二次函数常用公式、结论及训练解析.pdf

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1、 第 1 页 共 16 页 初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练 一、常用公式或结论 （1）横线段的长=x大-x小=x右-x左=横标之差的绝对值（用于情况不明）。纵线段的长=y大-y小=y上-y下 =纵标之差的绝对值（用于情况不明）。（2）点轴距离：点 P（x0，y0）到 X 轴的距离为0y，到 Y 轴的距离为ox。（3）两点间的距离公式：若 A（x1,y1），B(x2,y2),则 AB=221212()()xxyy（4）点到直线的距离：点 P（x0，y0）到直线 Ax+By+C=0(其中常数 A,B,C 最好化为整系数，也方便计算)的距离为：0022AxByCdAB（5）中点坐标公式:

2、若 A(x1,y1)，B（x2,y2），则线段 AB 的中点坐标为（1212,22xxyy）（6）直线的斜率公式：若 A（x1,y1），B（x2,y2）(x1x2)，则直线 AB 的斜率为：1212=AByykxx,（x1x2）（7）两直线平行的结论：已知直线 l1:y=k1x+b1 ;l2:y=k2x+b2 若 l1/l2,则 k1=k2；若 k1=k2，且 b1 b2，则 l1/l2。（8）两直线垂直的结论：已知直线 l1:y=k1x+b1 ;l2:y=k2x+b2 若 l1l2，则 k1k2=-1；若 k1k2=-1，则 l1l2 第 2 页 共 16 页（9）直线与抛物线（或双曲线）截

3、得的弦长公式：【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】直线 y=kx+n 与抛物线 y=ax2+bx+c（或双曲线 y=m/x）截得的弦长公式是：AB=2121xxk=2122124)(1xxxxk 证明如下：设直线 y=kx+n 与抛物线 y=ax2+bx+c（或双曲线 y=m/x）交于 A（x1,y1）,B（x2,y2）两点，由两点间的距离公式可得：AB=221221)()(yyxx，因为 A（x1,y1）,B（x2,y2）两点是直线 y=kx+n 与抛物线抛物线 y=ax2+bx+c（或双曲线 y=m/x）的交点，所以 A（x1,y1）,B（x2,y2）两点也在直线 y=kx+n

4、上，y1=kx1+n,y2=kx2+n,y1-y2=（kx1+n）（kx2+n）=kx1-kx2=k（x1-x2），AB=2212221)()(xxkxx=2212)(1(xxk=2121xxk=2122124)(1xxxxk 而 x1,x2显然是直线 y=kx+n 与抛物线 y=ax2+bx+c（或双曲线 y=m/x）组成方程组后，消去 y（用代入法）所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达定理 x1+x2 ,x1x2可轻松求出，进而直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长就很容易计算或表示出来。（10）由特殊数据得到或联想的结论：已知点的坐标或线段的长度中若含有23、等敏感数字信息，那很可能

5、有特殊角出现。在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决了。第 3 页 共 16 页 还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率 K 的值，若3K=3，则直线与 X 轴的夹角为030；若K=1；则直线与 X 轴的夹角为045；若K=3，则直线与 X 轴的夹角为060 教学建议：在八年级下册讲一次函数与反比例函数时，就引入上述绝大多数公式，然后再强化练习，为后续学习打下基础。二、基本公式或结论训练 -破解函数难题的基石（一）横线段的长度计算：【特点：两端点的 y 标相等，长度=-xx大小】。（1）若 A（2,0），B（10,0），则 AB=

6、。（2）若 A（-2,0），B（-4,0），则 AB=。（3）若 M（-3,0），N（10,0），则 MN=。（4）若 O（0,0），A（6,0），则 OA=。（5）若 O（0,0），A（-4,0），则 OA=。（6）若 O（0,0），A(t,0),且 A 在 O 的右端，则 OA=。（7）若 O（0,0），A(t,0),且 A 在 O 的左端，则 OA=。第 4 页 共 16 页（8）若 A(-2t,6),B(3t,6),且 A 在 B 的右端，则 AB=。（9）若 A（4t,m）,B(1-2t,m),且 B 在 A 的左端，则 AB=。（10）若 P（2m+3,a）,M(1-m,a),且

7、P 在 M 的右端，则 PM=。注意：横线段上任意两点的 y 标是相等的，反之 y 标相等的任意两个点都在横线段上。（二）纵线段的长度计算：【特点：两端点的 x 标相等，长度=-yy大小】。（1）若 A(0,5)，B（0,7），则 AB=。（2）若 A（0，-4），B（0，-8),则 AB=。（3）若 A（0,2），B（0，-6），则 AB=。（4）若 A（0,0），B（0，-9),则 AB=。（5）若 A(0,0)，B(0,-6)，则 AB=。（6）若 O(0,0)，A(0,t),且 A 在 O 的上端，则 OA=。（7）若 O（0,0），A（0，t),且 A 在 O 的下端，则 OA=。（

8、8）若 A（6，-4t),B(6,3t),且 A 在 B 的上端，则 AB=。第 5 页 共 16 页（9）若 M（m,1-2t),N(m,3-4t),且 M 在 N 的下端，则 MN=。（10）若 P（t,3n+2),M(t,1-2n),且 P 在 M 的上端，则 PM=。注意：纵线段上任意两点的 x 标是相等的，反之 x 标相等的任意两个点都在纵线段上。（三）点轴距离：一个点(xy标标，）到 x 轴的的距离等于该点的 y 标的绝对值（即y标），到 y 轴的距离等于该点的 x 标的绝对值（即x标）。（1）点（-4,-3)到 x 轴的距离为，到 y 轴的距离为。（2）若点 A（1-2t,223

9、tt)在第一象限，则点 A 到 x 轴的距离为，到y 轴的距离为_。（3）若点 M（t,243tt)在第二象限，则点 M 到 x 轴的距离为 ;到 y 轴的距离为。（4）若点 A（-t,2t-1)在第三象限，则点 A 到 x 轴的距离为，到 y 轴的距离为 。（5）若点 N（t，-t2+2t-3)点在第四象限，则点 N 到 x 轴的距离为，到 y 轴的距离为_。（6）若点 P（t,t2+2t-3)在 x 轴上方，则点 P 到轴的距离为_。第 6 页 共 16 页 （7）若点 Q（，t2-2t-6）在轴下方，则点 Q 到轴的距离为_。（8）若点 D（，t2+4t-5）在轴左侧，则点 D 到轴的距

10、离为_。（9）若点 E（，）在轴的右侧，则点 E 到轴的距离为_。（10）若动点 P（，t2-2t+3）在轴上方，且在轴的左侧，则点 P 到轴的距离为_，到轴的距离为。（11）若动点 P（，t2-2t+3）在轴上方，且在轴的右侧，则点 P 到轴的距离为，到轴的距离为。（12）若动点 P（，t2-2t+3）在轴下方，且在轴的左侧，则点 P 轴的距离为，到轴的距离为。（13）若动点 P（，t2-2t+3）在轴下方，且在轴的右侧，则点 P 到轴的距离为，到轴的距离为。注意：在涉及抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在动点坐标“一母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域（例如：动点在抛物线x2-2x

11、+3 上位于轴下方，轴右侧的图象上运动），以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围，以及点轴距离是等于相应x标标（或y）的相反数，第 7 页 共 16 页 还是其本身。（四）中点坐标的计算：若【A（x1,y1），B(x2,y2),，则线段 AB 的中点坐标为（1212,22xxyy）】（1）若 A（4，），B（6，7），则 AB 中点为。（2）若 M（0，-6），N（6，-4），则 MN 的中点坐标为。（3）若 P（1-32，），Q（1 13 2，），则 PQ 的中点坐标为。（4）若 A(1,2),B(-3,4),且 B 为 AM 的中点，则 M 点的坐标为。（5）若 A(-1,3),B(0,

12、2),且 A 为 BP 中点，则 P 点坐标为。（6）点 P（5,0）关于直线2 的对称点的坐标为。（7）点 P（6,0）关于直线1 的对称点的坐标为。（8）点 P（6,2）关于直线3 的对称点的坐标为_。（9）点 Q（4,3）关于直线3 的对称点的坐标为。（10）点 M（4，2）关于直线2 的对称点的坐标为。（11）点 P（4，3）关于直线1 的对称点的坐标为。第 8 页 共 16 页 （12）点 M（4,2）关于直线1 的对称点的坐标为。（13）点 T（4，3）关于直线1 的对称点的坐标为。（14）点 Q（0，3）关于轴的对称点的坐标为。(15）点 N（4,0）关于轴的对称点的坐标为。（五

13、）由两直线平行或垂直，求直线解析式。【两直线平行，则两个 k 值相等；两直线垂直，则两个 k 值之积为-1.】（1）某直线与直线 y=2x+3 平行，且过点（1，-1），求此直线的解析式。（2）某直线与直线 y=12x+1 平行，且过点（2，3），求此直线的解析式。（3）某直线与直线 y=253x平行，且过点（-3，0），求此直线的解析式。（4）某直线与 y 轴交于点 P（0,3），且与直线 y=112x平行,求此直线的解析式。（5）某直线与 x 轴交于点 P（-2,0），且与直线 y=142x平行，求此直线的 第 9 页 共 16 页 解析式。（6）某直线与直线 y=2x-1 垂直，且过点（

14、2,1），求此直线的解析式。（7）某直线与直线 y=-3x+2 垂直，且过点（3,2），求此直线的解析式。（8）某直线与直线 y=213x垂直，且过点（2，-1），求此直线的解析式。（9）某直线与直线 y=142x垂直，且过点（1，-2），求此直线的解析式。（10）某直线与 x 轴交于点 P（-4,0），且与直线 y=253x垂直，求此直线的解析式。（六）两点间的距离公式：若 A(x1,y1),B(x2,y2),则221221)()(yyxxAB（）若 A（-2,0），B（0，3），则 AB=。（2）若 P（-2,3），Q（1，-1），则 PQ=。（3）若 M（0,2），N（-2,5），则 M

15、N=。第 10 页 共 16 页（4）若 P（1,02），Q（10,3），则 PQ=。（）若 A（1,32),B(-1,12),则 AB=。（）若 P(3 1,4 2),B(1,14),则 PB。（）若 P(3 1,4 2),B)1,41(,则 PB=。（）若 P(1 2,4 3)，M(1,12)，则 PM=。（）若 A（2 1,5 3），B（12,53），则 AB。（）若 A（2,13），B（11,2），则 AB。（11）若 A（2,），B（3,），则 AB。（）若 P(0，-4)，Q(0，-2)，则 PQ=。第 11 页 共 16 页（13）若 P(3,0)，Q(4,0)，则 PQ=。（）

16、若 P(1，-4)，Q(2,0)，则 PQ=。（七）直线的斜率公式：【注：所谓斜率，就是一次函数 y=kx+b 中 k 的值】；可由两个点的坐标直接求得：若 A（x1,y1），B（x2,y2）(x1x2)，则直线 AB 的斜率为：1212=AByykxx,（x1x2）例题：若 A(2，-3)，B(-1,4)，则 kAB=解：A(2，-3)，B(-1,4)，ABk=(3)472(1)3 （1）若 A(0，2)，B(3，0)，则ABk=。（2）若 A(1，-2)，B(-3，1)，则ABk=。（3）若 M(-3，1)，N(-2，4)，则MNk=。（4）若 P(1，-4)，Q(-1，2)，则PQk=。

17、（5）若 C(-1，1)，Q(-21，31)，则CQk=。第 12 页 共 16 页 （6）若 E(32，-1)，F(-31，-21)，则EFk=。（7）若 M(-52，-31)，Q(-1，-21)，则MQk=。（8）若 P（-32，-43)，Q(-1，-41)，则PQk=。（八）点到直线的距离公式：点 P（x0,y0）到直线 Ax+By+C=0（为了方便计算，A,B,C 最好化为整系数）的距离公式为：0022+CA+BAxByd；运用该公式时，要先把一次函数 y=kx+b 化为一般式 Ax+By+C=0 的形式（即：先写 x 项，再写 y 项，最后写常数项，等号右边必须是 0）。例题：求点

18、P(2,-3)到直线1223yx的距离。解：先把直线3221xy化为一般式 3x-6y-4=0 所以2236()44533(6)23d 的值就是把点00(,)xy对应代入代数式 Ax+By+C 中。（1）求点 P（-2，1）到直线 y=x+2 的距离。第 13 页 共 16 页 （2）求点 Q（1，-4）到直线 y=2x-1 的距离.（3）求点 A（1，2）到直线121xy的距离.（4）求点 M（0，-3）到直线131xy的距离.（5）求点 P（-2，0）到直线4121xy的距离.（6）求点 K（-3，-2）到直线xy31的距离.（7）求点 P（-3，-1）到直线3121xy的距离.（8）求点

19、 P（-21，-1）到直线2131xy的距离.（9）求点 Q（-21，-31）到直线2143xy的距离.第 14 页 共 16 页 （10）求点 P（-32，-43）到直线4123xy的距离.（11）求点 N（-23，-31）到直线3221xy的距离.（12）求点 D（-52，43）到直线3121xy的距离.（13）求点 E（-53，32）到直线xy4123的距离.（九）一个点关于一条斜直线的对称点：（1）求点 A（-2,3）关于直线 y=x-2 的对称点坐标。（2）求点 B（3，-1,）关于直线 y=2x-5 的对称点坐标.（3）求点 Q（3，2,）关于直线 y=-3x+5 的对称点坐标。（

20、4）求点 N（1，-2,）关于直线321xy的对称点坐标。第 15 页 共 16 页 （5）求点 D)32,21(关于直线 y=-2x+1 的对称点坐标。（6）求点)21,32(E关于直线2143xy的对称点坐标。（十）直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长：（1）求直线 y=x+2 与抛物线截得的长。（2）求直线 y=-x+3 与抛物线截得的弦长。（3）求直线 y=2x-1 与抛物线截得的弦长。（4）求直线 y=x+1 与双曲线截得的弦长。（5）求直线 y=-2x-3 与双曲线截得的弦长。第 16 页 共 16 页（6）求直线 y=-x+3 与双曲线截得的弦长。（7）求直线 y=3x-5 与双曲线截得的弦长。（十一）求下列二次函数的最值（运用配方法，公公法，公代法三种方法求解）（1）y=2x2-3x-1 (2)y=3x2-4x (3)y=-3x2+4x-1 (4)y=2/3x2+5x-6 (5)y=3/5x2-3x (6)y=-1/2x2-3/4x-2/3(十二)解下列方程：（1）35 m （2）132tt （3）tt3512 （4）232 tt （5）12322ttt （6）3522ttt （7）3232nnn （8）523222mmm （9）5243222mmmm