中考数学中考最后压轴题训练---折叠旋转问题.pdf

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1、 中考数学中考最后压轴题训练-折叠旋转问题-作者:_ -日期:_ 一折叠类 1.（13江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD中，边2AB，边1AD，且 AB、AD分别在 x 轴、y轴的正半轴上，点 A与坐标原点重合将矩形折叠，使点 A落在边 DC 上，设点A是点 A落在边 DC 上的对应点（1）当矩形 ABCD 沿直线12yxb 折叠时（如图 1），求点A的坐标和 b的值；（2）当矩形 ABCD 沿直线ykxb折叠时，求点A的坐标（用 k 表示）；求出 k和 b之间的关系式；如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分 为如图 2、3、4所示的三种情形，请你分别写出每种情形时 k的取值范

2、围（将答案直接填在每种情形下的横线上）（当如图 1、2 折叠时，求 DA的取值范围？）k的取值范围是 ；k的取值范围是 ；k的取值范围是 ；解（1）如图答 5，设直线12yxb 与 OD交于点 E，与 OB交于点 F，连结A O，则 OE=b，OF=2b，设点A的坐标为（a，1）（图 4）yx()ODCBA（图 3）yx()ODCBA（图 2）ABCDO()xy（图 1）yx()ODCBA 因为90DOAA OF，90OFEA OF，所以DOAOFE，所以DOA OFE 所以DADOOEOF，即12abb，所以12a 所以点A的坐标为（12，1）连结A E，则A EOEb 在 RtDEA中，根

3、据勾股定理有222A EA DDE，即2221()(1)2bb，解得58b （2）如图答 6，设直线ykxb与 OD交于点 E，与 OB交于点 F，连结A O，则 OE=b，bOFk，设点A的坐标为（a，1）因为90DOAA OF，90OFEA OF 所以DOAOFE，所以DOAOFE 所以DADOOEOF，即1abbk，所以ak 所以A点的坐标为（k，1）连结A E，在 RtDEA中，DAk，1DEb，A Eb 因为222A EA DDE，所以222()(1)bkb 所以212kb 在图答 6 和图答 7 中求解参照给分 （3）图 132 中：21k ；图 133 中：1k23；图 134

4、中：230k 点评这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。yx()ODCBAEFAG（图答yx()ODCBAEFA（图答（图答yx()ODCBAEFA 2.（13 广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点AD，的坐标分别为(5 0)，和(3 0)，（1）求点C的坐标；（2）求DE所在直线的解析式；（3）设过点C的抛物线223(0)yxbxc b与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得CMG为等边三角形若存在

5、，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由 解（1）根据题意，得53CDCBOAOD，Q90COD o，2222534OCCDOD 点C的坐标是(0 4)，；（2）4ABOCQ，设AEx，则4DEBEx，532ADOAOD，在RtDEA中，222DEADAE 222(4)2xx 解之，得32x，即点E的坐标是352，设DE所在直线的解析式为ykxb，30352kbkb，1 1 5 D E A x y C M B 1 1 5 D H G E A x y C F M B 解之，得3494kb，DE所在直线的解析式为3944yx；（3）Q点(0 4)C，在抛物线223yxbxc上，4c 即抛物线为223

6、4yxbx 假设在抛物线2234yxbx上存在点G，使得CMG为等边三角形，根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G一定在该抛物线的顶点上 设点G的坐标为()mn，332 24bbm ，224 2 4(3)3234 28bbn，即点G的坐标为2332348bb，设对称轴34bx 与直线CB交于点F，与x轴交于点H 则点F的坐标为344b，00bmQ，点G在y轴的右侧，34bCFm，2232334488bbFHFG，322bCMCGCF Q，在RtCGF中，222CGCFFG，2222333248bbb 解之，得2(0)bb Q 3342bm，2323582bn 点G的坐标为3 522，在抛

7、物线2234(0)yxbxb上存在点G3 522，使得CMG为等边三角形 点评这是一道以折叠为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题中第1、2 小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解，第 3 小题是探究型问题，是一道检测学生能力的好题。3（13 湖北咸宁卷）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，53OAOC，（1）在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，E的坐标；（2）若过点DE，的抛物线与x轴相交于点(5 0)F ，求抛物线的解析式和对称轴方程；（

8、3）若（2）中的抛物线与y轴交于点H，在抛物线上是否存在点P，使PFH的内心在坐标轴上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由（4）若（2）中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移动到什么位置时，OD，两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式 B C A O D F E y x 3 5 5 4.(14台州市)24如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处已知折叠5 5CE，且3tan4EDA （1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理由；（2）求

9、直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由 解：（1）OCD与ADE相似 理由如下：由折叠知，90CDEB，1290 ，139023.oQ，又90CODDAE，OCDADE（2）3tan4AEEDAAD，设3AEt，则4ADt 由勾股定理得5DEt 358OCABAEEBAEDEttt 由（1）OCDADE，得OCCDADDE，845tCDtt，10CDt O x y（第 24C B E D A（第 24 题图 2）O x y C

10、 B E D P M G l N A F 在DCE中，222CDDECE，222(10)(5)(5 5)tt，解得1t 83OCAE，点C的坐标为(0 8)，点E的坐标为(10 3)，设直线CE的解析式为ykxb，1038kbb，解得128kb，182yx，则点P的坐标为(16 0)，（3）满足条件的直线l有 2条：212yx，212yx 如图 2：准确画出两条直线 5.(14宁德市)26.已知：矩形纸片ABCD中，26AB 厘米，18.5BC 厘米，点E在AD上，且6AE 厘米，点P是AB边上一动点按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图 1所示）；步骤二，过

11、点P作PTAB，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图 2所示）（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE（填“”、“”、“”号）；（2）如图 3 所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：当点P在A点时，PT与MN交于点11QQ，点的坐标是（，）；当6PA 厘米时，PT与MN交于点22QQ，点的坐标是（，）；当12PA 厘米时，在图 3中画出MNPT，（不要求写画法），并求出MN与PT的交点3Q的坐标；（3）点P在运动过程，PT与MN形成一系列的交点123QQQ，观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式 解:（1）PQQE（2）(0 3

12、)，；(6 6)，画图，如图所示 解：方法一：设MN与EP交于点F 在RtAPE中，226 5PEAEAP，13 52PFPE 390Q PFEPA，90AEPEPA，3Q PFAEP A P B C M D(P)E B C 图 1 0(A)B C D E 6 12 18 24 x y 6 12 18 1Q 2Q 图 3 A N P B C M D E Q T 图 2 0(A)B C D E 6 12 18 24 x y 6 12 18 1Q 2Q 3Q F M G P 又390EAPQ FP，3Q PFPEA 3Q PPFPEEA 315PE PFQ PEA 3(1215)Q，方法二：过点E

13、作3EGQ P，垂足为G，则四边形APGE是矩形 6GP，12EG 设3Q Gx，则336Q EQ Px 在3RtQ EG中，22233EQEGQ G 222(6)12xx 9x 3125Q P 3(1215)Q，（3）这些点形成的图象是一段抛物线 函数关系式：213(026)12yxx 6.(14日照市)24.如图，直线 EF将矩形纸片 ABCD 分成面积相等的两部分，E、F分别与 BC 交于点 E，与 AD交于点 F（E，F不与顶点重合），设AB=a,AD=b,BE=x()求证：AF=EC；()用剪刀将纸片沿直线 EF剪开后，再将纸片 ABEF沿 AB对称翻折，然后平移拼接在梯形 ECDF

14、的下方，使一底边重合，直腰落在边 DC 的延长线上，拼接后，下方的梯形记作 EEBC.（1）求出直线 EE分别经过原矩形的顶点 A和顶点 D时，所对应的 xb 的值；（2）在直线 EE经过原矩形的一个顶点的情形下，连接 BE，直线 BE与 EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当 a与 b 满足什么关系时，它们垂直？解:()证明：AB=a，AD=b，BE=x，S梯形ABEF=S梯形CDFE 21a(x+AF)=21a(EC+b-AF)，2AF=EC+(b-x)又ECb-x，2AF=2EC，即 AF=EC；()（1）当直线 EE经过原矩形的顶点 D时，如图（一），ECE

15、B，BEEC=BDDC.由 ECb-x，EB=EB=x，DB=DC+CB=2a，得aaxxb2，xb=32；当直线 EE 经过原矩形的顶点 A时，如图（二），在梯形 AEBD中，ECEB,点 C 是 DB的中点，CE=21(AD+EB)，即 b-x21（bx），xb=31 (2)如图（一），当直线 EE 经过原矩形的顶点 D时，BEEF 证明：连接 BF FDBE,FD=BE，四边形 FBED是平行四边形，FBDE，FB=DE,又ECEB，点 C 是 DB的中点，DE=EE，FBEE,FB=EE，四边形 BEEF是平行四边形 BEEF 如图（二），当直线 EE 经过原矩形的顶点 A时，显然 B

16、E与 EF不平行，设直线 EF与 BE交于点 G.过点 E作 EMBC 于 M，则 EM=a.xb=31，EM=31BC=31b 若 BE与 EF垂直，则有GBE+BEG=90，又BEGFECMEE，MEE+MEE=90，GBE=MEE.在 Rt BME中，tanEBM=tanGBE=BMME=ba32 在 Rt EME中，tanMEE=MEEM=ab31，ba32ab31 又a0，b0，ba32，当ba32时，BE与 EF垂直.7.(14 荆门市)28.如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点 P是 OA 边上的动点(与点 O

17、、A不重合)现将PAB 沿 PB 翻折，得到PDB；再在 OC 边上选取适当的点 E，将POE沿 PE翻折，得到PFE，并使直线 PD、PF重合(1)设 P(x，0)，E(0，y)，求 y关于 x的函数关系式，并求 y的最大值；(2)如图 2，若翻折后点 D落在 BC 边上，求过点 P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使PEQ是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标 图 1 FEPDyxBACO图 2 OCABxyDPEF 解：(1)由已知 PB平分APD，PE平分OPF，且 PD、PF重合，则BPE=90OP

18、EAPB=90又APBABP=90，OPE=PBA RtPOERtBPA POBAOEAP即34xyxy=2114(4)333xxxx(0 x4)且当 x=2 时，y有最大值13(2)由已知，PAB、POE均为等腰三角形，可得 P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)设过此三点的抛物线为 y=ax2bxc，则1,0,1643.cabcabc1,23,21.abc y=213122xx(3)由(2)知EPB=90，即点 Q与点 B重合时满足条件 直线 PB为 y=x1，与 y轴交于点(0，1)将 PB向上平移 2 个单位则过点 E(0，1)，该直线为 y=x1 由21,131,22yxyxx得5

19、,6.xyQ(5，6)故该抛物线上存在两点 Q(4，3)、(5，6)满足条件 8.(14 湖北省孝感市)25.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时得到线段 BN（如图 2）.（图 1）（图 2）请解答以下问题：（1）如图 2，若延长 MN 交 BC 于 P，BMP 是什么三角形？请证明你的结论（2）在图 2 中，若 AB=a，BC=b，a、b 满足什么关系，才能在矩形纸片 ABCD 上

20、剪出符合（1）中结论的三角形纸片 BMP？（3）设矩形 ABCD 的边 AB=2，BC=4，并建立如图 3 所示的直角坐标系.设直线BM为ykx，当MBC=60时，求 k 的值.此时，将ABM沿 BM折叠，点 A 是否落在 EF 上（E、F 分别为 AB、CD 中点）？为什么？（图 3）解：（1）BMP 是等边三角形.证明：连结 AN EF 垂直平分 AB AN=BN 由折叠知 AB=BN AN=AB=BN ABN 为等边三角形 ABN=60 PBN=30 又ABM=NBM=30，BNM=A=90 BPN=60 MBP=MBN+PBN=60 BMP=60 MBP=BMP=BPM=60 BMP

21、为等边三角形.（2）要在矩形纸片 ABCD 上剪出等边BMP，则 BC BP 在 RtBNP 中，BN=BA=a，PBN=30 BP=cos30ao bcos30ao a23b.当 a23b 时，在矩形上能剪出这样的等边BMP.（3）MBC=60 ABM=9060=30 在 RtABM中，tanABM=AMAB tan30=2AM AM=2 33 M(2 33，2).代入 y=kx 中，得 k=22 33=3 设ABM沿 BM折叠后，点 A 落在矩形 ABCD 内的点为A 过A作AH BC 交 BC 于 H.ABM ABM A BM=ABM=30,AB=AB=2 A BHMBH A BM=30

22、.在 RtABH 中，AH=12AB=1 ，BH=3 3,1A A落在 EF 上.(图 2)(图 3)9.(14 广东省茂名市)25.如图，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，ABx轴，B（3，3），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，30OAD折叠后，点 O落在点1O，点 C 落在点1C，并且1DO与1DC在同一直线上（1）求折痕 AD 所在直线的解析式；（2）求经过三点 O，1C，C 的抛物线的解析式；（3）若P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，P与两坐标轴都相切时，求P半径R的值(第 25 题图)C D O A B E O1 C1 x y 解：（1）

23、由已知得 3,30OAOAD 3tan30313ODOA，0310AD，设直线 AD的解析式为ykxb 把 A，D坐标代入上式得：30bkb，解得：33kb，折痕 AD所在的直线的解析式是33yx （2）过1C作1C FOC于点 F，由已知得160ADOADO，160C DC 又 DC312，12DCDC 在1RtC DF中，111sin2 sin603C FDCC DF g 1112DFDC，12,3C，而已知3,0C 法一：设经过三点 O，C1，C 的抛物线的解析式是3yax x 点123C，在抛物线上，2233a，32a 2333 33222yx xxx 为所求 法二：设经过三点 O，C

24、1，C 的抛物线的解析式是2,(0)yaxbxc a 把 O，C1，C 的坐标代入上式得:0423930cabcabc，解得33 320abc，233 322yxx 为所求（3）设圆心,P x y，则当P与两坐标轴都相切时，有yx (第 25题图)C D O A B E O1 C1 x y F 由yx，得233 322xxx，解得10 x（舍去），22 333x 由yx，得233 322xxx 解得10 x（舍去），22 333x 所求P的半径2 333R 或2 333R 10.(14重庆市)28已知，在 RtOAB中，OAB900，BOA300，AB2。若以 O为坐标原点，OA所在直线为x轴

25、，建立如图所示的平面直角坐标系，点 B在第一象限内。将 RtOAB沿 OB折叠后，点 A落在第一象限内的点 C 处。（1）求点 C 的坐标；（2）若抛物线bxaxy2（a0）经过 C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB交于点 D，点 P 为线段 DB上一点，过 P 作y轴的平行线，交抛物线于点 M。问：是否存在这样的点 P，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。注：抛物线cbxaxy2（a0）的顶点坐标为abac，ab4422，对称轴公式为abx2 y x CBAO28 题图 解:（1）过点 C 作 CHx轴，垂足为 H

26、在 Rt OAB中，OAB900，BOA300，AB2 OB4，OA32 由折叠知，COB300，OCOA32 COH600，OH3，CH3 C 点坐标为（3，3）（2）抛物线bxaxy2（a0）经过 C（3，3）、A（32，0）两点 baba3232033322 解得：321ba 此抛物线的解析式为：xxy322 （3）存在。因为xxy322的顶点坐标为（3，3）即为点 C MPx轴，设垂足为 N，PNt，因为BOA300，所以 ON3t P（3t，t）作 PQCD，垂足为 Q，MECD，垂足为 E 把tx3代入xxy322得：tty632 M（3t，tt632），E（3，tt632）同理：

27、Q（3，t），D（3，1）要使四边形 CDPM 为等腰梯形，只需 CEQD 即16332ttt，解得：341t，12t（舍）P 点坐标为（334，34）存在满足条件的点 P，使得四边形 CDPM 为等腰梯形，此时 P 点的坐为（334，34）11.（15 山东青岛）24（本小题满分 12 分）已知：如图，在RtACB中，90Co，4cmAC，3cmBC，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为 1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 2cm/s；连接PQ若设运动的时间为(s)t（02t），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC？（2）设AQP的面积为y（2cm），求y

28、与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQP C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由 A Q C P B 图 A Q C P B P 图 12.（15 浙江湖州）24（本小题 12 分）已知：在矩形AOBC中，4OB，3OA 分别以OBOA，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是边BC上的一个动点（不与BC，重合），过F点的反比例函数(0)kykx的图象与AC边交

29、于点E（1）求证：AOE与BOF的面积相等；（2）记OEFECFSSS，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 （15 浙江湖州 24 题解析）24（本小题 12 分）（1）证明：设11()E xy，22()F xy，AOE与FOB的面积分别为1S，2S，由题意得11kyx，22kyx 1111122Sx yk，2221122Sx yk 12SS，即AOE与FOB的面积相等 （2）由题意知：EF，两点坐标分别为33kE，44kF，1111432234ECFSEC CF

30、kkg，11121222EOFAOEBOFECFECFECFAOBCSSSSSkkSkS矩形 11112212243234OEFECFECFSSSkSkkk 2112Skk 当161212k 时，S有最大值 131412S 最大值（3）解：设存在这样的点F，将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作ENOB，垂足为N 由题意得：3ENAO，143EMECk，134MFCFk，90EMNFMBFMBMFB oQ，EMNMFB 又90ENMMBF oQ，ENMMBF ENEMMBMF，114 1431231133 1412kkMBkk，94MB 222MBBFMFQ，2229134

31、44kk，解得218k 21432kBF 存在符合条件的点F，它的坐标为21432，13（15 浙江衢州）24、(本题 14分)已知直角梯形纸片 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点 T在线段 OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点 A落在射线 AB上(记为点 A)，折痕经过点 T，折痕 TP 与射线 AB交于点P，设点 T的横坐标为 t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为 S；(1)求OAB的度数，并求当点 A在线段 AB 上时，S 关于 t 的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形

32、是四边形时，求 t 的取值范围；(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时 t 的值；若不存在，请说明理由。（15 浙江衢州 24 题解析）24、(本题 14 分)解：(1)A，B两点的坐标分别是 A(10，0)和 B(8，32)，381032OABtan，60OAB 当点 A在线段 AB 上时，60OAB，TA=TA，ATA是等边三角形，且ATTP，)t10(2360sin)t10(TP，)t10(21AT21APPA，y x O B C A T y x O B C A T 2TPA)t10(83TPPA21SS，当 A与 B重合时，AT=AB=460sin32，所以此时10t

33、6。(2)当点 A在线段 AB 的延长线，且点 P 在线段 AB(不与 B重合)上时，纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中 E是 TA与 CB的交点)，当点 P 与 B重合时，AT=2AB=8，点 T的坐标是(2，0)又由(1)中求得当 A与 B重合时，T的坐标是(6，0)所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，6t2。(3)S 存在最大值 1当10t6时，2)t10(83S，在对称轴 t=10 的左边，S 的值随着 t 的增大而减小，当 t=6 时，S 的值最大是32。2当6t2时，由图1，重叠部分的面积EBATPASSS AEB的高是60sinBA，23)4t10(21)t10(83S

34、22 34)2t(83)28t4t(8322 当 t=2 时，S 的值最大是34；3当2t0，即当点 A和点 P都在线段 AB的延长线是(如图2，其中 E是 TA与 CB的交点，F是 TP 与 CB的交点)，ETFFTPEFT，四边形 ETAB是等腰形，EF=ET=AB=4，A A B P T E C O y x A A B T E C O y x P F 3432421OCEF21S 综上所述，S 的最大值是34，此时 t 的值是2t0。14 15 浙江绍兴）24将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，(0 0)O，(6 0)A，(0 3)C，动点Q从点O出发以每秒 1 个单位长的速度沿O

35、C向终点C运动，运动23秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点P的运动时间为t（秒）（1）用含t的代数式表示OPOQ，；（2）当1t 时，如图 1，将OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；（3）连结AC，将OPQ沿PQ翻折，得到EPQ，如图 2问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由 （15 浙江绍兴 24 题解析）24（本题满分 14分）解：（1）6OPt，23OQt 图 1 O P A x B D C Q y 图 2 O P A x B C Q y 1D 图 3 O F

36、 A x B C y E Q P 图 1 O P A x B D C Q y（第 24 题图 2 O P A x B C Q y E （2）当1t 时，过D点作1DDOA，交OA于1D，如图 1，则53DQQO，43QC，1CD，(13)D，（3）PQ能与AC平行 若PQAC，如图 2，则OPOAOQOC，即66233tt，149t，而703t，149t PE不能与AC垂直 若PEAC，延长QE交OA于F，如图 3，则2333 5tQFOQ QFACOCg 253QFt EFQFQEQFOQ 22533tt 2(51)(51)3t 又RtRtEPFOCAQ，PEOCEFOA，6326(51)3

37、tt，3.45t，而703t，t不存在 15.（15 浙江宿迁 24 题解析）24如图，在矩形ABCD中，9AB，3 3AD，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y（1）求CQP的度数；（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？二旋转类 1.（15 湖南常德 26 题）如图 9，在直线l上摆放有ABC 和直角梯形 DEFG，且 CD6；在ABC中：C9

38、0O，A300，AB4；在直角梯形DEFG中：EF/DG，DGF90O,DG6，DE4，EDG600。解答下列问题：（1）旋转：将ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 900，请你在图中作出旋转后的对应图形 D Q C B P R A（第 24B A D C（备用图B A D C（备用图 A1B1C，并求出 AB1的长度；（2）翻折：将A1B1C 沿过点 B1且与直线l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形 A2B1C1，试判定四边形 A2B1DE的形状？并说明理由；（3）平移：将A2B1C1沿直线l向右平移至A3B2C2，若设平移的距离为，A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为，当等于ABC 面积

39、的一半时,的值是多少？（15 湖南常德 26 题解析）解：（1）在ABC 中由已知得：BC=2，ACABcos30=32，AB1=AC+C B1=AC+CB=322.2 分(2)四边形 A2B1DE为平行四边形.理由如下：EDG60，A2B1C1A1B1CABC60，A2B1DE 又 A2B1A1B1AB4，DE4，A2B1DE,故结论成立.4 分（3）由题意可知：SABC=3232221，当20 x或10 x时，0 此时重叠部分的面积不会等于ABC 的面积的一半5分 A B C D E F G 图 9 l 当42 x时，直角边 B2C2与等腰梯形的下底边 DG重叠的长度为DC2=C1C2-D

40、C1=（2），则 222323221xxx,当=21SABC=3时，即 32232x，解得22x（舍）或22x.当22x时，重叠部分的面积等于ABC 的面积的一半.当84 x时，A3B2C2完全与等腰梯形重叠，即32y7 分 当108 x时,B2G=B2C2-GC2=2(x8)=10-x 则210231031021xxx,当=21SABC=3时，即 310232 x，解得210 x,或210 x(舍去).当210 x时，重叠部分的面积等于 ABC 的面积的一半.9分 由以上讨论知,当22x或210 x时,重叠部分的面积等于 ABC 的面积的一半.10 分 2.（广西玉林卷）在矩形ABCD中，4

41、AB，2BC，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系然后将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B落在y轴的E点上，则C和D点依次落在第二象限的F点上和x轴的G点上（如图）（1）求经过BEG，三点的二次函数解析式；（2）设直线EF与（1）的二次函数图象相交于另一点H，试求四边形EGBH的周长（3）设P为（1）的二次函数图象上的一点，BPEG，求P点的坐标 解（1）解：由题意可知，4AEAB，2AGADBC (4 0)B，(0 4)E，(2 0)G ，设经过BEG，三点的二次函数解析式是(2)(4)ya xx 把(0 4)E，代入之，求得12a 3 分 所求的二次函数解析式是：211(

42、2)(4)422yxxxx （2）解：由题意可知，四边形AEFG为矩形 FHGB，且6GB 直线4y 与二次函数图象的交点H的坐标为(2 4)H，2EH G与BE，与H关于抛物线的对称轴对称，22422 5BHEG 四边形EGBH的周长 2622 5 84 5 x y （3）解法 1：设BP交y轴于M BPEG，:AB AGAMAE，即4:2:4AM 8AM，于是(08)M，设直线BM的解析式为ykxb 把(4 0)B，(08)M，代入之，得408.kbb，解得28.kb，28yx 联合一次，二次函数解析式组成方程组22814.2yxyxx，解得620 xy ，或40.xy，（此组数为B点坐标

43、）所求的P点坐标为(6 20)P ，解法 2：过P作PNx轴于N由BPEG，得EGBPBN 设所求P点的横坐标为(0)a a，则纵坐标为214(0)2aaa tanPNPBNNB，4tan22AEEGBAG，2PNAENBAG 4NBNAABa，22114422PNaaaa ，y x 214224aaa 解之，得6a 或4a 经检验可知，6a 是原方程的根；4a 是原方程的增根，故应舍去 当6a 时，22114(6)642022aa 所求的P点坐标为(6 20)P ，点评此题的综合性较强，考查的知识点较多，但是解法较多，使试题的切入点也较多，很容易入题。y x NHDPQEMCBAO 3.(1

44、4南京市)27在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为()O k，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角（1）填空：如图 1，将ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60o，得到ADE，这个旋转相似变换记为A（，）；如图 2，ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换(3 90)Ao，得到ADE，则线段BD的长为 cm；（2）如图 3，分别以

45、锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点1O，2O，3O分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用12AO O与ABI，CIB与2CAO之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段12OO与2AO之间的关系 解：（1）2，60o；B D E 图 1 B D E 图 2 3O 1O 2O 图 3 2；（2）12AOO经过旋转相似变换(2 45)Ao，得到ABI，此时，线段12OO变为线段BI；CIB经过旋转相似变换2452Co，得到2CAO，此时，线段BI变为线段1AO 2212Q，454590ooo，122OOAO，122OOAO 4.（15 湖北恩

46、施）六、(本大题满分 12 分)24.如图 11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，BAC=AGF=90，它们的斜边长为 2，若ABC固定不动，AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点 D 不与点 B重合,点 E 不与点 C 重合),设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量 n 的取值范围.（3）以ABC的斜边BC所在的直线为 x 轴，BC边上的高所在的直线为 y轴，建立平面直角坐标系(如图 12).在边BC上找一点D，使BD=CE

47、，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2CE2=DE2.（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.G y x 图 12 O F E D C B A G 图 11 F E D C B A （15 湖北恩施 24 题解析）六、(本大题满分 12 分)24.解:(1)ABEDAE,ABEDCA 1 分 BAE=BAD+45,CDA=BAD+45 BAE=CDA 又B=C=45 ABEDCA 3 分 (2)ABEDCA CDBACABE 由依题意可知CA=BA=2 nm22 m=n2 5分 自变量 n 的取值范围为 1n2.6分 (3)

48、由 BD=CE 可得 BE=CD,即 m=n m=n2 m=n=2 OB=OC=21BC=1 OE=OD=21 D(12,0)7 分 BD=OBOD=1-(21)=22=CE,DE=BC2BD=2-2(22)=222 BD2CE2=2 BD2=2(22)2=1282,DE2=(222)2=1282 BD2CE2=DE2 8 分(4)成立 9 分 证明:如图,将ACE 绕点 A顺时针旋转 90至ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,ABH=C=45,旋转角EAH=90.连接 HD,在EAD和HAD中 AE=AH,HAD=EAH-FAG=45=EAD,AD=AD.EADHAD DH=DE 又HB

49、D=ABH+ABD=90 BD2+HB2=DH2 即 BD2CE2=DE2 12 分 5.（15 湖北武汉）（本题答案暂缺）25.（本题 12 分）如图 1，抛物线 y=ax2-3ax+b经过 A（-1,0），C（3,2）两点，与 y 轴交于点 D，与 x 轴交于另一点 B.（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线 y=kx-1（k0）将 四 边 形 ABCD 面积二等分，求 k 的值；（3）如图 2，过点 E（1，-1）作 EFx 轴于点 F，将AEF 绕平面内某点旋转 180后得MNQ（点 M，N，Q 分别与 点 A，E，F 对应），使点 M，N 在抛物线上，求点 M，N 的坐标.F D H

50、 A G E C B （15 湖北武汉 25 题解析）25.213222yxx；43k；M（3，2），N（1，3）6.（15 江苏淮安）（本题答案暂缺）28(本小题 14分)如图所示，在平面直角坐标系中二次函数 y=a(x-2)2-1 图象的顶点为 P，与x 轴交点为 A、B，与 y轴交点为 C连结 BP 并延长交 y轴于点 D.(1)写出点 P 的坐标；(2)连结 AP，如果APB为等腰直角三角形，求 a的值及点 C、D 的坐标；(3)在(2)的条件下，连结 BC、AC、AD，点 E(0，b)在线段 CD(端点 C、D除外)上,将BCD绕点 E 逆时针方向旋转 90，得到一个新三角形设该三角