厦门大学数学分析.pdf

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1、1/3 厦门大学 2005 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（一）数学分析 1 判断题(1)函数()f x在某点0 x连续的充分必要条件为:对任何收敛到0 x的数列nx,数列()nf x均收敛.(2)设函数()f x定义在(,)a b上,则()f x在0(,)xa b处连续的充要条件为 0 00 0lim()lim()mM 其中0000(,)(,)()inf(),()sup()xxxxxxmf x Mf x.(3)设f是n次多项式,则,a xR都有 2()()()()()()()()().2!nnxaxaf xf axa fafafan(4)设()f x在(,)a b上导数处处存在,(,)

2、c da b,由中值定理,(,)c d使得()()()()f df cfdc.则(,)c d是关于,(,)c d cda b的连续函数.(5)当函数()f x在,a b上R可积时,1()lim().nbankbakf x dxfnn 2.设 01151,(),1,2,2nnnxxxnx 证明limnnx存在,并求limnnx.3.证明:若函数()f x在区间0,l上连续及当0l时222()0,xyz则函数2220()(,)()lfu x y zdxyz满足拉普拉斯方程2222220.uuuxyz 4.设1()nnnf xa x的收敛半径是,令1()nknkkfxa x,证明()nffx在任何有

3、限区间,a b上都一致收敛于().f f x 5.设函数()f x在,a b上R可积,证明存在,a b上的多项式数列()(1,2,)nx n使得 2/3 lim()().bbnnaax dxf x dx 6.计算 2212CXdYYdXIXY 其中,Xaxby Ycxdy C为包围原点的简单封闭曲线(0).adcb（二）实变函数 1.(1)叙述 Lusin(鲁金)定理(可测函数与连续函数的关系定理)(2)应用(1):设1,p 是nR中的有界开集,()f x满足|()|.pf xdx 试证明0 都存在一个连续函数()x使得|()()|.pf xxdx 2.(1)叙述 Fatou 定理 (2)设(

4、)if x在上几乎处处收敛于()f x,且0 存在N,当,j kN时,()jfx满足|()()|.pjkfxfxdx试应用 Fatou 引理证明|()()|.ppjfxf xdx 3.(1)叙述 Lebesgue 控制收敛定理 (2)设 21(1),(1)()0,(1)xnC exxx 其中21111().xnxCe令1()(),nxx是nR中开集.如果u是一个可积函数,并在的一个紧子集K外恒为 0.试证明当0充分小时,函数()()()(),uxu yxy dyu x 对任意的多重指标1(,)(0,1,)niin有()()().Du xDux 这里11nnDxx,其中12.n本题可只考虑一维情

5、形.（三）常微分方程 A 卷 1.(1)写出齐次线性微分方程组dYAYdx的 Wronski 行列式.3/3(2)将n阶齐次线性微分方程()(1)110nnnnyp ypyp y 化成线性微分方程组的形式,并由此定义n阶齐次线性微分方程的n个解1,nyy的Wronski 行列式().W x(3)证明对(,)a b的任一点0 xx皆有 10()0()()xxp t dtW xW x e(4)已知二阶齐次方程()()0,yp x yq x y 的一个非零特解1y,应用本题(1)(2)(3)的结论求出与1y线性无关的另一个特解.2.设12(,)(,)x tx x t表示欧式坐标而且12(,)(,)(,)u x tu ux t是定义在21RR上的向量值函数,(,),(,)P x tB x t都是标量函数满足 2(1)0.tPu PPP B 试化它为常微分方程并解之.这里P表变量P的剃度.