直线关于直线对称问题的常用方法与技巧.pdf

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1、直线关于直线对称问题的常用方法与技巧Revised on November 25,2020直直线线关关于于直直线线对对称称问问题题的的常常用用方方法法与与技技巧巧对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1.在所求曲线上选一/点M(x,y)；2.求出这点关于中心或轴的对称点M(x0,y0)与M(x,y)之间的关系；3.利用f(x0,y0)0求出曲线g(x,y)0。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。例题：试求直线l1:x y 10关于直线l2:3x y 3 0对称的直线l的方程。解法 1：（动点转移法）在

2、l1上任取点P(x,y)(Pl2)，设点 P 关于l2的对称点为Q(x,y)，则又点 P 在l1上运动，所以x y 1 0，所以/4x 3y 93x 4y 31 0。即55x 7y 1 0。所以直线l的方程是x 7y 1 0。解法 2：（到角公式法）解方程组 x y 1 0 x 1所以直线l1,l2的交点为 A(1,0)3x y 3 0y 0设所求直线l的方程为y k(x 1)，即kx y k 0,由题意知，l1到l2与l2到l的角相等，则31k 31 k.所以直线l的方程是x 7y 1 0。13113k7解法 3：（取特殊点法）由解法 2 知，直线l1,l2的交点为 A(1,0)。在l1上取

3、点 P（2，1），设点 P 关于l2的对称点 x/2y/1/433 0/x 5的坐标为Q(x,y)，则22/7y 11y/5x/23而点 A，Q 在直线l上，由两点式可求直线l的方程是x 7y 1 0。解法 4：（两点对称法）对解法 3，在l1上取点 P（2，1），设点 P 关于l2的对称点的坐标为 Q(,)，在l1上取点 M（0，1），设点 P 关于l2的对称点的坐标为N(式可求直线l的方程是x 7y 1 0。4 75 512 1,)而 N，Q 在直线l上，由两点5 5解法 5：（角平分线法）由解法 2 知，直线l1,l2的交点为 A(1,0)，设所求直线l的方程为：设所求直线l的方程为y

4、k(x 1),即kx y k 0.由题意知，l2为l,l1的角平分线，在l2上取点 P（0，-3），则点 P 到l,l1的距离相等，由点到直线距离公式，有：|031|03 k|1 k 或k 1721 k2k 1时为直线l1，故k 解法 6（公式法）1。所以直线l的方程是x 7y 1 07给出一个重要定理：曲线（或直线）C:F(x,y)0关于直线l:f(x,y)Ax By C 0的对称曲线C/（或直线）的方程为Fx 2A2Bf(x,y),y f(x,y)0.(1)。A2 B2A2 B2证：设M(x,y)是曲线C/上的任意一点M(x,y)，它关于l的对称点为M/(x/,y/)，则M/C于是F(x/

5、,y/)0.(2)。M 与 M/关于直线 l 对称，2A/B(x x/)A(y y/)0 x x f(x,y)22A B.(3),（3）代x x/y y/2BA BC 0/y y 2f(x,y)222A B2A2B/C入（2），得Fx 2，此即为曲线的方f(x,y),y f(x,y)0222A BA B程。解析：定理知，直线l1:F(x,y)x y 10关于直线l2:f(x,y)3x y 3 0的对称曲线l的方程为：232(1)31f(x,y),y f(x,y)0 Fx(3x y 3),y(3x y 3)022223 13 155439 343439343 F(xy,xy)0 xy(xy)1

6、0555 555555555171 xy 0,即x7y 1 0555所以直线l的方程是x 7y 1 0点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.Fx点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，两点的中点在已知直线上.直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.例 求直线 2x+11y+16=0 关于点 P（0，1）对称的直线方程.

7、分析本题可以利用两直线平行，以及点 P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点 P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为 2x+11y+c=0.由点到直线距离公式，得，即|11+c|=27，得 c=16（即为已知直线，舍去）或 c=-38.故所求对称直线方程为 2x+11y-38=0.解法二在直线 2x+11y+16=0 上取两点 A（-8，0），则点 A（-8，0）关于 P（0，1）的对称点的 B（8，2）.由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为 2x+11y+

8、c=0.将 B（8，2）代入，解得 c=-38.故所求对称直线方程为 2x+11y-38=0.点评解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出 c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.直线关于直线对称问题，包含有两种情形：两直线平行，两直线相交.对于，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例 求直线 l1：x-y-1=0 关于直线 l2：x-y+1=0 对称的直线

9、 l 的方程.分析由题意，所给的两直线 l1，l2 为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解根据分析，可设直线 l 的方程为 x-y+c=0，在直线 l1：x-y-1=0 上取点 M（1，0），则易求得 M 关于直线 l2：x-y+1=0 的对称点 N（-1，2），将 N 的坐标代入方程 x-y+c=0，解得 c=3，故所求直线 l 的方程为 x-y+3=0.点评将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路.另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线 l 的形式，然后再在直线 l2 上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.