相似图形培优老师用要点.pdf

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1、.1 2021年中考数学专题复习第二十七讲 相似图形【根底知识回忆】一、成比例线段：1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段，的长度分别为m、n 则这两条线段的比就是它们 的比，即：ABCD=2、比例线段：四条线段 a、b、c、d 如果ab=则四条线段叫做同比例线段，简称 3、比例的根本性质：ab=cd 4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线【名师提醒：1、表示两条线段的比时，必须示用一样的，在用了一样的前提下，两条线段的比值与用的无关 即比值没有 2、全分割：点 C 把线段 AB 分成两条，线段 AC 和 BCACBC如果 则称线段 AB 被点 C 全分割 AC 与 AB 的比叫全比

2、，即LACAB=】二、相似三角形：1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 则这两个三角形相似 2、性质：相似三角形的对应角 对应边 相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于 相似三角形周长的比等于 面积的比等于 1、判定：根本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似 两边对应 且夹角 的两三角形相似 两角 的两三角形相似 三组对应边的比 的两三角形相似【名师提醒：1、全等是相似比为 的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等相等一般要先证 判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】三、相

3、似多边形：1、定义：各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：相似多边形对应角 对应边 相似多边形周长的比等于 面积的比等于【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进展判定】一、位似：1、定义：如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 则这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于【名师提醒：1、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或 2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位 r，则位似图形对应点的坐标的比等于

4、或】【典型例题解析】考点一：比例线段 例 1 2021 如图，ABC，AB=AC=1，A=36，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，则 AD 的长是，cosA 的值是 结果保存根号 考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 分析：可以证明ABCBDC，设 AD=*，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得*的值；过点 D 作 DEAB 于点 E，则 E 为 AB 中点，由余弦定义可求出 cosA 的值 解答：解：ABC，AB=AC=1，A=36，.1 ABC=ACB=1802A=72 BD 是ABC 的平分线，ABD=DBC=12ABC=36 A=DBC=3

5、6，又C=C ABCBDC，ACBC=BCCD，设 AD=*，则 BD=BC=*则11xxx，解得：*=152舍去或152 故*=152 如右图，过点 D 作 DEAB 于点 E，AD=BD，E 为 AB 中点，即 AE=12AB=12 在 RtAED 中，cosA=12512AEAD=514 故答案是：152；514 点评：ABC、BCD 均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求 cosA 时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解 对应训练 2 2021如图，在ABC 中，AB=AC，A=36，BD 平分ABC交 AC 于点 D，假设 AC=2，则 AD 的长

6、是 A512 B512 C51D51 考点：黄金分割 分析：根据两角对应相等，判定两个三角形相似再用相似三角形对应边的比相等进展计算求出 BD 的长 解答：解：A=DBC=36，C 公共，ABCBDC，且 AD=BD=BC 设 BD=*，则 BC=*，CD=2-*由于BCACCDBC，22xxx 整理得：*2+2*-4=0，解方程得：*=-15，*为正数，.1*=-1+5 应选 C 点评：此题考察的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进展计算求出 BD的长 考点二：相似三角形的性质及其应用 例 2 2021ABCDEF，ABC 的周长

7、为 3，DEF 的周长为 1，则 ABC 与DEF 的面积之比为 考点：相似三角形的性质 专题：探究型 分析：先根据相似三角形的性质求出其相似比，再根据面积的比等于相似比的平方进展解答即可 解答：解：ABCDEF，ABC 的周长为 3，DEF 的周长为 1，三角形的相似比是 3：1，ABC 与DEF 的面积之比为 9：1 故答案为：9：1 点评：此题考察的是相似三角形的性质，即相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方 对应训练 2 2021ABCABC，相似比为 3：4，ABC 的周长为6，则ABC的周长为 考点：相似三角形的性质 专题：应用题 分析：根据相似

8、三角形周长的比等于相似比计算即可得解 解答：解：ABCABC，ABC 的周长：ABC的周长=3：4，ABC 的周长为 6，ABC的周长=643=8 故答案为：8 点评：此题主要考察了相似三角形周长的比等于相似比的性质，是根底题，熟记性质是解题的关键 考点三：相似三角形的判定方法及其应用 例 3 2021如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在BC 上，且 FC=14BC图中相似三角形共有 A1 对 B2 对 C3 对 D4对 考点：相似三角形的判定；正方形的性质 分析：首先由四边形 ABCD 是正方形，得出D=C=90，AD=DC=CB，又由 DE=CE，FC=14BC，

9、证出ADEECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出AEFADE，则可得AEFADEECF，进而可得出结论 解答：解：图中相似三角形共有 3 对理由如下：四边形 ABCD 是正方形，D=C=90，AD=DC=CB，DE=CE，FC=14BC，DE：CF=AD：EC=2：1，ADEECF，AE：EF=AD：EC，DAE=CEF，AE：EF=AD：DE，即 AD：AE=DE：EF，DAE+AED=90，CEF+AED=90，AEF=90，D=AEF，ADEAEF，AEFADEECF，即ADEECF，ADEAEF，AEFECF.1 应选 C 点评：此题考察了相似三角形的

10、判定与性质，以及正方形的性质此题难度 适 中，解 题 的 关 键 是 证 明 ECFADE，在 此 根 底 上 可 证AEFADE 对应训练 3.2021 如图，ABCADE 且ABC=ADE，ACB=AED，BC、DE 交于点 O则以下四个结论中，1=2；BC=DE；ABDACE；A、O、C、E 四点在同一个圆上，一定成立的有 A1 个 B2 个 C3 个 D4个 考点：相似三角形的判定；全等三角形的性质；圆周角定理 分析：由ABCADE 且ABC=ADE，ACB=AED，根据全等三角形的性质，即可求得 BC=DE，BAC=DAE，继而可得1=2，则可判定正确；由ABCADE，可得 AB=A

11、D，AC=AE，则可得AB：AC=AD：AE，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，即可判定正确；易证得AEFDCF 与AOFCEF，继而可得OAC+OCE=180，即可判定 A、O、C、E 四点在同一个圆上 解答：解：ABCADE 且ABC=ADE，ACB=AED，BAC=DAE，BC=DE，故正确；BAC-DAC=DAE-DAC，即1=2，故正确；ABCADE，AB=AD，AC=AE，ABADACAE，1=2，ABDACE，故正确；ACB=AEF，AFE=OFC，AFEOFC，AFEFOACF，2=FOC，即AFOFEFCF，AFO=EFC，AFOEFC，FAO=FEC，EAO+ECO

12、=2+FAO+ECO=FOC+FEC+ECO=180，A、O、C、E 四点在同一个圆上，故正确 应选 D 点评：此题考察了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质以及四点共圆的知识此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意找到相似三角形是解此题的关键 考点四：位似 例 5 2021如图，正方形 ABCD 的两边 BC，AB 分别在平面直角坐标系的*轴、y 轴的正半轴上，正方形 ABCD与正方形 ABCD 是以 AC 的中点 O为中心的位似图形，AC=32，假设点 A的坐标为 1，2，则正方形 ABCD与正方形 ABCD 的相似比是 A16 B13 C12 D23 考点：位似变换；坐标与图形性质

13、 分析：延长 AB交 BC 于点 E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比 解答：解：在正方形 ABCD 中，AC=32 BC=AB=3，延长 AB交 BC 于点 E，点 A的坐标为1，2，OE=1，EC=AE=3-1=2，正方形 ABCD的边长为 1，.1 正方形 ABCD与正方形 ABCD 的相似比是13 应选 B 点评：此题考察了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据条件求得两个正方形的边长 对应训练 5 2021如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1：2，点 A 的坐标为 1，0，则

14、 E 点的坐标为 A 2，0 B 3 3,)2 2 C(2,2)D(2,2)考点：位似变换；坐标与图形性质 分析：由题意可得 OA：OD=1：2，又由点 A 的坐标为1，0，即可求得 OD 的长，又由正方形的性质，即可求得 E 点的坐标 解答：解：正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1：2，OA：OD=1：2，点 A 的坐标为1，0，即 OA=1，OD=2，四边形 ODEF 是正方形，DE=OD=2 E 点的坐标为：2，2 应选 C 点评：此题考察了位似变换的性质与正方形的性质此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键【聚焦中考】1 20

15、21潍坊矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，假设四边形 EFDC 与矩形ABCD 相似，则 AD=A512 B512 C3 D2 考点：相似多边形的性质；翻折变换折叠问题 分析：可设 AD=*，根据四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，可得比例式，求解即可 解答：解：AB=1，设 AD=*，则 FD=*-1，FE=1，四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，EFADADAB，111xx，解得*1=152，*2=152负值舍去，经检验*1=152是原方程的解 应选 B 点评：考察了翻折变换折叠问题，相似多边

16、形的性质，此题的关键是根据四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似得到比例式 2 2021东营如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在*轴上，OC 在 y 轴上，如果矩形 OABC与矩形 OABC关于点 O 位似，且矩形 OABC的面积等于矩形 OABC 面积的14，.1 则点 B的坐标是 A-2，3 B 2，-3 C 3，-2或-2，3 D-2，3或2，-3 考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质 分析：由矩形 OABC与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形OABC的面积等于矩形 OABC 面积的14，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形

17、 OABC与矩形 OABC 的位似比为1：2，又由点 B 的坐标为-4，6，即可求得答案 解答：解：矩形 OABC与矩形 OABC 关于点 O 位似，矩形 OABC矩形 OABC，矩形 OABC的面积等于矩形 OABC 面积的14，位似比为：1：2，点 B 的坐标为-4，6，点 B的坐标是：-2，3或2，-3 应选 D 点评：此题考察了位似图形的性质此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用 3.2021日照在菱形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，连接 AE 交 BD于点 F，假设 EC=2BE，则BFFD的值

18、是 A12 B13 C14 D15 考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质 分析：根据菱形的对边平行且相等的性质，判断BEFDAF，得出BFFD=BEAD，再根据 BE 与 BC 的数量关系求比值 解答：解：如图，在菱形 ABCD 中，ADBC，且 AD=BC，BEFDAF，BFFD=BEAD，又EC=2BE，BC=3BE，即 AD=3BE，BFFD=BEAD=13，应选 B 点评：此题考察了相似三角形的判定与性质，菱形的性质关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性质得出线段的长度关系 4.2021为了测量被池塘隔开的 A，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中 ABBE，EF

19、BE，AF 交 BE 于 D，C 在 BD上 有四位同学分别测量出以下四组数据：BC，ACB；CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC能根据所测数据，求出 A，B 间距离的有 A1 组 B2 组 C3 组 D4组 F 考点：相似三角形的应用；解直角三角形的应用 分析：根据三角形相似可知，要求出 AB，只需求出 EF 即可所以借助于相似三角形的性质，根据EFFDABBD即可解答 解答：解：此题比较综合，要多方面考虑，因为知道ACB 和 BC 的长，所以可利用ACB 的正切来求 AB 的长；可利用ACB 和ADB 的正切求出 AB；.1，因为ABDEFD 可利用EFFDABBD，求

20、出 AB；无法求出 A，B 间距离 故共有 3 组可以求出 A，B 间距离 应选 C 点评：此题考察相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，此题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出 5 2021威海如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为4，0，8，2，6，4 A1B1C1的两个顶点的坐标为1，3，2，5，假设ABC 与A1B1C1位似，则A1B1C1的第三个顶点的坐标为 考点：位似变换；坐标与图形性质 分析：首先由题意可求得直线 AC、AB、BC 的解析式与过点1，3，2，5的直线的解析式，即可知过这两点的直线与直线 AC 平

21、行，则可分别从假设 A 的对应点为 A11，3，C 的对应点为 C12，5与假设 C的对应点为 A11，3，A 的对应点为 C12，5去分析求解，即可求得答案 解答：解：设直线 AC 的解析式为：y=k*+b，ABC 的顶点坐标分别为4，0，8，2，6，4，4064kbkb，解得：28kb，直线 AC 的解析式为：y=2*-8，同理可得：直线 AB 的解析式为：y=12*-2，直线 BC 的解析式为：y=-*+10，A1B1C1的两个顶点的坐标为1，3，2，5，过这两点的直线为：y=2*+1，过这两点的直线与直线 AC 平行，假设 A 的对应点为 A11，3，C 的对应点为 C12，5，则 B

22、1C1BC，B1A1BA，设直线 B1C1的解析式为 y=-*+a，直线 B1A1的解析式为 y=12*+b，-2+a=5，12+b=3，解得：a=7，b=52，直线 B1C1的解析式为 y=-*+7，直线 B1A1的解析式为 y=12*+52，则直线 B1C1与直线 B1A1的交点为：3，4；假设 C 的对应点为 A11，3，A 的对应点为 C12，5，则 B1A1BC，B1C1BA，设直线 B1C1的解析式为 y=12*+c，直线 B1A1的解析式为 y=-*+d，122+c=5，-1+d=3，解得：c=4，d=4，直线 B1C1的解析式为 y=12*+4，直线 B1A1的解析式为 y=-

23、*+4，则直线 B1C1与直线 B1A1的交点为：0，4 A1B1C1的第三个顶点的坐标为3，4或0，4 故答案为：3，4或0，4 点评：此题考察了位似图形的性质此题难度适中，注意掌握位似图形的对应线段互相平行，注意掌握待定系数法求一次函数解析式的知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用【备考真题过关】一、选择题 1 2021凉山州513ba，则abab的值是 .1 A23 B32 C94D49 考点：比例的性质 分析：先设出 b=5k，得出 a=13k，再把 a，b 的值代入即可求出答案 解答：解：令 a，b 分别等于 13 和 5，513ba，a=13，abab=13541359；应选

24、D 点评：此题考察了比例的性质此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形 2 2021天门如图，ABC 为等边三角形，点 E 在 BA 的延长线上，点 D 在 BC 边上，且 ED=EC假设ABC 的边长为 4，AE=2，则 BD的长为 A2 B3 C3D31 考点：平行线分线段成比例；等腰三角形的性质；等边三角形的性质 分析：延长 BC 至 F 点，使得 CF=BD，证得EBDEFC 后即可证得B=F，然后证得 ACEF，利用平行线分线段成比例定理证得 CF=EA后即可求得 BD 的长 解答：解：延长 BC 至 F 点，使得 CF=BD，ED=EC EDB=ECF EBDEFC

25、B=F ABC 是等边三角形，B=ACB ACB=F ACEF AE=CF=2 BD=AE=CF=2 应选 A 点评：此题考察了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线 3 2021如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3，点 E、F、G、H分别在矩形 ABCD 的各边上，EFACHG，EHBDFG，则四边形EFGH 的周长是 A10 B13 C2 10D2 13 考点：平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质 分析：根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例定理列式表示出 EF、EH 的长度之和，再根据四边形 EFGH 是平行四边形

26、，即可得解 解答：解：在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3，根据勾股定理，AC=BD=22222313ABBC，EFACHG，EFEBACAB，EHBDFG，EHAEBDAB，EFEHEBAEACBDABAB=1，.1 EF+EH=AC=13，EFHG，EHFG，四边形 EFGH 是平行四边形，四边形 EFGH 的周长=2EF+EH=213 应选 D 点评：此题考察了平行线分线段成比例定理，矩形的对角线相等，勾股定理，根据平行线分线段成比例定理求出EFEHACBD1 是解题的关键，也是此题的难点 4 2021小用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB 在乙图中的对应线段是 A

27、FG BFH CEH DEF 考点：相似图形 分析：观察图形，先找出对应顶点，再根据对应顶点的连线即为对应线段解答 解答：解：由图可知，点 A、E 是对应顶点，点 B、F 是对应顶点，点 D、H 是对应顶点，所以，甲图中的线段 AB 在乙图中的对应线段是 EF 应选 D 点评：此题考察了相似图形，根据对应点确定对应线段，所以确定出对应点是解题的关键 5.2021地区如图，六边形 ABCDEF六边形 GHIJKL，相似比为 2：1，则以下结论正确的选项是 AE=2K BBC=2HI C六边形 ABCDEF 的周长=六边形 GHIJKL 的周长 DS六边形 ABCDEF=2S六边形 GHIJKL

28、考点：相似多边形的性质 专题：探究型 分析：根据相似多边形的性质对各选项进展逐一分析即可 解答：解：A、六边形 ABCDEF六边形 GHIJKL，E=K，故本选项错误；B、六边形 ABCDEF六边形 GHIJKL，相似比为 2：1，BC=2HI，故本选项正确；C、六边形 ABCDEF六边形 GHIJKL，相似比为 2：1，六边形ABCDEF 的周长=六边形 GHIJKL 的周长2，故本选项错误；D、六边形 ABCDEF六边形 GHIJKL，相似比为 2：1，S六边形ABCDEF=4S六边形 GHIJKL，故本选项错误 应选 B 点评：此题考察的是相似多边形的性质，即两个相似多边形的对应角相等，

29、周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方 6.2021荆州以下 44 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC 相似的三角形所在的网格图形是 A B C D.1 考点：相似三角形的判定 专题：网格型 分析：根据勾股定理求出ABC 的三边，并求出三边之比，然后根据网格构造利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案 解答：解：根据勾股定理，AB=2222=22，BC=2211=2，AC=221310，所以ABC 的三边之比为2：22：10=1：2：5，A、三角形的三边分别为 2，221310，2233=32，三边之比为 2：1

30、0：32=2：5：3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为 2，4，2224=25，三边之比为 2：4：25=1：2：5，故本选项正确；C、三角形的三边分别为 2，3，2223=13，三边之比为 2：3：13，故本选项错误；D、三角形的三边分别为2212=5，2223=13，4，三边之比为5：13：4，故本选项错误 应选 B 点评：此题主要考察了相似三角形的判定与网格构造的知识，根据网格构造分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键 7.2021如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，要判定ADB 与ABC相似，添加一个条件，不正确的选项是 A ABD=C B ADB=ABC C

31、ABCBBDCDDADABABAC 考点：相似三角形的判定 分析：由A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得 A 与B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得 D 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用 解答：解：A 是公共角，当ABD=C 或ADB=ABC 时，ADBABC有两角对应相等的三角形相似；故 A 与 B 正确；当ADABABAC时，ADBABC两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；故 D 正确；当ABCBBDCD时，A 不是夹角，故不能判定ADB 与ABC 相似，故 C 错误 应选 C 点评：此题考察了相似三角形的判定

32、此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用 8 2021如图，在ABC 中，EFBC，12AEEB，S四边形 BCFE=8，则 SABC=A9 B10 C12 D13 考点：相似三角形的判定与性质 专题：计算题.1 分析：求出AEAB的值，推出AEFABC，得出19SAEFABCS，把 S四边形BCFE=8 代入求出即可 解答：解：12AEEB，AEAB=11123，EFBC，AEFABC，211()39SAEFABCS，9SAEF=SABC，S四边形 BCFE=8，9SABC-8=SABC，解得：SABC=9 应选 A 点评：

33、此题考察了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目 9.2021如图，在四边形 ABCD 中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD=12AB，点 E、F 分别为 AB、AD 的中点，则AEF 与多边形 BCDFE的面积之比为 A17 B16 C15 D14 考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理 分 析：根 据 三 角 形 的 中 位 线 求 出 EF=12BD，EFBD，推 出AEFABD，得出14SAEFABDS，求出 112122DCBCSABBCCDBABDS，即可求出AEF 与多边形 BCDFE

34、 的面积之比 解答：解：连接 BD，F、E 分别为 AD、AB 中点，EF=12BD，EFBD，AEFABD，14SAEFABDS，AEF 的面积：四边形 EFDB 的面积=1：3，CD=12AB，CBDC，ABCD，112122DCBCSABBCCDBABDS，AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为 1：1+4=1：5，应选 C 点评：此题考察了三角形的面积，三角形的中位线等知识点的应用，主要.1 考察学生运用性质进展推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中 10 2021图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是 A点 M B点 N C点 O D 点P 考点：位似变换 专题：网格型 分

35、析：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心 即位似中心一定在对应点的连线上 解答：解：点 P 在对应点 M 和点 N 所在直线上，应选：D 点评：此题主要考察了位似图形的概念，根据位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上得出是解题关键 二、填空题 12 2021宿迁如图，P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PAPB，假设S1表示 PA 为一边的正方形的面积，S2表示长是 AB，宽是 PB 的矩形的面积，则 S1S2 填“=或“考点：黄金分割 分析：根据黄金分割的定义得到 PA2=PBAB，再利用正方形和矩形的面积公式有 S1=PA2，S2=PBAB，即可得到 S1=S2

36、 解答：解：P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PAPB，PA2=PBAB，又S1表示 PA 为一边的正方形的面积，S2表示长是 AB，宽是 PB 的矩形的面积，S1=PA2，S2=PBAB，S1=S2 故答案为=点评：此题考察了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点 14.2021正方形 ABCD 的边长为 1cm，M、N 分别是 BC、CD 上两个动点，且始终保持 AMMN，当 BM=cm 时，四边形 AB 的面积最大，最大面积为 cm2 考点：相似三角形的判定与性质；

37、二次函数的最值；正方形的性质 分析：设 BM=*cm，则 MC=1-*cm，当 AMMN 时，利用互余关系可证ABMM，利用相似比求，根据梯形的面积公式表示四边形 AB 的面积，用二次函数的性质求面积的最大值 解答：解：设 BM=*cm，则 MC=1-*cm，AMN=90，AMB+NMC=90，NMC+MNC=90，AMB=90-NMC=MNC，ABMM，则ABBMMCCN，即11xxCN，解得=(1)(1)1xxxx，S四边形 AB=1211+*1-*=-12*2+12*+12，-120，当*=-112122()2 cm 时，S四边形 AB最大，最大值是-12122+1212+12=58cm

38、2 故答案是：12，58 点评：此题考察了二次函数的性质的运用关键是根据条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式 15.2021资阳如图，O 为矩形 ABCD 的中心，M 为 BC 边上一点，N 为 DC 边上一点，ONOM，假设 AB=6，AD=4，设 OM=*，ON=y，则 y 与*的函数关系式为。考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质 分析：求两条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角.1 形的关系求解 解答：解：如图，作 OFBC 于 F，OECD 于 E，ABCD 为矩形 C=90 OFBC，OECD EOF=90 EON+FON=90 ONOM EON=FOM O

39、ENOFM OEONOFOM O 为中心 6342OFABOEAD,32OMON,即 y=23*，故答案为：y=23*，点评：此题主要考察的是相似三角形的判定与性质，解题的关键是合理的在图中作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质 16.2021如图，E 是 ABCD 的边 CD 上一点，连接 AE 并延长交BC 的延长线于点 F，且 AD=4，13CEAD，则 CF 的长为 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 分析：由四边形 ABCD 是平行四边形，即可得 BC=AD=4，ABCD，继而可证得FECFAB，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案 解答：解：四边形 ABCD

40、 是平行四边形，BC=AD=4，ABCD，FECFAB，13CFCEBFAB，12CFBC，CF=12BC=124=2 故答案为：2 点评：此题考察了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 18 2021如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度，标杆 BE 高 1.5m，测得 AB=2m，BC=14cm，则楼高 CD 为 m 考点：相似三角形的应用 专题：应用题 分析：先根据题意得出ABEACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出 CD 的值 解答：解：EBAC，DCAC，EBDC，ABEACD，BEABCDAC，BE=1.5，AB=2，BC=14

41、，AC=16，1.5216CD，CD=12 故答案为：12 点评：此题考察的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键 19.2021如图，在一场羽毛球比赛中，站在场 M 处的运发动林丹把球从 N 点击到了对方的 B 点，网高 OA=1.52 米，OB=4 米，OM=5 米，.1 则林丹起跳后击球点 N 离地面的距离 NM=米 考点：相似三角形的应用 分析：首先根据题意易得ABONAM，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案 解答：解：根据题意得：AOBM，NMBM，AONM，ABONBM，OAOBNMBM，OA=1.52 米，OB=4 米，OM=5 米，B

42、M=OB+OM=4+5=9米，1.5249NM，解得：NM=3.42米，林丹起跳后击球点 N 离地面的距离 NM 为 3.42 米 故答案为：3.42 点评：此题考察了相似三角形的应用此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用，注意把实际问题转化为数学问题求解 20.2021如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B在同一直线上纸板的两条直角边 DE=40cm，EF=20cm，测得边 DF离地面的高度 AC=1.5m，CD=8m，则树高 AB=m 考点：相似三角形的应用 分析：利用直角三角

43、形 DEF 和直角三角形 BCD 相似求得 BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高 AB 解答：解：DEF=BCD=90D=D DEFDCB BCDCEFDE,DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m，80.20.4BC,BC=4，AB=AC+BC=1.5+4=5.5 米，故答案为 5.5 点评：此题考察了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型 21.2021 如图，ABC 与A1B1C1为位似图形，点 O 是它们的位似中心，位似比是 1：2，ABC 的面积为 3，则A1B1C1的面积是 考点：位似变换 分析：由ABC 与A1

44、B1C1为位似图形，位似比是 1：2，即可得ABC与A1B1C1为相似三角形，且相似比为 1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案 解答：解：ABC 与A1B1C1为位似图形，ABCA1B1C1，位似比是 1：2，相似比是 1：2，ABC 与A1B1C1的面积比为：1：4，ABC 的面积为 3，A1B1C1的面积是：34=12 故答案为：12 点评：此题考察了位似图形的性质注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用 三、解答题 22 2021己知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD，BAF=DAE，AE 与

45、BD 交于点 G 1求证：BE=DF；2当DFADFCDF时，求证：四边形 BEFG 是平行四边形 考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质.1 专题：证明题 分析：1证得ABF 与AFD 全等后即可证得结论；2 利用DFADFCDF得到FDADDGFCBEGB，从而根据平行线分线段成比例定理证得 FGBC，进而得到DGF=DBC=BDC，最后证得BE=GF，利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形 解答：证明：1四边形 ABCD 是菱形，AB=AD，ABC=ADF，BAF=DAE，BAF-EAF=DAE-EAF，即：BAE=DAF，BAEDAF BE=D

46、F；2DFADFCDF，FDADDGFCBEGB FGBC DGF=DBC=BDC DF=GF BE=GF 四边形 BEFG 是平行四边形 点评：此题考察了平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质，特别是第二问如何利用比例式进展转化是解决此题的关键 23 2021如图，在ABC 中，C=90，点 D 是 AB 边上的一点，DMAB，且 DM=AC，过点 M 作 MEBC 交 AB 于点 E 求证：ABCMED 考点：相似三角形的判定 专题：证明题 分析：根据平行线的性质可得出B=MED，结合全等三角形的判定定理可判断ABCMED，也可得出ABCMED 解答：证明：MDAB，MDE=C=9

47、0，MEBC，B=MED，在ABC 与MED 中，BMEDCEDMDMAC ，ABCMEDAAS ABCMED 点评：此题考察了相似三角形的判定，注意两三角形全等一定相似，但两三角形相似不一定全等，要求掌握三角形全等及相似的判定定理，难度一般 24 2021株洲如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，沿直线 MN对折，使 A、C 重合，直线 MN 交 AC 于 O 1求证：CBA；2求线段 OM 的长度 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质 分析：1根据 A 与 C 关于直线 MN 对称得到 ACMN，进一步得到=90，从而得到在矩形 ABCD 中=B，最后证得CBA；2

48、利用上题证得的相似三角形的对应边成比例得到比例式后即可求得OM 的长 解答：1证明：A 与 C 关于直线 MN 对称，ACMN，=90 在矩形 ABCD 中，B=90，=B，又ACB=ACB，CBA；.1 2解：在 RtCBA 中，AB=6，BC=8，AC=10，OC=5，CBA，OCOMBCAB，OM=154 点评：此题考察了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质，解题的关键是仔细分析并找到相等的角来证得相似三角形 25.2021株洲如图，在ABC 中，C=90，BC=5 米，AC=12米M 点在线段 CA 上，从 C 向 A 运动，速度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从

49、 A 向 B 运动，速度为 2 米/秒运动时间为 t 秒 1当 t 为何值时，AMN=ANM.2当 t 为何值时，AMN 的面积最大.并求出这个最大值 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值 分析：1用 t 表示出 AM 和 AN 的值，根据 AM=AN，得到关于 t 的方程求得 t 值即可；2作 NHAC 于 H，证得ANHABC，从而得到比例式，然后用t 表示出 NH，从而计算其面积得到有关 t 的二次函数求最值即可 解答：解：1从 C 向 A 运动，速度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB上，从 A 向 B 运动，速度为 2 米/秒运动时间为 t 秒 AM=12-t，AN=2t AMN=ANM AM=AN，从而 12-t=2t 解得：t=4 秒，当 t 为 4 时，AMN=ANM 2如图，作 NHAC 于 H，NHA=C=90，NHBC NHAABC ANNHABBC，即：2135tNH,NH=1013t,从而有 SAMN=1212-t1013t=-513t2+6013t，当 t=6 时，S 最大值=18013 点评：此题考察了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而求解