一元二次方程重难点解析.pdf

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1、 16/16 一一元二次方程的定义 二有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题）三一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）四含绝对值的一元二次方程 五根的判别式及韦达定理 根与系数的关系对方程根的个数的判别 利用判别式解参数取值范围含参变量的一元二次方程 通过判别式，证明方程根的个数问题 利用韦达定理求代数式的值（22121212121211,xxx xxxxxxx等）利用韦达定理求参数的值 五一元二次方程整数根问题 六一元二次方程的应用 一一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 关于一元二次方程的

2、定义考查点有三个：二次项系数不为0；最高次数为2；整式方程 一般形式：20(0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 二有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题）关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件）1.与根有关的代数式化简求值【例】已知 x 是一元二次方程 x2+3x-1=0 的实数根，求代数式：235(2)362xxxxx的值 知识导航 一元二次方程重难点 基础学习 16/16 【巩固】先化简，再求值：222412()4422aaaaa，其中 a 是方程 x2+3

3、x+1=0 的根 2.公共解问题 【思考】已知两个二次方程 x2+ax+b=0 与 x2+cx+d=0 有一个公共根为 1，求证：二次方程2022acbdxx也有一个根为 1 【例 1】一元二次方程x2 2x540 的某个根，也是一元二次方程x2(k+2)x+940 的根，求 k 的值 【巩固】当 k 为何值时，方程 x2-（k+2）x+12=0 和方程 2x2-（3k+1）x+30=0 有一公共根？求出此公共根 【变式 1】若两个不同的关于 x 的方程 x2+x+a=0 与 x2+ax+1=0 有一个共同的实数根，求 a 的值及这两个方程的公共实数根 16/16 【变式 2】已知 a2，b2

4、，试判断关于 x 的方程 x2-（a+b）x+ab=0 与 x2-abx+（a+b）=0有没有公共根请说明理由 【拓展 1】已知：关于 x 的方程 ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0 有一个相同的实数根，且 abc0，求 a+b+c 的值 【拓展 2】设 a，b，c 为ABC 的三边，且二次三项式 x2+2ax+b2与 x2+2cx-b2有一个公因式，证明：ABC 一定是直角三角形 三一元二次方程的解法及求根公式（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）【例 1】解方程：（1）224 36 20 xx （2）（3x+1）（2x-5）=-2（2x-5）（3）215

5、4111xxxx （4）24221933xxxx （7）x+2x 80 （2）x+4x 60 16/16 【巩固】（1）已知关于 x 的方程 x2-（2a+1）x+a2+a=0 的两个实数根中，只有一根大于 5，求 a 的取值范围（2）已知 x，y 满足方程 x4+y4+2x2y2-x2-y2-12=0，求 x2+y2的值 在解方程里面，一般采取的方法是配方法，应用公式法，因式分解法，其中因式分解法中考查最多的是十字相乘法，因此在学习的时候要求对这几种方法熟练掌握，一般来说，对于初学者而言，在解方程里面最常使用的是公式法，但在熟练掌握根与系数的关系之后，配方法相较会简单一些。【例 1】若 m、

6、n 为有理数，n是无理数，m+n是有理系数方程 ax2+bx+c=0（a0）的一个根，证明：m-n也是这个方程的一个根 【例 2】设 x1、x2是方程 x2-6x+a=0 的两个根，以 x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，试求 a 的取值范围 【例 3】当 x 满足条件13311(4)(4)23xxxx 时，求出方程 x2-2x-4=0 的根 【巩固】（1）解方程：x2-x-5=0（2）若不等式组2311(3)2xxx整数解是关于 x 的方程 2x-4=ax 的根，求 a 的值 16/16 四含绝对值的一元二次方程【例 1】阅读例题，模拟例题解方程 例：解方程 x2+|x-1|-1=

7、0 解：（1）当 x-10 即 x1 时，原方程可化为：x2+（x-1）-1=0 即 x2+x-2=0，解得 x1=1，x2=-2（x2不合题意，舍去）；（1）当 x-10 即 x1 时，原方程可化为：x2-（x-1）-1=0 即 x2-x=0，解得 x3=0，x4=1（x4不合题意，舍去）综合（1）、（2）可知原方程的根是 x1=1，x2=0 请模拟以上例题解方程：x2+|x+3|-9=0 【巩固】解方程：（1）2191()1010 xx|x2-1|（2）24562xxx 【例2】解方程：（1）x2-|x-2|-6=0 （2）x2-4|x|-5=0 【巩固】设方程22140 xx，求满足该方

8、程的所有根之和 16/16 五根的判别式及韦达定理 1 根与系数的关系对方程根的个数的判别 判别式与根的关系 在实数范围内，一元二次方程20(0)axbxca的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是否有实数根）由24bac 确定 设一元二次方程为20(0)axbxca，其根的判别式为：24bac 则 0 方程20(0)axbxca有两个不相等的实数根21,242bbacxa 0 方程20(0)axbxca有两个相等的实数根122bxxa 0 方程20(0)axbxca没有实数根【例 1】（1）解方程：x2+4x-5=0；（2）求证：无论 k 取任意值，关于 x 的一元二次方程 x2-kx+

9、（k-2）=0 一定有两个不相等是实数根 【巩固 1】已知关于 x 的方程 x2+ax+a-2=0（1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 【巩固 2】已知关于x的方程2(1)10nxmx 有两个相等的实数根 求证：关于y的一元二次方程222440m ymymn必有两个相等的实数根 难点突破 16/16 【变式】已知关于 x 的一元二次方程 x2+2（k-1）x+k2-1=0 有两个不相等的实数根（1）求实数 k 的取值范围；（2）0 可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由 【巩固】已知

10、关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k2+2=0 有两个相等的实数根，试判断直线 y=（2k-3）x-4k+12 能否通过点 A（-2，4），并说明理由 利用判别式解参数取值范围含参变量的一元二次方程【例 1】关于x的一元二次方程2(12)2110k xkx 有两个不相等的实数根，求k的取值范围 【变式】已知关于x的方程222(1)50 xmxm有两个不相等的实数根，化简：2|1|44mmm 【例2】关于x的方程26860axx有实数根，则整数a的最大值是 【巩固】若关于x的一元二次方程2(1)210kxx 有实数根，则k的最小整数值为_ 16/16 【例 3】已知：方程22250mxmx

11、m没有实数根，且5m，求证：25220mxmxm有两个实数根 【巩固】已知：m、n为整数，关于x的二次方程2(7)30 xm xn有两个不相等的实数解，2(4)60 xm xn有两个相等的实数根，2(4)10 xmxn 没有实数根，求m、n的值 通过判别式，证明方程根的个数问题【例 1】对任意实数m，求证：关于x的方程222(1)240mxmxm无实数根 【变式】已知方程2210 xxm 没有实数根，求证：方程2121xmxm一定有两个不相等的实数根.【巩固】已知：方程22250mxmxm没有实数根，且5m，求证：25220mxmxm 有两个实数根 【拔高 1】已知关于x的二次方程2110 x

12、p xq与2220 xp xq，求证：当12122()p pqq时，这两个方程中至少有一个方程有实数 16/16 【拔高 2】已知实数a、b、c、r、p满足2pr，20pcbra，求证：一元二次方程220axbxc 必有实根 利用韦达定理求代数式的值（22121212121211,xxx xxxxxxx等）【例 1】已知关于 x 的一元二次方程 x2-22x+m=0 有两个不相等的实数根（1）求实数 m 的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是 x1，x2，求代数式 x12+x22-x1x2的值 【巩固】已知 x1，x2是一元二次方程（m-3）x2+2mx+m=0 的两个实数根（1）

13、是否存在实数 m，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出 m 的值，若不存在，请你说明理由；（2）若|x1-x2|=3，求 m 的值和此时方程的两根 利用韦达定理求参数的值【例 1】一元二次方程 mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有两实数根，求 m 的范围（2）设方程两实根为 x1，x2，且|x1-x2|=1，求 m 【巩固 1】已知关于 x 的一元二次方程 x2+2（m+1）x+m2-1=0 16/16 （1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为 x1，x2，且满足（x1-x2）2=16-x1x2，求实数 m 的值 【巩固 2】已知：关于 x 的一元

14、二次方程 kx2-（4k+1）x+3k+3=0（k 是整数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为 x1，x2（其中 x1x2），设 y=x2-x1-2，写出 y 关于变量 k的函数表达式 【练习】已知关于 x 的方程 mx2+（3-2m）x+（m-3）=0，其中 m0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2，其中 x1x2，若y2113xx，求 y 与 m 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式 y-m 成立的 m 的取值范围 【变式 1】关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1=0

15、的实数解是 x1和 x2（1）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+x2-x1x2-1 且 k 为整数，求 k 的值 【巩固】已知关于 x 的一元二次方程 x2-（2k+1）x+k2+2k=0 有两个实数根 x1，x2 16/16 （1）求实数 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k 使得 x1x2-x12-x220 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由 【变式 2】已知关于 x 的一元二次方程 x2-（2k+1）x+k2+k=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根第三边 BC 的长为 5，当ABC是等腰三角形时，

16、求 k 的值 【巩固】已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2-2（m+1）x+m2+5=0 的两实数根（1）若（x1-1）（x2-1）=28，求 m 的值；（2）已知等腰ABC 的一边长为 7，若 x1，x2恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长 【变式 3】设 m 是不小于-1 的实数，使得关于 x 的方程 x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0 有两个不相等的实数根 x1，x2（1）若12111xx，求132m的值；（2）求2121211mxmxmxx的最大值 五一元二次方程整数根问题 16/16 【巩固】当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2440mxx与2244

17、450 xmxmm的根都是整数 六一元二次方程的应用 一元二次方程的应用类问题大致可以分为五种情况：1.增长率问题；2.商品利润问题；3.图形面积问题；4.传播问题；5.动点问题 1.增长率问题【例】某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为12万元，求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少？【变式】某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这50000元资金加上第一年的利润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%，则第一年的利润是多少元？【巩固】某商场2002年的营业额比2001年上升10%，2003年比2002年又上升1

18、0%，而2004年和2005 年连续两年比上一年降低10%，那么2005年的营业额比2001年的营业额（）A.降低了2%B.没有变化 C.上升了2%D.降低了1.99%2.商品利润问题【例】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，增加利润，16/16 尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降低多少元？【巩固】商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件（1）问商

19、场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元？【巩固】宏达汽车出租公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务天天供不应求，为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增 加10元，每天出租的汽车相应地减少6辆。若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个10元 能使公司的日租金总收入达到19380元？使公司的日租金总收入最高？最高是多少？3.图形面积问题【例】如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四个角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是5003cm的无盖长方体容器

20、，求这块铁皮的长和宽 【巩固】在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修同样宽的两条互相垂直的道路余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为5402m，道路的宽应为多少？16/16 4.传播问题【例 1】（1）有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有 人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有 人得流感（2）有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有 人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有 人得流感 【巩固】一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？若病

21、毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染电脑会不会超过700台？5.动点问题【例 1】如图，ABC中，90B，6AB cm，8BC cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（点Q到达点C运动停止）如果点P，Q分别从点A，B同时出发t秒（0t）（1）t为何值时，6PQ cm？（2）t为何值时，可使得PBQ的面积等于82cm？QPCBA 【巩固】如图所示，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向 200海里处有一重要目标小岛C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，一艘军舰从A出发，经 16/16 B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海 里（结果保留根号）北东EDCBA