高考数学专题复习——导数.pdf

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1、2021年高考数学专题复习导数 目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之别离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用导数运用中常见结论曲线y f(x)在x xo处的切线的斜率等于f(xo)，且切线方程为y f(xo)(xxo)f(x)。假设可导函数y f(x)在x x0处取得极值，那么f(xo)0。反之，不成立。对于可导函数f(x)，不等式f(x)0(

2、0的解集决定函数f(x)的递增减区间。函数f(x)在区间 I 上递增减的充要条件是：恒为 0 x If(x)0(0)恒成立f(x)不函数f(x)非常量函数在区间 I 上不单调等价于f(x)在区间 I 上有极值，那么可等价转化 为方程f(x)0在区间 I 上有实根且为非二重根。假设f(x)为二次函数且 I=R，那么有0。(6)f(x)在区间 I 上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f(x)0或f(x)0在 I 上恒成立假设x I，f(x)0恒成立，那么f(x)min0；假设x I，f(X)0恒成立，那么f(X)max0X。I，使得f(Xo)0,那么f(X)max0；假设X。I，使

3、得f(X)0，那么(8)假设f(x)min0.(9)设f(X)与g(x)的定义域的交集为 D，假设XDf(x)g(x)恒成立，那么有f(x)g(x).(10)假设对假设对假设对min0.XiI1、X2I2，f(X1)g(X2)恒成立，那么f(X)ming(X)maxX1I1，X2I2，使得f(X1)g(X2),那么f(x)ming(x)min.g(x)X1I1，X2I2，使得f(Xj g(X2)，那么f(X)max11f(x)在区间Ii上的值域为 A,，g(x)在区间丨2上值域为 B，max假设对x111,x212，使得f(xj=g(x2)成立，那么A B。(12)假设三次函数 f(x)有三个

4、零点，贝U方程f(X)0有两个不等实根X1、X2，且极大值大于 0,极小值小于 0.(13)证题中常用的不等式：XIn x x 1(x 0)x 10)sinxx(0 x 冗)Inxx 0主亡:-X-亍卫|时，门闰 7时，-1-U(,o=+xl时，.re；-所以函数laz,la(O=+xJ上单调S：-,o|上单调 3I练习：1、订函数f(x)1当a.1 In x ax a 1(a R).x-时讨论f(x)的单调性；2时，答案：f(x)1 aIn xax-1(x 0)x、I,f(x)xa 1ax x a 1a 2、xx2c令h(x)ax2x 1a(x0)0,f(x)0,函数f(x)单调递减;当a

5、0时，h(x)x1(x0)，当x(0,1),h(x)当x(1,),h(x)0,f(x)0，函数f(x)单调递增.1当a 0时，由f(x)0，即ax2x 1 a 0，解得Xi1,X2a 1.1当a时为 X2,h(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；211当0 a时，一110,x(0,1)时h(x)0,f(x)0，函数f(x)单调递减;2a1x(1,1)时，h(x)0,f(x)0，函数f(x)单调递增；a1x(1,)时，h(x)0,f(x)0，函数f(x)单调递减.a1当a 0时10，当x(0,1),h(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减；a当x(1,),h(x)0,f(x)

6、0，函数f(x)单调递增.)单调递增;f(x)在(0,)单调递减;1,综上所述：当a 0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,1当a时为x2,h(x)0恒成立，此时f(x)0，函数11f(0,1)当0 a时,函数(x)在2递减,(1,1)递增,(1a11 ax)递减.ag(x)，令函数 F(x)f(x)g(x)2、a 为实数，函数 f(x)a 0时，求函数F(1 ax)ex，函数(x)的单调区间axax解：函数 F(x)ex，定义域为1 ax当a 0时，F(x)a2x2 2a 1(1 ax)2a(x(1 ax)22 22a 1 aex)令 F(x)0,得 x2.a1当2a 1 0，即 a

7、-时，F(x)2-0.-当 a 时，函数 F(x)的单调减区间为(，),(丄，).2a a“2 a 12a 12 1,x2当a0 时，解 x2得 X1aa2.12a1aa11 分2a 1a-令 F(x)0,得 x(1,),xa(,xj,X2,a(x(x)；令 F(x)，得 x(X1,X2).00 时，函数 F(x)的单调减区间为(13 分),(丄,Q)，a a a15 分,2)及2a 1a当2a 1(2,)(函数F(x)F(x)单调增区间为，=).1时，由2知，函数F(x)的单调减区间为(22、根据判别式进行讨论例题：【20212021高考四川，理2121】函数f(x)中a 0.1设g(x)是

8、f(x)的导函数，评论g(x)的单调性;【答案】1当0 a12(x a)ln x x2 2ax 2a2 a，其时，g(x)在区间(0,141 4a1 4a、，1),(1 4a2)上单调递增,在区间(11 4a 1)上单调递减；当14_时时，g(x)在区间(0,)上单调递【解析】1由，函数f(x)的定义域为(0,g(x)f(x)2x2a2ln x 2(1a),x，1所以g(x)2122a2(x 刁2 2(a 4)2x2xg(x)在区间(0,11 4a、，1),(214a2)上单调递增,11 4a 1在区间(-,21 4a、)上单调递减;21当a时，g(x)在区间(0,)上单调递增4练习：函数f(

9、x)lnx x,a ax1求函数f(x)的单调区间;解：函数 f(x)的定义域为(0,).令 f(X)i i当得 X2f(x)单调减区间为(0,)；1 4a.假设1X21.1 4a0 得iiii,X2时，由 f(X)X1X X当f(X)0,4 得 0 xx2,由0,得X2X X1.1;由 f(X)2假设a0,那么 X10X2,1 1假设a0,得 x X1；由 f(x)0,(0,14a1得1.4a)由 f(x)0 x X,(!所以,f(X)的单调减区间为)，单调增区间为221 1综上所述：当 a 0时，f(x)单调减区间为(2单调增区间为r14a,i21 4a.L；1.1 4a(0,0,2).1

10、2.函数 f(x)a(x-)2ln x(a R).x求函数 f(x)的单调区间；2解：函数的定义域为0,f(x)a(1)竺一汇上x xx0 在(0,2 21当a 0时，h(x)ax2 2x a那么 f(x)0 在(0,)上恒成立,)上单调递减.)上恒成立，此时 f(x)在(0,2当a 0时，4 4a2,i假设0 a 1,由 f(x)0,即 h(x)0,得x1一a或x1Jaaa由 f(x)0,即 h(x)0,得1/1xa1.1 a2a.a1 11 a1 a所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,)和 r r,),1 a1 aa(1-1 a2单调递减区间为aii假设a 1,h(x)0 在(0,)上

11、恒成立，那么 f(x)时 f(x)在(0,)上单调递增.a0 在(0,)上恒成立，此3、含绝对值的函数单调性讨论例题：函数f(x)x x a In x.1假设 a=1，求函数f(x)在区间1,e的最大值;2求函数f(x)的单调区间；3假设 f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围解:1假设 a=1,那么f(x)x x 1 In x.21 2x2x 10,当x 1,e时，f(x)x x In x,f(x)2x 1所以f(x)在1,e上单调增，f(x)max2由于f(x)x x a In x，x(0,).f(e)e222x2ax 1i 当a 0时，贝U f(x)x axIn x,f(x)2xx令f(

12、x)0,得XQ负根舍去，且当(0,xo)时,f(x)0；当x(xo,)时,f(x)所以f(x)在(0,-a 8)上单调减，在)上单调增当a 0时,当x a时，f(x)2x a丄2x2ax 1xx山口a舍，Xi4f(x)0,所以f(x)在(a,)上单调增;a，即0 a 1,那么当x(0,xJ时，f(x)0；当x(捲，a08f(x)0,所以f(x)在区间(0,-上是单调减，在4)(当0a，f(x)2x a-1时2x22ax 1x(x)22x ax 10,记假设0,即0 a 2 2,那么f(x)0，故f(x)在(0,a)上单调减;假设那么由f(x)0a(a2 8得X3，xt且0 x3x4 a,)时,

13、当x(0,X3)时，f(x)0；当x(冷凶)时，f(x)0；当x(X4,)时,f(x)0,所以f(x)在区间(0,)上是单调减，在(一-一，一一)44上单调增；在(？a 8,)上单调减.综上所述，当是(aa2 8a 1时，f(x)单调递减区间是(0,aa),f(x)单调递增区间4a2.2时，f(x)单调递减区间是(0,a),f(x)单调的递增区间是(a,);4In x x1 In xIn xi i(0,1)，那么时,g(x)0,不等式*恒成立，所以a R;令 g(x)xxx当1a8 aIn x 八82a 厂厂)和(a,0,0,所以iiii再令 e(x)x,那么 e(x)2x 0 在 x(1,)

14、分1时，1 1 In x12a 1；上恒成立，10分f(x)单调的递增区间是().e(x)在 x(1,)上x当4xx恒成立或 ax 恒成立.xIn x22,2时，f(x)单调递减区间是(0,a a2 84)和(P,a),无最大值.iiiiii1时，不等式*恒成立等价于3函数f(x)的定义域为 x(0,当x21 In xIn x2令 h(x)，那么 hx(x)x因为x1所以 h(x)0,从而,因为 a恒成立等价于 axh(x)1.(h(x)min，所以a 1.2设a为实数，函数fx x|x2a|2求函数f x的单调区间2|】当迥0时的单区阀力-8十 8.7分|当仪o时*a当jcA/du应t分一*

15、/因为f 3=2 u就卄頁、严頁 一五罷v 五.所g汕时/QAX 一H+x-从m/J的单auKftjK-JSa.s当一历VrBJ.71-4,-：Q0+心的单调增区冏如一J亍号几“门的单测减轻同为/I庙.巧分堞上贾逑严40。时函T JCr的单谓划区间为一8+0,当/Cx的单冏堆区厨为一8佑苗.2M-頁，罷Xfg的单谓離诫问为4、分奇数还是偶数进行讨论例题：【2021 高考天津，理 20 函数f x nx xn,x R，其中n N*,n 2.(I)讨论f(x)的单调性;【答案】(I)当n为奇数时，f(x)在(,1),(1,)上单调递减，在(1,1)内单调递增；当n为偶数时，f(x)在(，1)上单调

16、递增，f(x)在(1,)上单调递减.(II)见解析；(III)见解析【解析】：口由f(x)=.T：:-可得，其中ne.V*且冷己匕下面分两种詹况讨论；(1)当斤为奇数时*管广 00=0,解得黑=1 或工=一 1,当工变优时，3(血的变化情况如下表；(71)I,十工)+心/所以 临在(一比一1),(L-bx)上单调谨爲 在(-1.1)內单调谨増.(2)当n为偶数时，当f(X)0，即x 1时，函数f(x)单调递增；当f(X)0，即x 1时，函数f(x)单调递减所以，f(x)在(，1)上单调递增，f(x)在(1,)上单调递减5、单调区间求参数范围例题：14 年全国大纲卷文函数f(x)=ax3+3x2

17、+3x(a*0).1讨论函数 f(x)的单调性；2假设函数 f(x)在区间1,2是增函数，求 a 的取值范围解：1f(x)3ax2 6x 3,f(x)3ax2 6x 3 0的判别式厶=36 1-a 是增函数.ii 丨由于 az0，故当 a1 时，f(x)0有两个根：x,11 a,x211 aa假设 0a0,x0 时,xa0,故 f x在2丨或 x x1,+丨时,f(x)上是增函数；在X2,f(x)0,故 f xX1上是减函数；在区间1,2是增函数.f(x)0,所以当a0 时，f当 xa0 时，f假设1在区 x间1,2 丨是增函数当且仅当f(1)a 0.综上，a 的取值范围是5,0.).(0,4

18、).二、极值一判断有无极值以及极值点个数问题例题：【2021 高考山东，理 21】设函数f x ln x 1 a x2x，其中a R.I讨论函数f x极值点的个数，并说明理由；【解析】函-JT)的起1-2CCV 1 7fXJ=-+2t-CJ=-卄1X+l|令冴H)=tzr+1b X1_ 5C()当由=0 时，g(x)=l0 fr(x)Q在 I-l.+x|匕恒成立所丛 函在卜 1 亠工上单调窿屠无极值：22当a 0时，a 8a 1 a a 9a 88当0 a时，0,g x 090且f(2)0,解得所以，f x0，函数f x在1,上单调递增无极值；当a8时，09设方程c 22axax 1a0的两根

19、为X1,X2(X1X2),因为XiX212所以，11Xi一4，X24由g1 10可得:1X-1I4J所以，当当x1,X1时,g X0,f x 0，函数f x单调递增;当xXX时，2gX0,fx 0，函数f x单调递减；当xX2，时，!g x0,fx 0，函数f x单调递增；因此函数fx有两个极值点.93当a 0时，0由g110可得:X11,当X1,X2时，g X0,fX0，函数f x单调递增；当XX2,时,g X0,f X0，函数f x单调递减;因此函数f X有个极值点.综上：当a0时，函数fX在1,上有唯一极值点；当0a8时，函数9f X在1,上无极值点；8例题：当a一【时2021，函数高考

20、安徽，理f x在1,21】设函数上有两个极值点f(x)x2 ax b.;I讨论函数f(sin x)在(一，一)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值【解析】If(sinx)sin2 x asinx b sinx(sinx a)b,;2 2f(sin x)(2sinx a)cosx,x.2 2因为一x一，所以cosx 0,2 2sin x 2.2 2当a 2,b R时，函数f(sin x)单调递增，无极值当a 2,b R时，函数f(sin x)单调递减，无极值当2a 2，在(一，一)内存在唯一的x0，使得2sin x0 x0时，函数f(sin x)单调递减;Xox时，函数22 a 2，b R

21、时，数f(sin x)在f(sinx0)f(；)b:(二)极值点个数求参数范围是自然对数的底数例题：【14 年山东卷理】设函数f xexx2I 丨当k 0时，求函数f x的单调区间;II 丨假设函数f x在0,2内存在两个极值点，求 k 的取值范围。k(ln x)2k为常数，e 2.71828xf(sin x)单调递增Xo处有极小值解：(1)f(x)(x 2)e x 2xe 2-x4k(-x x1、)x当 k 0 时，kx 0,6 kx 0 令 f(x)0,那么 x 2(x 0)当 x(0,2)时，f(x)单调递减；当 x(2,)时，f(x)单调递增。(2)令 g xex kx那么 g(x)e

22、x kex k,x Inkg(0)1g(2)e20,g(0)0,g 2Inke2 2kInk2g in k ekink 0综上：e 的取值范围为 练习：1、【2021 年天津卷理】口知函皴八x =gif if e e聲 W.己知函做卜=/Jt rJt r忖两个#点 R RJtjJtj 22 JtJt;,COCO q q 心在盃 上姮庞立*注R不舍髓數*由 _/*当K K燮化时.厂ZI*ZI*r。.冊.、=111111 d d.“的更化1W1W况如下凳：一*、一n a la ala af In斗十*)一r.xi+I nI n 1 1JZJZ 吋f X的 111 Cl I111 Cl I 甲 54

23、6546 殛区 I I 司罐-*-*1 1T T d.d.O O 存在肌匚I IXX一一1 1町匕J.J.3*3*存花为 WW一 bldbld fIJIJ:I I 0,liia 0,fipfip lnln J J _ D.D.熾得 0 0 心 u u 心.佃此时 取眄=0.=0.确定斗誉(乂1111113)v且=42-1a1，此时，*丨式知X1,X2分别是fx的极小值点和极大值点，而2x2ax2)X224x1x24 x1 x22x1x22 x1x22f(xj f(X2)ln(1 axjIn 1 a x12x1x1 2X2ln(1a X1X224In 2a 1a4 a2a 1In 2a 122a

24、 112知令2aa 1且x 0;当-i当21时,021.记g(x)Inx2x 0时，g(x)2lng(x)2因此，g(x)在1,0上单调递减，从而2 x2 2x 2x2g(x)g(1)x x2，所以4 0,故当0 a时，f(xj f(x2)202x八22 2x 2g(x)2x x x因此，g(x)在0,1上单调递减，从而g(x)g(1)0,1故当a 1时，f(xj f(X2)02一1综上所述，满足条件的a的取值范围是为ii当0 x 1时，g(x)2ln x 2，所以，1.2【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式三最值C知函-x时.判断A#)在定义域H的单调怡 门)帀社)在江曲上的恳小値为弓求扑的值.曲題得用的足义爆为且#*=丄+耳=兰竿.X X九刈 二尸心4肿幻在U+呵N足单调遽増的熱工呻(J卩)山可躺 厂卫JX输豪 7 册十廿左也 即厂日)細1屈匕和成立.此时血琏口胡上为熠備数.33上慣成立，此州 3 左IM1上掬减甫=-.*-2 2【多假设一rir=(h得兀=口，出11电-卫时*厂“凶)，加 H 在山咁上为减虏数：肖一xto时./U)XL.ju)的一仏门上为増偻数 林=人一=1“一第)+1=专*=_石.毎上可知*a2-Jr.0，由1知 f(x)单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,);由 f(x)