x2 y21.过点(m,0)作圆 14、已知椭圆G:4x2 y21的切线l交椭圆 G 于 A,B 两点.将|AB|表示为 m 的函数，并求|AB|的最大值.思维拓展训练x2y21 1、已知 A、B、C 是椭圆m:221(a b

12、0)上的三点，其中点 A 的坐标为ab(2 3,0)，BC 过椭圆 m 的中心，且ACBC 0,|BC|2|AC|（1）求椭圆m的方程；（2）过点M(0,t)的直线 l（斜率存在时）与椭圆m 交于两点 P，Q，设 D 为椭圆m 与 y轴负半轴的交点，且|DP|DQ|.求实数 t 的取值范围2222.2.已知圆M：(xm)(y n)r及定点N(1,0)，点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足NP2NQ，GQNP0（1）若m 1,n 0,r 4，求点G的轨迹C的方程；（2）若动圆M和（1）中所求轨迹C相交于不同两点A,B，是否存在一组正实数m,n,r，使得直线MN垂直平分线段AB，

13、若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由3 3、已知椭圆C的中心在坐标原 点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1（）求椭圆C的标准方程；（）若直线l:y kxm与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标4.4.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M（2，1），平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m（m0），l 交椭圆于 A、B 两个不同点。（1）求椭圆的方程；（2）求 m 的取值范围；（3）求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一

14、个等腰三角形.参考答案参考答案1 1、解：直线l0的方程为x0(y y0)2y0(x x0)，即2y0 x x0y x0y0 0设M(1,0)关于直线l0的对称点N的坐标为N(m,n)2x033x024x04x0n m x0242y0m1则，解得4322y m1x0n x y 0n 2x04x04x08x00002y0(4 x02)22n y0 x044x032x028x08直线PN的斜率为k 32m x02y0(x03x04)x044x032x028x08从而直线PN的方程为：y y0(x x0)322y0(x03x04)2y0(x033x024)即x 4y132x04x02x08x08从而

15、直线PN恒过定点G(1,0)y2x22 2、解：（1）设椭圆方程为221，由题意可得aby2x2a 2,b 2,c 2 2，所以椭圆的方程为421则F1(0,2),F2(0,2)，设P(x0,y0)(x0 0,y0 0)则PF1(x0,2 y0),PF2(x0,2 y0),22PF PF x(2 y1200)1222x0y04 y021.x0点P(x0,y0)在曲线上，则24224 y02从而(2 y0)1，得y02，则点P的坐标为(1,2)。2（2）由（1）知PF1/x轴，直线 PA、PB 斜率互为相反数，设 PB 斜率为k(k 0)，则 PB 的直线方程为：y2 k(x1)y2 k(x1)

16、222由x2y2得(2 k)x 2k(2 k)x(2 k)4 01 242k(k 2)k22 2k 21设B(xB,yB),则xB222k2kk22 2k 24 2k同理可得xA，则x x AB222k2kyA yB k(xA1)k(xB1)所以直线 AB 的斜率kAB8k2k2yA yB2为定值。xA xBx2y21中 3 3、解:将y k(x1)代入553得(13k)x 6k x3k 5 0 36k 4(3k 1)(3k 5)48k 20 0，422222223k256k2x1 x2 2，x1x23k213k 1所以MAMB (x17777,y1)(x2,y2)(x1)(x2)y1y233

17、3377(x1)(x2)k2(x11)(x21)33749(1k2)x1x2(k2)(x1 x2)k23923k2576k2492(k)(2)k2(1k)23k 133k 193k416k254942k。93k219 4 4、解：（）由题意:设直线l:y kxn(n 0),y kxn222(13k)x 6knx3n 3 0,由x2消 y 得:2 y 1 32222 36k n 4(13k)3(n 1)12(3k 1n)022设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 E(x0,y0),则由韦达定理得:x1 x2=6knn3kn3kn,即,x y kx n k n 00013k213k

18、213k213k23knn,),所以中点 E 的坐标为(13k213k2因为 O、E、D 三点在同一直线上，所以kOE KOD，即所以m2 k2=11m，解得m，k3k31222m k,当且仅当时取等号,即的最小值为k 1 k 22k2.（）证明:由题意知:n0,因为直线 OD 的方程为y mx,3my xm23所以由2得交点 G 的纵坐标为yG,2m 3x y21 3又因为yEn2y m,且OG ODOE，所以D213km2n m,m2313k2又由（）知:m 1,所以解得k n,所以直线l的方程为l:y kxk,k即有l:y k(x1),令x 1得,y=0,与实数 k 无关,5 5、解：（

19、1）当直线斜率不存在时：m 12（2）当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2)y kxm222x y 1得(k 2)x 2kmx m 1 0222 (2km)2 4(k2 2)(m21)4(k2 2m2 2)0（*）2kmm21,x1x22x1 x22k 2k 2AP 3PB，x1 3x2，x1 x2 2x2.消去x2，得3(x1 x2)24x1x20，2x1x2 3x22km2m21)42 03(2k 2k 2整理得4k m 2m k 2 02222112 2m222m 时，上式不成立；m 时，k，4m214422 2m211 0k，或 m 11 m 4m212

20、222 2m211把k代入（*）得或 m 11 m 24m 12221 m 11或 m 12211或 m 1。22综上m的取值范围为1 m 6、解：（）设动点P(x,y)，则MP(x4,y)，MN(3,0)，PN (1 x,y).由已知得3(x 4)6(1 x)(y)，22x2y21.化简得3x 4y 12，得4322x2y21.所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为43（）由题意知，直线l的斜率必存在，不妨设过N的直线l的方程为y k(x1)，设A，B两点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2).y k(x1),2222由x2y2消去y得(4k 3)x 8k x4k 12 0.13 4因为

21、N在椭圆内，所以 0.8k2x x,1234k2所以24k 12x x.12234k因为NANB (x11)(x21)y1y2(1k2)(x11)(x21)(1 k2)x1x2(x1 x2)14k2128k23 4k29(1 k2)(1 k)，3 4k23 4k22189(1k2)122所以.解得1k3.2734k57、解：AP (1,3)，设Q（x，y），AQ (x 3,y 1)，AP AQ (x 3)3(y 1)x 3y 6x2y21，即x2(3y)218，182而x2(3y)22|x|3y|，186xy18则(x 3y)2 x2(3y)26xy 186xy的取值范围是0，36x 3y的取

22、值范围是6，6AP AQ x 3y 6的取值范围是12，0 x28、解：（1）依题意可设椭圆方程为2 y21，则右焦点Fa由题设|a21 2 2|2a21,0 3，解得a2 3，x2故所求椭圆的方程为 y21.3（2）设P(xP,yP)、M(xM,yM)、N(xN,yN)，y kx mP为弦MN的中点，由x22 y 1 3得(3k21)x2 6mkx 3(m21)0直线与椭圆相交，(6mk)2 4(3k21)3(m21)0 m2 3k21,xPkAPxM xNm3mk，从而yP kxP m 2，23k 123k 1yP1m3k21，又|AM|AN|,AP MN,xP3mkm3k211则：，即2

23、m 3k21，3mkk把代入得m2 2m，解0 m 2，由得k212m1 0，解得m.23综上求得m的取值范围是 9、解：（）AM 2AP,NP AM 0.1 m 2.2NP 为 AM的垂直平分线，|NA|=|NM|又|CN|NM|2 2,|CN|AN|2 2 2.动点 N 的轨迹是以点 C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为2a 2 2,焦距 2c=2.a 2,c 1,b21.x2 y21.曲线 E 的方程为2（）当直线 GH 斜率存在时，x2 y21,设直线 GH 方程为y kx 2,代入椭圆方程23由 0得k2.24k3设G(x1,y1),H(x2,y2),则x1 x2,

24、x1x211 k2 k222得(k)x 4kx 3 0.2212又FG FH,x1x2,(x1,y12)(x2,y22)(x1 x22x x2)x212，12x1 x2(1)x2,x1x2x2.4k23)11 k2 k222,整理得2(1)(k231616,4.32332k216(1)213(21)2k11614 2.解得 3.3311.311又当直线 GH 斜率不存在，方程为x 0,FG FH,.33111,即所求的取值范围是,1)33又0 1,10、解：（1）由题意可得，c 1，a 2，b 3x2y21所求的椭圆的标准方程为：43x02y02（x0 2)，则1（2）设M(x0,y0)43且

25、MP (t x0,y0)，MH (2 x0,y0)，由MP MH可得MPMH 0，即(t x0)(2 x0)y0 0由、消去y0整理得212t(2 x0)x0 2x03 x0 24113t (2 x0)1x04422 x0 2，2 t 1t的取值范围为(2,1).c2a2b21c22 11、解：（）由题意知e，所以e 22a2aa2222即a 2b 又因为b 1，所以a2 2，b2111x2 y21故椭圆C的方程为2（）由题意知直线AB的斜率存在.设AB：y k(x2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x,y)，y k(x2),2222(12k)x 8k x8k 2 0.由x2得2 y

26、 1.2 64k44(2k21)(8k22)0，k21.28k228k2，x1x2.x1 x22212k12kx1 x28k2OA OB tOP，(x1 x2,y1 y2)t(x,y)，x，2tt(12k)y y1 y214k k(x1 x2)4k.ttt(12k2)(8k2)2(4k)222 2，点P在椭圆上，2t(12k2)2t(12k2)222216k t(1 2k).PA PB202 52 522，1k2x1 x2，(1k)(x1 x2)4x1x293364k48k22204(1k)，(12k2)212k292222(4k 1)(14k 13)0，k 1.416k2811222228

27、k，16k t(1 2k)，t，12k212k2422t 2 62 6或t 2，332 62 6)(,2).33实数t取值范围为(2,y2x212、解、设椭圆方程为221，由题意可得aba 2,b 2,c 2 2，y2x2故椭圆方程为142设AB的直线方程：y 2x m.y 2x m22由x2，得4x 2 2mx m 4 0，y21 2422由 (2 2m)16(m 4)0，得 2 2 m 2 2P到AB的距离为d|m|，3则SPAB|m|111|AB|d(4m2)3 2223121 m2m2822m(m 8)()2。882当且仅当m 2 2 2,2 2取等号，三角形PAB面积的最大值为2。1

28、313、解:设点M的坐标为x,y，点P的坐标为x0,y0，则x x0，y 2y0，所以x0 x，y0y，22222因为Px0,y0在圆x y1上，所以x0 y01y21将代入，得点M的轨迹方程 C 的方程为x 42（）由题意知，|t|1当t 1时，切线l的方程为y 1，点 A、B 的坐标分别为(33,1),(,1),22此时|AB|3，当t 1时，同理可得|AB|3；当t 1时，设切线l的方程为y kx m,k Ry kx t,2由得(4k2)x22ktxt24 0y21,x 4设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则由得：2ktt2 4x1 x2,x1x2224 k4

29、k又由l与圆x y 1相切，得22|t|k2121,即t2 k21.4k2t4(t2 4)4 3|t|.所以|AB|(x2 x1)(y2 y1)(1 k)222t23(4 k)4 k22因为|AB|4 3|t|t234 3 2,且当t 3时，3|t|t|AB|=2，所以|AB|的最大值为 222依题意，圆心O到直线 AB 的距离为圆x y1的半径，所以AOB面积S 1AB 11，2当且仅当t 3时，AOB面积 S 的最大值为 1，相应的T的坐标为0,3或者0,3 14、解：由题意知，|m|1.当m 1时，切线l的方程为x 1，点 A,B 的坐标分别为(1,此时|AB|3；33),(1,)，22

30、当m 1时，同理可得|AB|3；当m 1时，设切线l的方程为y k(xm).y k(xm)22222由x2得(14k)x 8k mx4k m 4 0.2 y 1 4设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).又由l与圆x y 1相切，得22|km|k2121，即m2k2 k21.22所以|AB|(x2 x1)(y2 y1)(1k)(x2 x1)4x1x2264k4m24(4k2m24)4 3|m|(1k).(14k2)214k2m232由于当m 1时，|AB|3，|AB|4 3|m|4 3 2，m23|m|3|m|当且当m 3时，|AB|2.所以|AB|的最大值为 2.选做选做

31、x2y21、解（1）椭圆 m：1124（2）由条件 D（0，2）M（0，t）1当 k=0 时，显然2t0可得t 4 12k设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点H(x0,y0)则x0H(x1 x23ktty kx t 0022213k1 3k3ktt,)1 3k21 3k2由|DP|DQ|OH PQ1即kDH kt 221 13k3ktk013k2t 的范围是（1，4）化简得t 13k2t1将代入得 1t4综上 t（2，4）2、解：解：（1）又NP 2NQ,点Q为PN的中点，GQNP 0，GQ PN或G点与Q点重合|PG|GN|.又|GM|GN|GM|GP|PM|4.点G的轨迹是以M,

32、N为焦点的椭圆，x2y21.且a 2,c 1，b a c 3,G的轨迹方程是4322(2)解：不存在这样一组正实数，下面证明：由题意，若存在这样的一组正实数，当直线MN的斜率存在时，设之为k，故直线MN的方程为：y k(x 1)，设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB中点D(x0,y0)，x12y121 43则，两式相减得：22x2y213 4(x1 x2)(x1 x2)(y1 y2)(y1 y2)043x1 x2x 3xy1 y21102注意到，则0，且4y0kx1 x2ky y1 y202又点D在直线MN上，y0 k(x01)，代入式得：x0 4因为弦AB的中点D在所给椭圆C内，故2

33、x0 2，这与x0 4矛盾，所以所求这组正实数不存在当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x 1，则此时y1 y2,x1 x2 2，代入式得x1 x2 0，这与A,B是不同两点矛盾综上，所求的这组正实数不存在x2y213 3、解：（）椭圆的标准方程为43（）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y kxm，222联立x2y2，得(34k)x 8mkx4(m 3)0，1.3 4 64m2k216(34k2)(m23)0，即34k2m2 0，则8mkx x ，12234k4(m23).x1x234k23(m24k2)又y1y2(kx1m)(kx2m)k x1x2mk(x1 x2)m，234k2

34、20)，因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2，kADkBD 1，即y1y2 1，x12 x22 y1y2 x1x22(x1 x2)4 0，3(m24k2)4(m23)16mk4 0，22234k34k34k9m216mk 4k2 0解得：m1 2k，m2 2k22，且均满足34k m 0，70)，与已知矛盾；当m1 2k时，l的方程为y k(x2)，直线过定点(2，22k20)时，l的方程为y k(x)，直线过定点(，77720)所以，直线l过定点，定点坐标为(，7当m2 x2y24 4、解：、解：（1）设椭圆方程为221(a b 0)aba 2b2a 8则 4解得211b 2a2b2x2

35、y21椭圆方程为82（2）直线l平行于 OM，且在 y 轴上的截距 m,又 KOM=12l的方程为：y 1x m21y x m2由2x2 2mx 2m24 02xy12 8直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点，(2m)24(2m24)0,解得2 m 2,且m 0.8分（3）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1+k2=0 即可设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1 x2 2m,x1x2 2m 42y11y21则k1,k2x12x22由x2 2mx 2m 4 0可得2x1 x2 2m,x1x2 2m2 4y11y21(y11)(x22)(y21)(x12)而k1 k2x12x22(x12)(x22)11(x1 m1)(x2 2)(x2 m1)(x1 2)22(x12)(x2 2)x1x2(m 2)(x1 x2)4(m1)(x1 2)(x22)2m2 4(m 2)(2m)4(m1)(x1 2)(x2 2)2m2 4 2m2 4m 4m 4 0.13分(x1 2)(x2 2)k1 k2 0故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。