中考数学难点分类讲解第七讲坐标系中的几何问题试题.pdf

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1、创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 中考数学重难点专题讲座 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 第七讲 坐标系中的几何问题【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质表达。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且根本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至

2、满分是的同学，这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。第一局部 真题精讲【例 1】2021，石景山，一模 ：如图 1，等边ABC的边长为2 3，一边在x轴上且13 0A，AC 交y轴于点E，过点E作EFAB交BC于点F 1直接写出点BC、的坐标；2假设直线10ykxk将四边形EABF的面积两等分，求k的值；3如图 2，过点ABC、的抛物线与y轴交于点D，M为线段OB上的一个动点，过x轴上一点2,0G 作DM的垂线，垂足为H，直线GH交y轴于点N，当M点在线段OB上运动时，现给出两个结论：GNMCDM MGNDCM，其中有且只有

3、一个结论是正确的，请你判创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 断哪个结论正确，并证明 1-1图2图1DxyABCOOFECBAyx【思路分析】很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，略微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要渐渐将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C 点纵坐标直接用 tg60来算，七分中的两分就到手了。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难

4、，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于 EFAB 还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。最后三分收起来有点费事，不过略微认真点画图，不难猜出式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者者相似三角形，过 D 做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题的 7 分就成功落入囊中了。【解析】解：113 0B，；1 3C，2过点C作CPAB于P，交EF于点Q，取PQ的中点R ABC是等边三角形，13 0A，60EAO 在Rt EOA中，90EOA 创 作人：莘众在

5、 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 tan6013333EOAO 0,33E EFAB交BC于F，1 3C，3312R，就是四边形对角线的中点，横坐标自然和 C 一样，纵坐标就是 E的纵坐标的一半 直线1ykx将四边形EABF的面积两等分 直线1ykx必过点3312R，3312k，532k -1RQFECBAOxy 3正确结论：GNMCDM 证明：可求得过ABC、的抛物线解析式为222yxx 0 2D，2 0G ，OGOD 由题意90GONDOM 又GNODNH NGOMDO 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1

6、 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 NGOMDO GNODMO，OMON 45ONMNMO 过点D作DTCP于T 1DTCT 45CDTDCT 由题意可知DTAB TDMDMO 454545TDMDMOGNO TDMCDTGNOONM 即：GNMCDM 这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图 GPNMHTDCBAOxy 【例 2】2021，怀柔，一模 如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线21410189yxx与正半轴交于点A,与创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1

7、月 15 日 轴交于点 B,过点 B 作 x 轴的平行线 BC,交抛物线于点 C,连结 AC 现有两动点 P、Q 分别从 O、C 两点同时出发,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿 OA 向终点 A 挪动,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 挪动,点 P 停顿运动时,点 Q 也同时停顿运动,线段 OC,PQ 相交于点 D,过点 D作 DEOA,交 CA 于点 E,射线 QE 交 x 轴于点 F设动点 P,Q 挪动的时间是为 t(单位:秒)(1)求 A,B,C 三点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;(3)当 0t92时,PQF 的面积是否总为定

8、值?假设是,求出此定值,假设不是,请说明理由;(4)当 t _时,PQF 为等腰三角形?【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行，所以大家需要对各种特殊图形的断定性质非悉。此题一样一步步拆开来做，第一问送分，给出的抛物线表达式很好因式分解。注意平行于 X 轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的。第二问就在于当四边形 PQCA 为平行四边形的时候题中条件有何关系。在运动中，QC 和 PA 始终是平行的，根据平行四边形的断定性质，只要 QC=PA 时候即可。第三问求PQF是否为定值，因为三角形的一条高就是 Q 到 X 轴的间隔，而运动中这个间隔 是固定的，所以

9、只需看 PF 是否为定值即可。根据相似三角形建立比例关系发现 OP=AF，得解。第四问因为已经知道 PF 为一个定值，所以只需 PQ=PF=18 即可，P 点 4t,0 Q(8-t,-10),F(18+4t,0)两点间间隔 公式分类讨论即可.本道题是 09 年原题,第四问本来是作为解答题来出的本来是 3 分,但是此题作为 1 分的填空,考生只要大概猜出应该是 FP=FQ 就可以。实际考试中假如碰到这么费事的,假如没时间是的话笔者个人建议放弃这一分去检查其他的.毕竟得到这一分的时间是都可以把选择填空仔细过一遍了.创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日

10、期：二 O 二二 年 1 月 15 日【解析】解：(1)21(8180)18yxx，令0y 得281800 xx，18100 xx 18x 或者10 x (18,0)A；在21410189yxx中，令0 x 得10y 即(0,10)B；由于 BCOA，故点 C 的纵坐标为10，由2141010189xx得8x 或者0 x 即(8,10)C 于是，(18,0),(0,10),(8,10)ABC 2假设四边形 PQCA 为平行四边形，由于 QCPA.故只要 QC=PA 即可 184,PAt CQt 184tt 得185t 3设点 P 运动t秒，那么4,OPt CQt，04.5t，说明 P 在线段

11、OA 上，且不与点 O、A 重合，由于 QCOP 知QDCPDO，故144QDQCtDPOPt 4AFtOP 18PFPAAFPAOP 又点 Q 到直线 PF 的间隔 10d 1118 109022PQFSPF d PQF 的面积总为 90 4由上知，(4,0),(184,0),(8,10)PtFtQt，04.5t。构造直角三角形后易得 2222(48)10(58)100PQttt，2222(1848)10(510)100FOttt 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 假设 FP=PQ，即2218(58)1

12、00t，故225(2)224t，226.5t 2244 142255t 4 1425t 假设 QP=QF，即22(58)100(510)100tt，无04.5t 的t满足条件；12 假设 PQ=PF，即22(58)10018t，得2(58)224t，84 144.55t或者84 1405t都不满足04.5t，故无04.5t 的t满足方程；综上所述：当4 1425t 时，PQR 是等腰三角形。【例 3】2021,延庆,一模 如图，抛物线1C：522xay的顶点为P，与x轴相交于A、B两点点A在点B的左边，点B的横坐标是1 1求P点坐标及a的值；2如图1，抛物线2C与抛物线1C关于x轴对称，将抛物

13、线2C向右平移，平移后的抛物线记为3C，3C的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求3C的解析式；3如图2，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线1C绕点Q旋转180后得到抛物线4C抛物线4C的顶点为N，与x轴相交于E、F两点点E在点F的左边，当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标 y x A O B P M 图 1 C1 C2 C3 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 【思路分析】出题人比拟仁慈，上来就直接给出抛物线顶点式，再将 B1,0代入，第一问轻松拿分。第二问直接求出 M 坐标，

14、然后设顶点式，继续代入点 B 即可。第三问那么需要设出 N，然后分别将 NP，PF,NF 三个线段的间隔 表示出来，然后切记分情况讨论直角的可能性。计算量比拟大，必须细心。【解析】解：由抛物线1C：225ya x得 顶点P的为(25)，点(10)，B在抛物线1C上 20125a 解得，59a 连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G 点P、M关于点B成中心对称 PM过点B，且PBMB PBHMBG 5MGPH,3BGBH 顶点M的坐标为(45)，HY 答案如此，其实没这么费事，点 M 到 B 的横纵坐标之y x A O B P N 图 2 C1 C4 Q E F 创 作人：莘众在 日 期：二

15、O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 差都等于 B 到 P 的，直接可以得出4,5 抛物线2C由1C关于x轴对称得到，抛物线3C由2C平移得到 抛物线3C的表达式为25459yx 抛物线4C由1C绕点x轴上的点Q旋转180得到 顶点N、P关于点Q成中心对称 由得点N的纵坐标为5 设点N坐标为(5)，m 作PHx轴于H，作NGx轴于G 作PKNG于K 旋转中心Q在x轴上 26EFABBH 3FG，点F坐标为(30)，m H坐标为(20)，K坐标为(5)，m，根据勾股定理得 22224104PNNKPKmm 22221050PFPHHFmm

16、2225334NF 当90PNF时，222PNNFPF，解得443m，Q点坐标为19(0)3，当90PFN时，222PFNFPN，解得103m，Q点坐标为2(0)3，10PNNKNF，90NPF 综上所得，当Q点坐标为19(0)3，或者2(0)3，时，以点P、N、F为顶点 的三角形是直角三角形 y x A O B P N 图(2)C1 C4 Q E F H G K 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日【例 4】2021，房山，一模 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 l1：36 3yx 交x轴、y轴于A、B

17、两点，点,M m n是线段AB上一动点，点C是线段OA的三等分点 1求点C的坐标；2连接CM，将ACM绕点M旋转180，得到A C M 当12BMAM时，连结A C、AC，假设过原点O的直线2l将四边形A CAC分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；过点A作A Hx轴于H，当点M的坐标为何值时，由点A、H、C、M构成的四边形为梯形？OMBA【思路分析】此题计算方面不是很繁琐，但是对图形的构造才能提出了要求，也是一道比拟典型的动点挪动导致特殊图形出现的题目。第一问自不必说，第二问第一小问和前面例题是一样的，也是要把握过四边形对角线交点的直线一定平分该四边形面积这一定理。求出交点就意味着知

18、道了直线.第二小问较为费事,因为 C 点有两种可能,H 在 C 点的左右又是创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 两种可能,所以需要分类讨论去求解.只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了.【解析】1根据题意：6,0A，0,6 3B C是线段OA的三等分点 2,0C或者4,0C-2 分 2如图，过点M作MNy轴于点N，那么BMNBAO 12BMAM 13BMBA 13BNBO 0,4 3N 点M在直线36 3yx 上 2,4 3M-A C M是由ACM绕点M旋转180得到的 A CAC 无论是1C、2C点，四边

19、形A CAC是平行四边形且M为对称中心 所求的直线2l必过点2,4 3M 直线2l的解析式为:2 3yx 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 xyC2C2C1NC1AOMBA 当12,0C时，第一种情况：H在C点左侧 假设四边形1A HC M是梯形 A M与1HC不平行 A H1MC 此时2,4 3M 第二种情况：H在C点右侧 假设四边形1A C HM是梯形 A M与1C H不平行 1A CHM M是线段AA的中点 H是线段1AC的中点 4,0H 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日

20、 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 由6OA，6 3OB 60OAB 点M的横坐标为5 5,3M 当24,0C时，同理可得 第一种情况：H在2C点左侧时，4,2 3M-第二种情况：H在2C点右侧时，113,22M-综上所述，所求 M 点的坐标为：2,4 3M，5,3M，4,2 3M或者113,22M xyC2C2C1NC1AOMBA【例 5】通州，2021，一模 在平面直角坐标系中，抛物线223yxx与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 在点 B 左侧.与 y 轴交于点 C，顶点为 D，直线 CD 与 x 轴交于点 E.1请你画出此抛物线，并求 A、B、C、D 四点

21、的坐标.创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 2将直线 CD 向左平移两个单位，与抛物线交于点 F不与 A、B 两点重合，请你求出 F 点坐标.3在点 B、点 F 之间的抛物线上有一点 P，使PBF 的面积最大，求此时 P 点坐标及PBF 的最大面积.4假设平行于 x 轴的直线与抛物线交于 G、H 两点，以 GH 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径.【思路分析】此题看似错综复杂，尤其最后第四问的图像画出来又乱又挤，略微没画好就会让人头大无比。但是不用慌，一步步来渐渐做。抛物线表达式很好分解，第一问轻松写出四

22、个点。第二问向左平移，C 到对称轴的间隔 刚好是 1，所以挪动两个间隔 以后就到了关于对称轴对称的点上，所以 F 直接写出为-2,-3第三问看似棘手，但是只要将PBF拆解成以 Y 轴上的线段为公一共边的两个小三角形就会很轻松了。将 P 点设出来然后列方程求解即可。最后一问要分 GH 在 X 轴上方和下方两种情况，分类讨论。不过做到最后一步相信同学们的图已经画的乱七八糟了，因为和前面的问题没有太大关系，所以建议大家画两个图分开来看。【解析】解：13 01 00314ABCD，.223F，3过点P作y轴的平行线与BF交于点M，与x轴交于点H 易得23F，直线BF解析式为1yx 设223P x xx

23、，那么1M x x，创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 22PMxx PM的最大值是94.当PM取最大值时PBF的面积最大 19273248PBFPFMPBMSSS PFB的面积的最大值为278.4如图，当直线GH在x轴上方时，设圆的半径为0R R，那么1H RR，代入抛物线的表达式，解得1272R.当直线GH在x轴下方时，设圆的半径为0r r，那么1H rr，代入抛物线的表达式，解得1172r 圆的半径为1172或者1172 .H1O2O1H2MByxOCPDFAG2G1【总结】通过以上五道一模真题，我们

24、发现这类问题虽然看起来非常复杂，但是只要一问一问研究渐渐分析，总能拿到不错的分数。将几何图形添进坐标系大多情况下是和抛物创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 线有关，所以首先需要同学们对抛物线的各种性质纯熟掌握，尤其是借助抛物线的对称性，有的时候解题会非常方便。无论题目中的图形是三角形，梯形以及平行四边形或者者圆，只要认清各种图形的一般性质如何在题中表达就可以了。例如等腰/边三角形大多和相似以及线段长度有关，梯形要抓住平行，平行四边形要看平行且相等，圆形就要看半径和题目中的条件有何关系。还需要掌握平分三角形/

25、四边形/圆形面积的直线分别都一定过哪些点。总之，再难的问题都是由一个个小问题组成的，就算最后一两问没有时间是考虑拿不了全分，至少要将前面容易的分数拿到手，这局部分数其实还不少。像例 2 最后一问那种情况，该放弃时候果断放弃，不要为 1 分的题失去了大量检查的时间是。第二局部 发散考虑【考虑 1】2021，.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个顶点的坐标分别为6,0A，6,0B，0,4 3C，延长 AC 到点 D,使 CD=12AC,过点 D 作DEAB 交 BC 的延长线于点 E.1求 D 点的坐标；2作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，假设过 B 点的直线yk

26、xb将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；3设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线ykxb与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G点，再沿 GA 到达 A 点，假设 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间是最短。要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日【思路分析】在一模真题局部我们谈到的是直线分四边形面积相等，但是这道去年中考原题那么是分周

27、长相等。周长是由很多个线段组成的，所以分周长相等只需要研究哪些线段之和相等就可以了。所以自然想到去证明全等三角形。第三问虽然不要求证明，但是只需设出速度,利用相似三角形去建立关系,还是不难证明的,有余力的同学可以试试.【考虑 2】2021，西城，一模：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线364yx 与 x 轴、y 轴的交点分 别为 A、B，将OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C.1直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；2假设抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四 边形？假设存

28、在，求出点 P 的坐标；假设不存在，说明理由；3设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T，Q 为线段 BT 上一点，直接写出 QAQO的取值范围.【思路分析】第二问有两个思路，第一个是看四边形的线段是否平行且相等，角是否符合平行四边形的条件。另一个是看假设有平行四边形，那么构成平行四边形的点 P 是否在BC 上。从这两个思路出发，列出方程等式即可求解。第三问根据抛物线的对称性来看三点一共线，继而看出最大值和最小值分别是多少。【考虑 3】2021，一模 抛物线与 x 轴交于 A1，0、B 两点，与 y 轴交于点 C0，3，抛物线顶点为 M，创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 1

29、5 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 连接 AC 并延长 AC 交抛物线对称轴于点 Q，且点 Q 到 x 轴的间隔 为 6.1求此抛物线的解析式；2在抛物线上找一点 D，使得 DC 与 AC 垂直，求出点 D 的坐标；3抛物线对称轴上是否存在一点 P，使得 SPAM=3SACM，假设存在，求出 P 点坐标；假设不存在，请说明理由.【思路分析】第一问要算的比拟多，设直线以后求解析式，看出抛物线对称轴为 x=1,然后设顶点式解个二元方程组即可.第二问利用三角形相似求出点 N 坐标,然后联立抛物线与直线CN即可求出点D.第三问考验对图形的理解,假如能巧妙的将ACM的面

30、积看成是四边形 ACEM 减去AME,那么就会发现四边形 ACEM 刚好也是AOC 和梯形 OCEM 之和,于是可以求出 PM 的间隔,然后分类讨论 PM 的位置即可求解.【考虑 4】2021，崇文，一模 如 图，抛 物 线两点轴交于与BAxbxaxy,32，与y轴 交 于 点C，且OAOCOB3 I求抛物线的解析式；II 探究坐标轴上是否存在点P，使得以点CAP,为顶点的三角形为直角三角形？假设存在，求出P点坐标，假设不存在，请说明理由；III直线131xy交y轴于D点，E为 抛 物 线 顶 点 假 设DBC，求,CBE的值 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创

31、作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 【思路分析】此题虽然没有明确给出坐标，但是表达式中暗含了 X=0 时 Y=-3，于是 C点得出，然后利用给定的等式关系写出 A,B 去求解析式。第二问中，因为 AC 是固定的，所以构成的直角三角形根据 P 的不同有三种类型。注意分类讨论。第三问那么是少见的计算角度问题，但是实际上也是用线段去看角度的相等。最方便就是利用正切值构建比例关系，发现CBE=DBO，于是所求角度差就变成了求OBC。第三局部 考虑题解析【考虑 1 解析】解：1(6 0)A ，(0 4 3)C，64 3OAOC，设DE与y轴交于点M 由DEAB可得DMCAOC 又1

32、2CDAC，12MDCMCDOACOCA 2 3CM，3MD 同理可得3EM 6 3OM D点的坐标为(3 6 3)，创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 2由1可得点M的坐标为(0 6 3)，由DEABEMMD，可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线 点C关于直线DE的对称点F在y轴上 ED与CF互相垂直平分 CDDFFEEC 四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心 作直线BM 设BM与CDEF、分别交于点S、点T可证FTMCSM FTCS FECD，TESD ECDF，TEECCSSTSDDFFTTS

33、直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形 由点(6 0)B，点(0 6 3)M，在直线ykxb上，可得直线BM的解析式为36 3yx 3确定G点位置的方法：过A点作AHBM于点H那么AH与y轴的交点为所求的G点 由66 3OBOM，可得60OBM，30BAH y D E C B O A x 1 1 H S M T G F 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 在RtOAG中，tan2 3OGAOBAH G点的坐标为(0 2 3)，或者G点的位置为线段OC的中点 【考虑 2 解析】解：1点 C 的坐标为

34、(3,0).点 A、B 的坐标分别为(8,0),(0,6)AB，可设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为(3)(8)ya xx.将0,6xy代入抛物线的解析式，得14a.过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为2111644yxx.2可得抛物线的对称轴为112x，顶点 D 的坐标为 1125(,)216，设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G.直线 BC 的解析式为26yx.-设点 P 的坐标为(,26)xx.解法一：如图 8，作 OPAD 交直线 BC 于点 P，连结 AP，作 PMx 轴于点 M.OPAD，POM=GAD，tanPOM=tanGAD.PMDGOMGA，即2526161182

35、xx.解得167x.经检验167x 是原方程的解.此时点 P 的坐标为16 10(,)77.但此时165,72OMGA，OMGA.,coscosOMGAOPADPOMGADPOMGAD 图 8 xy11MPGDCBAO创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 OPAD，即四边形的对边 OP 与 AD 平行但不相等，直线 BC 上不存在符合条件的点 P.解法二：如图 9，取 OA 的中点 E，作点 D 关于点 E 的对称点 P，作 PNx 轴于点 N.那么PEO=DEA，PE=DE.可得PENDEG 由42OAOE

36、，可得 E 点的坐标为(4,0).NE=EG=32，ON=OENE=52，NP=DG=2516.点 P 的坐标为5 25(,)2 16.x=52时，52526261216x ，点 P 不在直线 BC 上.直线 BC 上不存在符合条件的点 P.图 10 xyT11CBAOHQK图 9 xy11NEGDCBAOP创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 3QAQO的取值范围是04QAQO.说明：如图 10，由对称性可知 QO=QH，QAQOQAQH.当点 Q 与点 B 重合时，Q、H、A 三点一共线，QAQO获得最大

37、值 4即为 AH 的长；设线段 OA 的垂直平分线与直线 BC 的交点为 K，当点 Q 与点 K 重合时，QAQO获得最小值 0.【考虑 3 解析】解：1设直线 AC 的解析式为3 kxy，把 A1，0代入得3k.直线 AC 的解析式为33 xy.依题意知，点 Q 的纵坐标是6.把6y代入33 xy中，解得1x，点 Q1，6 点 Q 在抛物线的对称轴上，抛物线的对称轴为直线1x.设抛物线的解析式为nxay2)1(，由题意，得304nana，解得.4,1na 抛物线的解析式为4)1(2 xy.2如图，过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于点 D，交 x 轴于点 N，那么ANCACO ACOANCt

38、antan，OCOAONOC.1OA，3OC，9ON.点 N 的坐标为9，0 图 11 DCBPEA创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 可求得直线 CN 的解析式为331xy.图 由4)1(3312xyxy，解得92037yx，即点 D 的坐标为37，920.5 分 3设抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，依题意，得2AE，4EM，52AM.1AMEOCMEAOCACMSSSS梯形，且PMAEPMSPAM21，又ACMPAMSS3，3PM.设 P1，m，图 当点 P 在点 M 上方时，PMm43，1m，P1，

39、1.当点 P 在点 M 下方时，PM4m3，7m，P1，7.综上所述，点 P 的坐标为1P1，1，2P1，7.【考虑 4 解析】解：I3,032点轴交与抛物线Cybxaxy，且OAOCOB3)0,3(,0,1BA 代入32bxaxy，得 12030339abbaba 322xxy II 当190,PAC时可证AOP1ACO xy(1,m)P1CMAOEA P2 P 1 C 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 创 作人：莘众在 日 期：二 O 二二 年 1 月 15 日 31tantan11ACOAOPAOPRt中，)31,0(1P 同理:如图当)0,9(9022PCAP时，当)0,0(9033PACP时，综上，坐标轴上存在三个点P，使得以点CAP,为顶点的三角形为直角三角形，分别是)31,0(1P)0,9(2P，)0,0(3P III1,0,131Dxy得由4,1322Exxy，得顶点由 52,2,23BECEBC 为直角三角形BCEBE,CEBC222 31tanCBCE 又31tanOBODDBODOBRt中 DBO 45OBCDBO