概率论知识点总结.pdf

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1、.1/5 概率论知识点总结 第一章 随机事件与其概率 第一节 基本概念 随机实验：将一切具有下面三个特点：1可重复性2多结果性3不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用 E 表示.随机事件：在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情结果称为随机事件,简称为事件.不可能事件：在试验中不可能出现的事情,记为.必然事件：在试验中必然出现的事情,记为.样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点,记作.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用 表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集.基本事件单点集,复合事件多点集 一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现.事件的关系与

2、运算就是集合的关系和运算 包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称 B 包含 A,记为AB 或BA.相等关系：若AB 且BA,则称事件 A 与事件 B 相等,记为 AB.事件的和：事件 A 与事件 B 至少有一个发生是一事件,称此事件为事件 A 与事件 B 的和事件.记为 AB.事件的积：称事件事件 A 与事件 B 都发生为 A 与 B 的积事件,记为 A B 或 AB.事件的差：称事件事件 A 发生而事件 B 不发生为事件 A 与事件 B 的差事件,记为 AB.用交并补可以表示为BABA.互斥事件：如果 A,B 两事件不能同时发生,即 AB,则称事件 A 与事件 B 是互不相容

3、事件或互斥事件.互斥时BA可记为 AB.对立事件：称事件A 不发生为事件 A 的对立事件逆事件,记为A.对立事件的性质：BABA,.事件运算律：设 A,B,C 为事件,则有 1交换律：AB=BA,AB=BA 2结合律：A=C=ABC A=C=ABC 3分配律：A A=ABAC 4对偶律摩根律：BABABABA 第二节 事件的概率 概率的公理化体系：1非负性：P0；2规 X 性：P1 3可数可加性：nAAA21两两不相容时 概率的性质：1P0 2有限可加性：nAAA21两两不相容时.2/5 当 AB=时 PPP 3)(1)(APAP 4PPP 5PABPPP 第三节 古典概率模型 1、设试验 E

4、 是古典概型,其样本空间 由 n 个样本点组成,事件 A 由 k 个样本点组成.则定义事件 A 的概率为nkAP)(2、几何概率：设事件 A 是 的某个区域,它的面积为,则向区域 上随机投掷一点,该点落在区域 A 的概率为)()()(AAP 假如样本空间 可用一线段,或空间中某个区域表示,则事件 A 的概率仍可用上式确定,只不过把 理解为长度或体积即可.第四节条件概率 条件概率：在事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率称为条件概率,记作 P.乘法公式：P=PPPP 全概率公式：设nAAA,21是一个完备事件组,则 P=PP 贝叶斯公式：设nAAA,21是一个完备事件组,则 第五节 事件的

5、独立性 两个事件的相互独立：若两事件 A、B 满足 P=P P,则称 A、B 独立,或称 A、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件 A、B、C,若 P=P P,P=PP,P=P P,P=P PP,则称 A、B、C 相互独立 三个事件的两两独立：对于三个事件 A、B、C,若 P=P P,P=PP,P=P P,则称 A、B、C 两两独立 独立的性质：若 A 与 B 相互独立,则A与 B,A 与B,A与B均相互独立 总结：1.条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有密切的关系,在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色.2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用,应牢固掌握

6、.3.独立性是概率论中的最重要概念之一,应正确理解并应用于概率的计算.第二章 一维随机变量与其分布 第二节 分布函数 分布函数：设 X 是一个随机变量,x 为一个任意实数,称函数)(xXPxF为 X 的分布函数.如果将 X 看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数 F的值就表示 X 落在区间,(x内的概率 分布函数的性质：1单调不减；2右连续；31)(,0)(FF 第三节 离散型随机变量.3/5 离散型随机变量的分布律：设kx是离散型随机变量 X 所取的一切可能值,称 kkpxXP为离散型随机变量 X 的分布律,也称概率分布.当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时,常用表格形式表示分布律.分

7、布律的性质：110kp；21kp 离散型随机变量的概率计算：1已知随机变量 X 的分布律,求 X 的分布函数；2已知随机变量 X 的分布律,求任意随机事件的概率；3已知随机变量 X 的分布函数,求 X 的分布律 三种常用离散型随机变量的分布：1.01分布：参数为 p 的分布律为pXPpXP10,1 2.二项分布：参数为 n,p 的分布律为knkknppCkXP)1(,nk,2,1,0.例如 n 重独立重复实验中,事件 A 发生的概率为 p,记 X 为这 n 次实验中事件 A 发生的次数,则 XBn,p 3.泊松分布：参数为 的分布率为ekkXPk!,2,1,0k.例如记 X 为某段事件内 交换

8、机接到的呼叫次数,则 XP 第四节 连续型随机变量 连续型随机变量概率密度 f的性质 1f0 21)(dxxf,0)(aadxxfaXP 3badxxfbXaPbXaPbXaPbXaP)(4xdxxfxFxFxf)()(),()(连续型随机变量的概率计算：1已知随机变量 X 的密度函数,求 X 的分布函数；xdxxfxF)()(2已知随机变量 X 的分布函数,求 X 的密度函数；)()(xFxf 3已知随机变量 X 的密度函数,求随机事件的概率；badxxfbXaP)(4已知随机变量 X 的分布函数,求随机事件的概率；)()(aFbFbXaP 三种重要的连续型分布：1均匀分布：密度函数else

9、bxaabxf01)(,记为 XUa,b.4/5 2.指数分布：密度函数000)(xxexfx,记为 XE 3.正态分布：密度函数222)(21)(xexf,记为),(2NX N0,1称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,然后再计算概率.第五节 随机变量函数的分布 离散型：在分布律的表格中直接求出；连续型：寻找分布函数间的关系,再求导得到密度函数间的关系；注意分段函数情况可能需要讨论,得到的结果也可能是分段函数.第三章多维随机变量与其分布 第一节 二维随机变量的联合分布函数 联合分布函数,),(yYxXPyxF,表示随机点落在以

10、 x,y 为顶点的左下无穷矩形区域内的概率.联合分布函数的性质：1分别关于 x 和 y 单调不减；2分别关于 x 和 y 右连续；3F =0,F =0,F=0 F =1 第二节 二维离散型随机变量 联合分布律：ijjipyYxXP,联合分布律的性质：0ijp；1ijijp 第三节 二维连续性随机变量 联 合 密 度：yxduvufdvyxF),(),(联 合 密 度 的 性 质：0),(yxf；1),(2Rdxdyyxf；DdxdyyxfDyxP),(),(第四节 边缘分布 二维离散型随机变量的边缘分布律：在表格边缘,对应概率相加求出；二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数,在求导求

11、出边缘密度 第六节 随机变量的独立性 独立性判断：1若YX,取值互不影响,可认为相互独立；2根据独立性定义判断)()(),(yFxFyxFYX 离散型可用jiijppp 连续型可用)()(),(yfxfyxfYX.5/5 独立性的应用：1判断独立性；2已知独立性,由边缘分布确定联合分布 第四章 随机变量的数字特征 离散型随机变量数学期望的计算kkkpxEX,kkkpxgXgE)()(连续型随机变量数学期望的计算dxxxfEX)(,dxxfxgXgE)()()(方差的计算：2)(EXXEDX,)()(22XEXEDX 数学期望的性质 1E =C 2E =CE 3E =E +E 4当 X,Y 独立时,E =E E 方差的性质 1D =0 2D =2CD 3若 X,Y 相互独立,则 D =D +D 常见分布的数学期望和方差 两点分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,正态分布,指数分布